工程力學(xué)：彎曲應(yīng)力

1、第10章 彎曲應(yīng)力 101 純彎曲一、純彎曲純彎曲:只有M 而無(wú)Q 的平面彎曲.橫力彎曲或剪切彎曲:既有M 又有Q 的平面彎曲.PPABaaP(+)(-)Q圖-PPa(+)M圖 橫力彎曲（剪切彎曲）:橫截面上同時(shí)有剪力和彎矩. 純彎曲:如果橫截面上剪力等于零，而彎矩為一常數(shù)，即只有正應(yīng)力而無(wú)剪應(yīng)力. 二、純彎曲時(shí)的正應(yīng)力（由實(shí)驗(yàn)觀(guān)察得如下現(xiàn)象：） a. 變形后，所有橫向線(xiàn)仍保持為直線(xiàn)，只是相對(duì)傾斜了一個(gè)角度。 b. 變形后，所有縱向線(xiàn)變成曲線(xiàn)，仍保持平行;上、下部分的縱向線(xiàn)分別縮短和伸長(zhǎng) 。中性層：梁內(nèi)存在一個(gè)縱向?qū)?，在變形時(shí)，該層的縱向纖維即不伸長(zhǎng)也不縮短，稱(chēng)為中性層。中性軸：中性層與橫截面

2、的交線(xiàn)。 根據(jù)上述現(xiàn)象，設(shè)想梁內(nèi)部的變形與外表觀(guān)察到的現(xiàn)象相一致，可提出如下假設(shè)： a. 平面假設(shè)：變形前橫截面是平面，變形后仍是平面，只是轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，仍垂直于變形后梁的軸線(xiàn)。 b. 各縱向纖維間無(wú)正應(yīng)力假設(shè)：梁由無(wú)數(shù)縱向纖維組成，各纖維只受拉伸或壓縮，不存在相互擠壓 為了研究純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力分布規(guī)律及計(jì)算，要綜合考慮變形的幾何關(guān)系，物理關(guān)系及靜力平衡關(guān)系。 研究距中性層y處縱向纖維ab的變形： 2、物理關(guān)系 中性層彎曲后的曲率半徑 1、幾何關(guān)系MzCxy3、靜力學(xué)關(guān)系MzdAyCxyz(1) 確定中性軸的位置結(jié)論:中性軸通過(guò)形心,與形心軸重合.靜矩MzdAyCxyz橫截面對(duì)z軸的靜

3、矩 中性軸 Z 一定通過(guò)橫截面形心(2) 確定形心主軸結(jié)論:y z 軸必為形心主軸慣性積MzdAyCxyz(3) 導(dǎo)出彎曲正應(yīng)力公式慣性矩解出:MzdAyCxyz截面的抗彎剛度，反映梁抵抗彎曲變形的能力1、平面彎曲；2、具有縱向?qū)ΨQ(chēng)面的梁；3、材料在彈性范圍內(nèi)。三、正應(yīng)力公式的使用條件 102 橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力橫截面上的最大正應(yīng)力全梁的最大正應(yīng)力(1) 等直梁令- 抗彎截面模量矩形:圓形:空心圓:(3) 無(wú)水平對(duì)稱(chēng)軸的梁彎曲強(qiáng)度條件最大彎曲拉應(yīng)力最大彎曲壓應(yīng)力(2) 變截面梁:綜合考慮 M 和 確定maxy2y2y1yz拉壓抗拉壓強(qiáng)度不等的材料強(qiáng)度計(jì)算的步驟根據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件，可解決工程中的

4、三類(lèi)問(wèn)題： 強(qiáng)度校核 截面設(shè)計(jì) 確定容許荷載 例題：1、一外伸梁受力如圖所示，材料的許用應(yīng)力=160MPa, 橫截面為h/b=3的矩形，試確定此梁橫截面尺寸h和b。 例2：有一外伸梁受力情況如圖所示，截面采用T型截面，已知材料的容許拉應(yīng)力為 容許壓應(yīng)力 試校核梁的強(qiáng)度。 Z解（一）作梁的彎矩圖如圖最大正彎矩 最大負(fù)彎矩 (三)截面對(duì)中性軸的慣性矩 截面形心距底邊 （二）確定中性軸的位置 1.拉應(yīng)力強(qiáng)度校核 A截面為負(fù)彎矩，上部受拉 C截面為正彎矩，下部受拉 由于 ，最大拉應(yīng)力發(fā)生在C截面下邊緣 拉應(yīng)力強(qiáng)度足夠。 （四）校核梁的強(qiáng)度（繪出應(yīng)力分布圖） A截面C截面A截面下部受壓 ： C截面上部受

5、壓 ： 由于 ，最大壓應(yīng)力發(fā)生在A截面的下邊緣 壓應(yīng)力強(qiáng)度足夠。 2壓應(yīng)力強(qiáng)度校核 A截面C截面假設(shè)矩形截面上剪應(yīng)力 的方向和剪力Q的方向相同。 假設(shè)截面上剪應(yīng)力 沿寬度b是均勻分布的。 導(dǎo)出的剪應(yīng)力計(jì)算式為： 矩形截面梁的剪應(yīng)力（推導(dǎo)略） 在推導(dǎo)矩形截面梁的剪應(yīng)力公式時(shí)，作如下兩點(diǎn)假設(shè)： 104 彎曲剪應(yīng)力1、矩形截面梁式中： Q 橫截面上剪力 需求剪應(yīng)力處，水平線(xiàn)以下（或以上）部分 面積對(duì)中性軸的靜矩。 整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣性矩。 b需求剪應(yīng)力處橫截面寬度。 在 處， 在 處，剪應(yīng)力最大，即： 最大剪應(yīng)力是平均剪應(yīng)力 的 1.5倍。 從上式可知，剪應(yīng)力分布是沿梁的高度按拋物線(xiàn)規(guī)律分布.圖

6、 7-42. 工字型截面梁的剪應(yīng)力 主要考慮工字型截面梁腹板上的剪應(yīng)力計(jì)算。 可按照矩形截面梁的剪應(yīng)力公式計(jì)算： 式中：d 腹板寬度 圖中因陰影部分面積對(duì)中性軸之靜矩。 圖 7-5由式可知： 時(shí)， 最??；時(shí)， 最大。（按拋物線(xiàn)規(guī)律分布） 圖 7-53. 圓形截面梁橫截面上的最大剪應(yīng)力 a. 圓截面： 最大剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上各點(diǎn)處 最大剪應(yīng)力是平均剪應(yīng)力 的 倍。 b.薄壁圓截面 最大剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上各點(diǎn)處： 最大剪應(yīng)力是平均剪應(yīng)力 的2倍。 4. 剪應(yīng)力強(qiáng)度條件 梁內(nèi)最大剪應(yīng)力一般發(fā)生在剪力最大的橫截面的中性軸上，若以 表示中性軸以下（或以上）部分面積對(duì)中性軸的靜矩，則梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件為： 在校核梁的強(qiáng)度或進(jìn)行截面設(shè)計(jì)時(shí)，必須同時(shí)滿(mǎn)足梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。在工程中，通常先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)出截面尺寸，然后進(jìn)行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核。 例題：試為圖示外伸梁選擇一工字形截面， 材料的許用應(yīng)力=160MPa，=80MPa。105 提高彎曲強(qiáng)度的措施 1 選擇合理的形狀和截面較大可以提高梁的彎曲強(qiáng)度.(P107 表7.1)2 適當(dāng)布置載荷和支座的位置適當(dāng)布置載荷和支座的位置可以降低最大彎曲數(shù)值提高梁的彎曲強(qiáng)度yxM0(+)qxlABAxM0qxyAB0.2l0.2l