中考最值問題胡不歸問題解析及練習(xí)

1、【新授內(nèi)容】胡不歸問題：解決PA+nPB(n1)最小問題，其中0n1，則提取n的值.1.知識(shí)儲(chǔ)備：在RtPABeqoac(,中，)B=，設(shè)sinB=n，用含n的式子表示線段PA.B由sinB=PAPB得，PA=sinPB=nPB（即sinPB表示直角三角形中的對(duì)邊）AP2.解決胡不歸問題如圖，在ABC中，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，sin=n，在圖中畫出當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)PA+nPB的值最小ACPB分析：將nPB轉(zhuǎn)化成系數(shù)為1的線段，由sin=n可得nPB=sinPB由知識(shí)儲(chǔ)備可知，sinPB表示以PB為斜邊的直角三角形中的直角的對(duì)邊在圖中要畫出以PB為斜邊，夾角為的直角三角形【4步法解決胡不歸問題】解

2、析：由分析得，令n=sin，則nPB=sinPB過n過后定點(diǎn)B作線段BM與PB夾角為A以PB為斜邊作所對(duì)直角邊，即過點(diǎn)PDBM于點(diǎn)D則nPB=sinPB=PDPA+nPB=PA+PD最小，當(dāng)P、A、D共線的時(shí)候最小，CPPBED即A到BM最小為垂線段AE，AE與BC交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P（如圖）M1【經(jīng)典例題】1.如圖，在ABC中，BABC4eqoac(,，)A30，D是AC上一動(dòng)點(diǎn)，eqoac(,（)）AC的長(zhǎng)43；1eqoac(,（)）BD+12DC的最小值是B1=sin，即DC=sinDC22ADDE過定點(diǎn)C作C過點(diǎn)D作DECM于點(diǎn)EF1DC=sinDC=DE21BD+DC=BD+DE最小2即

3、為垂線段BF，與AC交于點(diǎn)D解：12=sin=30則BCE=601BC=4BD+DC=BD+DE=BF=232P2.如圖，ABCD中，DAB60，AB6，BC2，為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB+3PD的最小值等于23=sin，即3PD=sinPD22過定點(diǎn)D作過點(diǎn)P作PEDE于點(diǎn)E3PD=sinPD=PE2PB+3PD=PB+PE最小，即最小值為垂線段BF，2E與CD交于點(diǎn)PP解：A=60，AB=6PB+3PD=PB+PE=BE=3322133.已知拋物線yx222，x2，與x軸交于兩點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）與y軸交于點(diǎn)C.解析：（）令y=0，則1x2x20，解得x1，x422m04mn1，解

4、得，故l:yx22n22n2（1）求點(diǎn)A，B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）已知P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).eqoac(,若)PQx軸，交拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)BP+PQ取最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；eqoac(,求)2AP+PB的最小值.312A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）令x=0，則y=2.C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）（）設(shè)lBC:y=mx+n，將B（4，0），C（0，2）分別代入得，1BC113可設(shè)P（t，t2），0t4，則Q（t，t2t2），且Q在P上方2221311PQ=t2t2(t2)=t22t222215又BP(4t)2(t2)222(4t)故BP+PQ=52115(4t)+(t22t)=t2(2)

5、t25222當(dāng)t2555時(shí)取得最大值，此時(shí)P（2，1）224如圖，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D，使得CD=CB，連接BD，作DEy軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PHBD于點(diǎn)H由AC2=12+22=5，BC2=22+42=20，AB2=(14)2=25，所以AC2=BC2+AB2，ACB=90eqoac(,則)BDC是等腰直角三角形，CBD=452AP+PB=2(AP+PBsin45)=2(AP+PH)，由垂線段最短可知，當(dāng)A，P，H共線時(shí)(AP+PH)取得最小值BCD=DEC=COB=90，DCE+BCO=BCO+CBO=90，DCE=CBO3eqoac(,S)ABD=1AB.yD=BD.AH，代入可得56210AH，CDEBCODE=CO=2，CE=BO=4可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，6）BD(24)2(60)22101112222解得AH=3102，故有2AP+PB=2(AP+PH)2AH=35所以2AP+PB的最小值為35.【課后練習(xí)】1.已知拋物線yx2bx+c（b，c為常數(shù)，b0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)M（m，0）是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)（）當(dāng)b