典型方程和定解條件的推導(dǎo)

1、典型方程和定解條件的推導(dǎo)第1頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一第一章 一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)1.1 基本方程（泛定方程）的建立 物理模型（現(xiàn)象、過(guò)程） 數(shù)學(xué)形式表述（偏微分方程并求解）目的：掌握基本分析方法，培養(yǎng)歸納、綜合、抽象、猜測(cè)、試探、演繹的科學(xué)素質(zhì)。步驟：（1）確定研究對(duì)象（物理量），建立合適的坐標(biāo)系； （2）在系統(tǒng)內(nèi)部，任取一微元，利用物理規(guī)律， 分析其與相鄰部分間的作用； （3）忽略次要因素，抓住主要矛盾； （4）化簡(jiǎn)整理，得到偏微分方程。 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)不含初始條件不含邊界條件第2頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一物理狀態(tài)

2、描述: 設(shè)有一根均勻、柔軟的細(xì)弦，平衡時(shí)沿直線拉緊，除受到重力外，不受其它外力影響，在鉛直平面內(nèi)作橫向、微小振動(dòng)。平衡位置任意截取一小段，并抽象性夸大。弦的振動(dòng)：雖然經(jīng)典，但 極具啟發(fā)性。數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)一. 均勻弦的橫振動(dòng)方程的建立第3頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一X1、建立坐標(biāo)系 選定微元uodsMNMNxx+dx2、微元ds的動(dòng)力學(xué)方程（牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律）TT 3、忽略與近似4、整理化簡(jiǎn)T、T 微元兩端所受張力 細(xì)弦的線密度（單 位長(zhǎng)度內(nèi)的質(zhì)量 g 重力加速度數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第4頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一X1、建立坐標(biāo)系

3、 選定微元uodsMNMNxx+dx2、微元ds的動(dòng)力學(xué)方程（牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律）TT 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)(1)(2)第5頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一3、忽略與近似(1)(2)dsMNMNTT uoxx+dx對(duì)于小振動(dòng)：所以有：第6頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一3、忽略與近似(1)(2)對(duì)于小振動(dòng)：所以有：于是（1）式變?yōu)椋海?）式變?yōu)椋阂话阏f(shuō)來(lái)， 將 g 略去。第7頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一3、忽略與近似于是（1）式變?yōu)椋海?）式變?yōu)椋阂话阏f(shuō)來(lái)， 將 g 略去，得考慮到角度很小，近似地與 u 無(wú)關(guān)：于是左下

4、角式變?yōu)椋旱?頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一3、忽略與近似上式實(shí)際上可以明確表示為：這里表示：自變量由 x 增加到 x+dx 時(shí)，函數(shù)的增量。既然 dx 很小，這個(gè)這個(gè)增量不妨用微分帶代替。令 ，于是有：一維波動(dòng)方程第9頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一+LLCC+-二. 傳輸線方程(電報(bào)方程)的建立物理狀態(tài)描述: 對(duì)于直流電或低頻的交流電,電路的基爾霍夫（Kirchhoff）定律指出：同一支路中的電流相等。但對(duì)于較高頻率的電流（指頻率還未高到顯著輻射電磁波出去的程度），電路導(dǎo)線中的自感和電容的效應(yīng)不能被忽視，因而同一支路中電流呈現(xiàn)瞬態(tài)變化。 現(xiàn)

5、在考慮電流一來(lái)一往的高頻傳輸線，它被當(dāng)作具有分布參數(shù)的導(dǎo)體,每單位長(zhǎng)導(dǎo)線所具有的電阻、電感、電容、電導(dǎo)分別以R、L、C、G 表示。1、建立坐標(biāo)系 選定微元2、微元的電路方程數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)P電路的節(jié)點(diǎn)時(shí)刻 t 電路中的瞬時(shí)電流第10頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)電容元件：電感元件：換路定理:在換路瞬間，電容上的電壓、電感中的電流不能突變。電路準(zhǔn)備知識(shí)第11頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一+LLCC+-二. 傳輸線方程(電報(bào)方程)的建立與同學(xué)們商榷的幾個(gè)問(wèn)題：（P4-5）（1）設(shè)某時(shí)刻 t ，輸入與輸出端的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否

6、合理?（2）電流 作為初始條件，在流經(jīng)電感時(shí)是否要變化？（3）按照?qǐng)D示，電容與電導(dǎo)兩端的電壓如何界定（注意P5. -1.5式）？1、建立坐標(biāo)系 選定微元2、微元的電路方程數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)P電路的節(jié)點(diǎn)？時(shí)刻 t 電路中的瞬時(shí)電流“另外,由基爾霍夫第一定律,流入節(jié)點(diǎn)的電流應(yīng)等于流出該節(jié)點(diǎn)的電流,即第12頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一梁昆淼先生的做法： “今考慮一來(lái)一往的高頻傳輸線，每單位長(zhǎng)一來(lái)一往所具有的電阻，電感，電容，電漏分別記以R，L，C，G。于是亦即亦即將 作用于第一式, 作用于第二式,兩結(jié)果相減,就消去了 而得 的方程同理,消去 ,得到 的方程第13頁(yè)，共

7、28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一二. 傳輸線方程(電報(bào)方程)的建立 設(shè)如圖傳輸線是分布參數(shù)電路，即傳輸線上電阻 R、電感 L、電容 C 和電導(dǎo) G 是按單位長(zhǎng)度計(jì)算其對(duì)應(yīng)的物理量，并且在 x+dx 范圍之內(nèi)的所有元件無(wú)論布局如何，均認(rèn)為其長(zhǎng)度為 dx.數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 設(shè)某時(shí)刻 t ，對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：左端： ； 右端:+LLCC+-輸入端輸出端第14頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一+LLCC+-數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)由基爾霍夫電壓定律:由基爾霍夫電流定律:電容上的電流：電感上的電壓：流入流出第15頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星

8、期一+LLCC+-數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)由基爾霍夫電壓定律:由基爾霍夫電流定律:電容上的電流：電感上的電壓：，整理后得到：，略去高階無(wú) 窮小量得：第16頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一由基爾霍夫電壓定律:由基爾霍夫電流定律:(1.4)(1.5)聯(lián)立上述兩個(gè)方程（代入消元法），注意假定 與 都對(duì) 是二次連續(xù)可微的，即可得到：數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第17頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一例3. 電磁場(chǎng)方程基本電磁場(chǎng)量 場(chǎng)的物質(zhì)方程 Maxwell方程電場(chǎng)強(qiáng)度磁場(chǎng)強(qiáng)度電感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度介質(zhì)的介電常數(shù)導(dǎo)磁率導(dǎo)電率傳導(dǎo)電流的面密度電荷的體密度Vector

9、difference operator第18頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一目標(biāo): 利用上述關(guān)系,分別解出 、 。由將 代入上式，得 對(duì)上式兩邊求旋度， 得再將 代入上式，得 這是一個(gè)關(guān)于磁場(chǎng)強(qiáng)度的二階微分方程第19頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一為進(jìn)一步化簡(jiǎn)，利用 Hamilton 算子的運(yùn)算性質(zhì)將 代入上式，得 磁場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度為零。如法炮制，可得關(guān)于電場(chǎng)強(qiáng)度的方程如果介質(zhì)不導(dǎo)電（=0），上述方程簡(jiǎn)化為：三維波動(dòng)方程第20頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一目標(biāo): 建立關(guān)于電位 u 的方程 由電感應(yīng)強(qiáng)度 與電場(chǎng)強(qiáng)

10、度 的定義知：（電荷體密度）而電場(chǎng)強(qiáng)度與電位之間的關(guān)系，由下式確定由此可得：依據(jù)Hamilton 算子的運(yùn)算性質(zhì)：這個(gè)非齊次方程稱為泊松（Poisson）方程若靜電場(chǎng)是無(wú)源的，即 ，上式又可寫(xiě)成這個(gè)齊次方程稱為拉普拉斯（Laplace）方程 上式可寫(xiě)成第21頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一例4. 熱傳導(dǎo)方程物理模型: 均勻且各向同性的導(dǎo)熱體, 在傳熱過(guò)程中所滿足的微分方程.研究對(duì)象: 熱場(chǎng)中任一閉曲面 S ,體積為 V,熱場(chǎng)V(體積)S(閉曲面) t 時(shí)刻, V 內(nèi)任一點(diǎn) M(x,y,z) 處 的溫度為 u(x,y,z,t).M 曲面元 ds 的法向 (從V內(nèi) V外)

11、ds物理規(guī)律: 由熱學(xué)的(Fourier)實(shí)驗(yàn)可知: dt 時(shí)間之內(nèi),流經(jīng)面元 ds 的熱量 dQ, 與時(shí)間 dt 成正比； 曲面面積 ds 成正比； 溫度 u 沿曲面法方向的方向 導(dǎo)數(shù) 成正比。數(shù)學(xué)表述為：第22頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一MdsV(體積)S(閉曲面)熱場(chǎng)數(shù)學(xué)表述為：k=k(x,y,z). 物體的傳熱系數(shù),各向均勻且同性時(shí)為常數(shù). “-”號(hào),表示熱量流動(dòng)的方向,與溫度梯度的正方向(grad u) 相反.從 t1 t2 ,通過(guò)曲面元 S ,流入?yún)^(qū)域 V 的熱量為必然等于 V 內(nèi)各點(diǎn)所吸收的熱量(熱量守恒)問(wèn)題: 上面數(shù)學(xué)表述中的“-”，為何不見(jiàn)了？

12、上式中的 ，在熱學(xué)中的意義？ 第23頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一數(shù)學(xué)處理：由于 S 為閉曲面，假設(shè) u(x,y,z) 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 那么 依據(jù)奧斯特羅格拉德斯基公式因此有：第24頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一由于 t1 , t2 以及區(qū)域 V 的任意性 , 且被積函數(shù)為連續(xù), 因此有若令: , 那么上述方程可寫(xiě)為三維熱傳導(dǎo)方程第25頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一討論:(1). 若 V 內(nèi)有熱源, 強(qiáng)度為 F(x,y,z,t) ,則熱傳導(dǎo)方程為其中(2). 若導(dǎo)熱體為一根細(xì)桿 , 則(3). 若導(dǎo)熱體為一薄片 , 則第26頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)31分，星期一(4). 若熱場(chǎng)為一穩(wěn)恒場(chǎng)(溫度趨于平衡狀態(tài)) , 則與之對(duì)應(yīng)有穩(wěn)恒溫度場(chǎng)內(nèi)的溫度滿足Laplace方程.(5). 在研究氣體、液體的擴(kuò)散過(guò)程時(shí) , 若擴(kuò)散系數(shù)為常