時域數(shù)學(xué)模型

1、2-2 復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型2-1 時域數(shù)學(xué)模型概述2-3 結(jié)構(gòu)圖與信號流圖2-4 數(shù)學(xué)模型的實驗測定法第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型概述1、數(shù)學(xué)模型的定義3、建立數(shù)學(xué)模型的方法2、建立數(shù)學(xué)模型的意義4、建立數(shù)學(xué)模型的工具1、系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的定義 描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量(或變量)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式稱為數(shù)學(xué)模型。物理模型 任何元件或系統(tǒng)實際上都是很復(fù)雜的，難以對它作出精確、全面的描述，必須進行簡化或理想化。簡化后的元件或系統(tǒng)為該元件或系統(tǒng)的物理模型。簡化是有條件的，要根據(jù)問題的性質(zhì)和求解的精確要求，來確定出合理的物理模型。電子放大器 看成 理想的線性放大環(huán)節(jié)。通訊衛(wèi)星 看成 質(zhì)點 。2、數(shù)學(xué)模型的意義 對系統(tǒng)

2、行為進行控制的基礎(chǔ) 研究系統(tǒng)運行規(guī)律的基礎(chǔ) 定量研究的基礎(chǔ) 對系統(tǒng)未來進行預(yù)測的基礎(chǔ)3、建立數(shù)學(xué)模型的方法 解析法 根據(jù)具體系統(tǒng)服從的規(guī)律，運用適當?shù)臄?shù)學(xué)工具列出各變量間的關(guān)系。 實驗法 在系統(tǒng)內(nèi)部關(guān)系復(fù)雜時，為達到某種目的，可以通過實驗手段，測量該系統(tǒng)的輸入輸出，然后運用系統(tǒng)辨識的手段，構(gòu)建出一個近似的數(shù)學(xué)模型。實驗法: 基于系統(tǒng)辨識的建模方法已知知識和辨識目的實驗設(shè)計-選擇實驗條件模型階次-適合于應(yīng)用的適當階次參數(shù)估計-最小二乘法模型驗證將實際輸出與模型的計算輸出進行比較，系統(tǒng)模型需保證兩個輸出之間在選定意義上的接近數(shù)學(xué)模型時域模型頻域模型方框圖和信號流圖狀態(tài)空間模型 微分方程 差分方程

3、傳遞函數(shù)4、建立數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)工具拉氏變換傳遞函數(shù)，Z變換傳遞函數(shù) 其他數(shù)學(xué)工具（如Rough Set，Petri等）2-1 時域數(shù)學(xué)模型一、線性元件的微分方程二、控制系統(tǒng)微分方程的建立三、線性系統(tǒng)的特性四、線性定常微分方程的求解（拉氏變換法）六、運動的模態(tài)（振型）Mode五、非線性微分方程的線性化LRCUr(t)U0(t)根據(jù)基爾霍夫電壓定律合并，整理例2-1 RLC 無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程一、線性元件的微分方程例2-2 求彈簧-阻尼-質(zhì)量的機械位移系統(tǒng)的微分方程。輸入量為外力F，輸出量為位移x。解：圖1和圖2分別為系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)圖和質(zhì)量塊受力分析圖。圖中，m為質(zhì)量，f為粘性阻尼系數(shù)，k為彈性系數(shù)

4、。mfF圖1Fm圖2根據(jù)牛頓定理，可列出質(zhì)量塊的力平衡方程如下：這也是一個兩階定常微分方程。X為輸出量，F(xiàn)為輸入量。在國際單位制中，m,f和k的單位分別為：例2-3電樞控制式直流電動機電能轉(zhuǎn)換為機械能，也就是由輸入的電樞電壓Ua(t)在電樞回路中產(chǎn)生電樞電流ia(t)，再由電流ia(t)與激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)距Mm(t)，從而拖動負載運動。因此，直流電動機的運動方程可由以下三部分組成。 電樞回路電壓平衡方程電磁轉(zhuǎn)距方程電動機軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程 電樞回路方程其中Ea 為反電勢，Ce稱為電動機電勢常數(shù) Cm稱為電動機轉(zhuǎn)矩常數(shù)電磁轉(zhuǎn)距方程電動機軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程 Jm轉(zhuǎn)動慣量（電動機和負載折合

5、到電動機軸上的） kgmfm 電動機和負載折合到電動機軸上的粘性摩擦系數(shù)（Nm/rad/s）Mc折合到電動機軸上的總負載轉(zhuǎn)矩 整理得： 在工程應(yīng)用中，由于電樞電路電感La較小，通常忽略不計，因而上式可簡化為電動機機電時間常數(shù)（s） 如果電樞電阻Ra和電動機的轉(zhuǎn)動慣量Jm都很小而忽略不計時，還可進一步簡化為系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型是它的微分方程式。建立微分方程的步驟如下：確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，從輸入端開始，按信號傳遞的順序，依據(jù)各變量所遵循的物理學(xué)定律，列出各環(huán)節(jié)的線性化原始方程。消去中間變量，寫出僅包含輸入、輸出變量的微分方程式。需要討論的問題：相似系統(tǒng)和相似量：我們注意到

6、例2-1和例2-2的微分方程形式是完全 一樣的。這是因為：若令 (電荷)，則例2-1的結(jié)果變?yōu)椋嚎梢?，同一物理系統(tǒng)有不同形式的數(shù)學(xué)模型，而不同類型的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學(xué)模型。定義具有相同的數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。例2-1和例2-2稱為力-電荷相似系統(tǒng)，在此系統(tǒng)中分別與 為相似量。作用利用相似系統(tǒng)的概念可以用一個易于實現(xiàn)的系統(tǒng)來模擬相對復(fù)雜的系統(tǒng)，實現(xiàn)仿真研究。二、線性系統(tǒng)的特性1、線性系統(tǒng)的性質(zhì)可疊加性均勻性（或奇次性）若則 在經(jīng)典控制領(lǐng)域，主要研究的是線性定?？刂葡到y(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)的微分方程，則稱該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，其最重要的特性便是可以應(yīng)用線性疊加

7、原理，即系統(tǒng)的總輸出可以由若干個輸入引起的輸出疊加得到。2、線性系統(tǒng)性質(zhì)的應(yīng)用 多個外作用產(chǎn)生的響應(yīng)可通過逐個外作用響應(yīng)的 疊加。 零輸入和零初始條件響應(yīng)合成得到非零響應(yīng)。 系統(tǒng)對輸入和干擾分別研究。 只有線性時不變微分方程才能運用Laplace變換為 代數(shù)方程。三、非線性微分方程的線性化 在實際工程中，幾乎所有的器件、系統(tǒng)都是非線性的，完全線性的幾乎沒有。 （1）許多情況下，在一定工作范圍，一定精度范圍下，可以近似看作是線性。 （2）嚴重非線性情況下，在工作點附近，可以局部的線性化。19在該點附近用泰勒級數(shù)展開局部線性化切線法（小偏差法）連續(xù)變化的非線性函數(shù)：增量較小時略去其高次冪項，則有2

8、0寫出增量線性化微分方程 略去增量符號，便得到函數(shù) 在工作點A附近的線性化方程：顯然，上式是線性方程，是非線性方程的線性表示。為了保證近似的精度，只能在工作點附近展開。 對于具有兩個自變量的非線性方程，也可以在靜態(tài)工作點附近展開。設(shè)雙變量非線性方程為： ，工作點為 。則可近似為： 式中： ， 。 為與工作點有關(guān)的常數(shù)。注意：上述非線性環(huán)節(jié)不是指典型的非線性特性(如間隙、庫侖干摩擦、飽和特性等)，它是可以用泰勒級數(shù)展開的。實際的工作情況在工作點附近。變量的變化必須是小范圍的。其近似程度與工作點附近的非線性情況及變量變化范圍有關(guān)。22(例2-7)23續(xù)（例2-7）10y12上線性化。求用線性化方程

9、來計算當x=5，y=10時z值所產(chǎn)生的誤差。解：由于研究的區(qū)域為5x7、10y12，故選擇工作點x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=611=66.求在點x0=6，y0=11，z0=66附近非線性方程的線性化表達式。將非線性方程在點x0,y0,z0處展開成泰勒級數(shù)，并忽略其高階項，則有因此，線性化方程式為： z-66=11(x-6)+6(y-11)z=11x+6y-66當x=5,y=10時，z的精確值為z=xy=510=50由線性化方程求得的z值為z=11x+6y=55+60-66=49因此，誤差為50-49=1，表示成百分數(shù) 例2-5試把非線性方程 z=xy 在區(qū)域5x7 、【歸納】非線

10、性微分方程線性化的步驟（1）寫出動態(tài)微分方程；（2）在平衡點處，對非線性項采用Taylor展開，并取一階近似 （即線性近似）；（3）把一階近似式帶入原微分方程；（4）利用平衡方程，獲得增量微分方程；（5）為記述方便，省去增量符號，獲得所謂的在增量情況下的 線性化微分方程。線性化微分方程的運用條件（1）在獲得方程的平衡點附近。如平衡點改變，則增量方程也 改變。（2) 輸入、輸出一定在增量數(shù)量級.四、線性定常微分方程的求解（拉氏變換法）微分方程的解法 直接解析法（分離變量法） 適用于少量簡單的情況 Laplace變換解析法 僅適用于線性時不變情況 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣法 僅適用于線性時不變情況 數(shù)值法 適

11、用于所有情況本節(jié)討論用Laplace變換法解線性時不變微分方程 例2-6 已知L=1H,C=1F,R=1歐姆，且電容上的初始電壓U0(0)=0.1V，初始電流i(0)=0.1A，電源電壓ur(t)=1V。求電路突然接通電源時，電容電壓u0(t)的變化規(guī)律。LRCUr(t)U0(t)解：【RLC無源網(wǎng)絡(luò)微分方程】為：令據(jù)Laplace變換的微分性質(zhì)待入整理得：其中：由輸入電壓產(chǎn)生的輸出分量與初始條件無關(guān)零初始條件響應(yīng)零輸入響應(yīng)由初始條件產(chǎn)生的輸出分量與輸入電壓無關(guān)零初始條件響應(yīng)零輸入響應(yīng)單位階躍響應(yīng)【Laplace法解線性定常微分方程歸納】（2）由代數(shù)方程求出輸出量的拉氏變換表達式，使之成為典型分式之和；（3）反Laplace變換得到輸出量的時域表達式。（1）考慮初始條件，對微分方程中的每一項分別進行拉氏變換，將微分方程轉(zhuǎn)換為變量