剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)第1頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一第五章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.1 剛體的運(yùn)動(dòng) 5.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 5.3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 5.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用 5.5 轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能 5.6 剛體的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律5.7 進(jìn)動(dòng) 第2頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一5.1 剛體的運(yùn)動(dòng) 剛體（rigid body）：特殊的質(zhì)點(diǎn)系，形狀和體積不變化， 理想化的模型。平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，可以描述所有質(zhì)元（質(zhì)點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)。平動(dòng)（translation）時(shí)，剛體上所有點(diǎn)運(yùn)動(dòng)都相同。剛體質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)只能是繞某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)（rotation）的結(jié)果

2、。oooo第3頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一P點(diǎn)線(xiàn)速度P點(diǎn)線(xiàn)加速度旋轉(zhuǎn)加速度向軸加速度瞬時(shí)軸vrrP 基點(diǎn)O剛體剛體繞O的轉(zhuǎn)動(dòng)其轉(zhuǎn)軸是可以改變的，反映順時(shí)軸的方向及轉(zhuǎn)動(dòng)快慢，引入角速度矢量 和角加速度矢量第4頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（rotation about affixed axis）：退化為代數(shù)量，剛體上任意點(diǎn)都繞同一軸作圓周運(yùn)動(dòng)，且， 都相同。 OvP,rr定軸剛體參考方向z第5頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一5.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 類(lèi)似于多質(zhì)點(diǎn)系Jz稱(chēng)為剛體對(duì) z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量rota

3、tional inertiaivi O,riri定軸剛體zFimi第6頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一轉(zhuǎn)動(dòng)定律其中是對(duì) z 軸的外力矩和。定軸下，可不寫(xiě)角標(biāo) Z，記作：與牛II比較：MFJmaaMJ=a J反映剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性第7頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一5.3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 J由質(zhì)量對(duì)軸的分布決定。dmrm第8頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一一. 常用的幾個(gè)J均勻圓環(huán)：Jc =mR2；均勻圓盤(pán)：均勻桿：RmCCRmCCAml2l2第9頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一二. 計(jì)算J的幾條

4、規(guī)律1. 對(duì)同一軸J具有可疊加性J =Ji Jmrziii=D22. 平行軸定理Jmrmxyziiiiiii=+DD222()DDmxmxxiiiiici22=+()=+DDDmxxmxxmiiciiiicii222=0 xydcc222+=DmxyJiiiic()22+=JJmdc=+2=JJcmin=mCdmJCJ平行第10頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一 3. 對(duì)薄平板剛體的正交軸定理Jmrmxmyziiiiii=+DDD222 例：已知圓盤(pán)JmRz=122求對(duì)圓盤(pán)的一條直徑的Jx （或 J y）。由JJJJJJJmRzyxxyxy=+=142即 JJJxy=+

5、 y rix z yi xi mi yx z 圓盤(pán) R C m第11頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一已知：R =0.2m，m =1kg，vo=0， h =1.5m，繩輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，繩不可伸長(zhǎng)，下落時(shí)間 t =3s。求：輪對(duì)O軸J=？解：動(dòng)力學(xué)關(guān)系：對(duì)輪：TRJ=a (1), 對(duì)：mmgTma-= (2)5.4 轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用舉例 定軸ORthmv0=0繩TGRNmgT = - T ma第12頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：a=aR(3)hat=122(4)(1)(4)聯(lián)立解得：JgthmR=-()2221=- =(.).983215

6、1102114222kgm分析：?jiǎn)挝粚?duì)；、一定，合理；若，得，正確。1230122.hmJtJhgt=第13頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一DDDDWFsinrFrsinM=aqaqq()DDWFs=WMiii=Dq 力矩的空間積累效應(yīng)5.5 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能關(guān)系 二. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 MdLdtJddtzzz外=w類(lèi)比一維情形：Fmdvdt=wq=ddtvdsdt- WJJ1222121212=-ww一. 力矩的功J - mdzx軸rF第14頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一令轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能EJk=122w（可證：）121222Jmviiw=D則

7、 WEEkk=-21應(yīng)用：飛輪儲(chǔ)能，Ekw2wEk 慣性電車(chē)。第15頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一三. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功原理質(zhì)點(diǎn)系功能原理對(duì)剛體仍成立：W外+W內(nèi)非=（Ek2+Ep2） （Ek1+Ep1）剛體重力勢(shì)能：若dW外+ dW內(nèi)非=0， 則Ek +Ep =常量。Emghmgmhmmghpiiiic=DDChchimiEp=0第16頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一例已知：均勻直桿m，長(zhǎng)為l，初始水平靜止，軸光滑，AOl=4 。求:桿下擺q角后，角速度w=?軸對(duì)桿作用力vN=?解：桿地球系統(tǒng)，+只有重力作功，E守恒。初始：，Ek10= 令

8、EP10=末態(tài)：EJko2212=w, EmglP24=-sinq 則： 12402Jmglowq-=sin (1)第17頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一 由平行軸定理 JJmdoc=+2=+=1124748222mlmlml() (2)由(1)、(2)得： wq=267glsin應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：vvvNmgmac+=$sinlmgNmalcl方向：-+=q (3)$costmgNmatct方向： q+= (4)第18頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一algcl=4672wqsin (5)allmgJctlo=444aqcos=37gcosq

9、 (6)由(3)(4)(5)(6)可解得：Nmgl=137sin,qNmgt=-47cosqvNmglmgt=-13747sin$cos$qqNmg=+7153162sinqaq=-tgNNtgctgtl11413|()第19頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一5.6剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律現(xiàn)在討論力矩對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)。質(zhì)點(diǎn)系：對(duì)點(diǎn)：v vMdLdt外=，vrvMtLLiii外D=-21對(duì)軸：MtLLziiizz外D=-21剛體：Lz =Jz w=-iMtJJziizz外Dww21剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理 當(dāng) M外z=0時(shí)，Jz w=const .大小不變

10、正、負(fù)不變第20頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一 若剛體由幾部分組成，且都繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)， 當(dāng)Mz外=0時(shí)，Jconst.iziw=，這時(shí)角動(dòng)量可在內(nèi)部傳遞。例如圖示已知：M=2m，h，q=60求：碰撞后瞬間盤(pán)的w0=？ P轉(zhuǎn)到x軸時(shí)盤(pán)的w=? a=?解：m下落：mghmv=122vgh=2(1)第21頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一碰撞 t 極小，對(duì) m +盤(pán)系統(tǒng)，沖力遠(yuǎn)大于重力，故重力對(duì)O力矩可忽略，角動(dòng)量守恒：mvRJocosqw=(2)JMRmRmR=+=122222 (3)由(1)(2)(3)得：wqoghR=22cos (4)對(duì)m

11、+ M +地球系統(tǒng)，只有重力做功，E守恒，則：P、x重合時(shí)EP=0 。令1mgRJJosinqww+=12222(5)第22頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一由(3)(4)(5)得：wqq=+ghRgR222cossin=+12243RghR.()()q=60oa=MJmgRmRgR222第23頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一5.7 旋進(jìn)（進(jìn)動(dòng)，Precession）旋進(jìn)：高速旋轉(zhuǎn)的物體，其自轉(zhuǎn)軸繞另一個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)vvLLzz=$（對(duì)軸）w但對(duì)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)vL還平行于vw嗎？顯然若mm12(不對(duì)稱(chēng))，則 vvL（對(duì)點(diǎn)）w 0，但質(zhì)量分布

12、對(duì)稱(chēng)、且剛體繞對(duì)稱(chēng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，對(duì)軸上任一點(diǎn)有：vvL軸wvvLLzJzz()$()對(duì)點(diǎn)對(duì)軸=w第24頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一只討論具有對(duì)稱(chēng)軸的剛體的旋進(jìn)問(wèn)題vvMdLdt=dLMdtMvvv=vvvv當(dāng)時(shí)，MLdLL則只改變方向vL不改變大小。第25頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一vdLLd=sinqQddt=WQ令 則MdLdtLddt=vsinqQL=sinqW = WMLMJsinsinqwqw1 即： wW ，當(dāng)時(shí)，qw=90WMJ 。第26頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)14分，星期一以上只是近似討論，因?yàn)楫?dāng)旋進(jìn)發(fā)生后：vvvww總=+W只有高速自轉(zhuǎn)wW時(shí)，才有總vvww&=這時(shí)才有vvLJ&=w當(dāng)考慮到 vW 對(duì) vw總 的