(完整word)四面體外接球的球心、半徑求法

1、四面體外接球的球心、半徑求法一、出現(xiàn)“墻角結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長方體?！驹怼浚洪L方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為a,b,c，則體對(duì)角線長為l = a2 + b2 + c2， 幾何體的外接球直徑2R為體對(duì)角線長/即R =、a2 + b2 + C22【例題】：在四面體ABCD中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，其長度分別為1 ,6,3，若該四面體的 四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求這個(gè)球的表面積。解：因?yàn)椋洪L方體外接球的直徑為長方體的體對(duì)角線長 D所以:四面體外接球的直徑為 AE 的長即：4R2 = AB2 + AC2 + AD24R2 = 12 + 32 +、：62 = 16 所以 R = 2球的表面積

2、為S二4兀R2二16兀B二、出現(xiàn)兩個(gè)垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論。原理】：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點(diǎn).【例題】：已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球o的球面上，AB丄BC且PA = 7 , PB = 5， PC = 751,AC = 10，求球O的體積.解：AB 丄 BC 且 PA = 7， PB = 5 , PC =莎,AC = 10,所以可得圖形為：在RtABC中斜邊為AC在RtNPAC中斜邊為AC，取斜邊的中點(diǎn)O,所以知AC2 = PA2 + PC2 所以PA丄PC則 OA = OB = OC ， OP = OB = OCA所以O(shè)P = OB = OC = OA，即O

3、為該四面體的外接球的球心OR = 1 AC = 52所以該外接球的體積為v=3衣3=5or總結(jié)】斜邊一般為四面體中除了直角頂點(diǎn)以外的兩個(gè)點(diǎn)連線。三、四面體是正四面體（完整word）四面體外接球的球心、半徑求法處理球的“內(nèi)切” “外接”問題與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接。解決這類題目時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn) 的位置及球心的位置，畫好截面圖是關(guān)鍵，可使這類問題迎刃而解.一、棱錐的內(nèi)切、外接球問題例1。正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑是多少？分析：運(yùn)用正四面體的二心合一性質(zhì)，作出截面圖，通過點(diǎn)、線、面關(guān)系 解：如圖1所示，設(shè)點(diǎn)O是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長為a .由圖形 知，點(diǎn)O

4、也是外接球的球心.設(shè)內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為R .正四面體的表面積S表正四面體的體積VA-BCDa 2 AB 2 BE 2 12v3 a2 a2 123 2a2-丄a 312.丄 S - r = V3 表A-BCD3V.r ABCDS表3莊a 312衛(wèi)a12在 RtABEO 中，BO 2 BE 2 + EO 2，即 R 2 6a,解之。的對(duì)稱性得 R 3r【點(diǎn)評(píng)】由于正四面體本身的對(duì)稱性可知，內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球心是重合的，為正四面體高的四等 h3h分點(diǎn)，即內(nèi)切球的半徑為一（h為正四面體的高），且外接球的半徑一，從而可以通過截面圖中RtAOBE建44立棱長與半徑之間的關(guān)系。例2.設(shè)棱錐M

5、 - ABCD的底面是正方形，且MA MD，MA丄AB，如果AAMD的面積為1,試求能夠放入 這個(gè)棱錐的最大球的半徑。解： / AB 丄 AD, AB 丄 MA,. AB 丄平面 MAD，由此，面MAD丄面AC。記E是AD的中點(diǎn)，從而ME丄AD . ME丄平面AC，ME丄EF設(shè)球O是與平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.如圖 圖AMEF及內(nèi)切圓O不妨設(shè)O 平面MEF ,于是O是AMEF的內(nèi)心。2S設(shè)球O的半徑為r，則r AMEFEF + EM + MF2i(2 ) 2EM =_,MF =.ja2 +aIa丿，r ,2 I(2 )2a + + Ja 2 +a Ia丿22當(dāng)且僅當(dāng)a =，即

6、a = 2時(shí)，等號(hào)成立.a當(dāng)AD = ME =遼時(shí)，滿足條件的球最大半徑為邁-1?！军c(diǎn)評(píng)】根據(jù)棱錐的對(duì)稱性確定內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)位置，作出截面圖是解題的關(guān)鍵。圖3圖4圖5題相切, 球心 的棱二、球與棱柱的組合體問正方體的內(nèi)切球：球與正方體的每個(gè)面都 切點(diǎn)為每個(gè)面的中心，顯然 為正方體的中心。設(shè)正方體 長為a，球半徑為R。 如圖3,截面圖為正方形aEFGH的內(nèi)切圓，得R =-；與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點(diǎn)為各棱的中點(diǎn)，如圖4作截面圖，圓O為正 方形EFGH的外接圓，易得R =上-a .2正方體的外接球：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，如圖5,以對(duì)角面AA作截面圖得，圓O為矩形1J3AACC的外接圓，易得R = AO =a。1 1 1 2例3.在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C。如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA = PB = PC = a, 那么這個(gè)球的表面積是.