高中數(shù)學(xué)必修二 專題03 平面向量的應(yīng)用（重難點(diǎn)突破）（含答案）

1、專題03 平面向量的應(yīng)用一、考情分析高考對(duì)本部分的考查主要涉及平面向量的數(shù)量積和向量的線性運(yùn)算，以運(yùn)算求解和數(shù)形結(jié)合為主，重點(diǎn)掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，掌握向量加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義等，注重轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.平面向量的數(shù)量積一直是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，尤其是平面向量的數(shù)量積，主要考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算、向量的幾何意義、模與夾角、兩向量的垂直等問(wèn)題題型一般以選擇題、填空題為主.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，尤其是用坐標(biāo)表示的向量共線的條件是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，一般是

2、通過(guò)向量的坐標(biāo)表示，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，有時(shí)也作為解答題中的條件，應(yīng)用向量的平行或垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換二、經(jīng)驗(yàn)分享1.向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為0的向量其方向是任意的記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量非零向量a的單位向量為eq f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量

3、的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律向量的加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：abba. (2)結(jié)合律：(ab)ca(bc).向量的減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算三角形法則aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3.向量共線定理如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba(a0)，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a(a0)是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba.4、平面向量基本定理（1）平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，將向量進(jìn)行分解.向量的坐標(biāo)表示的

4、本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵.（2）平面向量共線的坐標(biāo)表示兩向量平行的充要條件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是ab，這與x1y2x2y10在本質(zhì)上是沒(méi)有差異的，只是形式上不同.（3）三點(diǎn)共線的判斷方法：判斷三點(diǎn)是否共線，先求由三點(diǎn)組成的任兩個(gè)向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定.失誤與防范要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)中包含向量大小和方向兩種信息；兩個(gè)向量共線有方向相同、相反兩種情況.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成eq f(x1,x2)eq f(y1,y2)，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2x2y

5、10.5、平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab|a|b|cos .規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_0_.兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是ab0，兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件是ab|a|b|.6、平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積.7、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)(1)eaae|a|cos ；(2)非零向量a，b，abab0；(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，ab|a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab|a|b|，aaa2，|a|eq r(aa)；(4)cos eq f

6、(ab,|a|b|)；(5)|ab|a|b|.8、平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律(1)abba(交換律)；(2)(a)b(ab)a(b)(為實(shí)數(shù))；(3)(ab)cacbc.9、平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y)，則|a|2x2y2或|a|eq r(x2y2).(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A、B兩點(diǎn)間的距離|AB|eq o(AB,sup6()|eq r(x2x12y2y12).(3)設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y20.10、主要問(wèn)題歸類與方法

7、：1）幾何圖形中的向量關(guān)系與計(jì)算問(wèn)題方法1：基底法，選擇適當(dāng)?shù)幕?，把所研究的向量用基底表示；方?：坐標(biāo)法，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，找到圖形中各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出各向量的坐標(biāo)2）方法選擇與優(yōu)化建議：解決這類問(wèn)題的基本方法是：（1）基底法；（2）坐標(biāo)法第(1)題用基底法，方便，第(2)題的兩種解法總體難度相當(dāng)，坐標(biāo)法相對(duì)比較好想一點(diǎn)三、題型分析（一）平面向量線性運(yùn)算問(wèn)題的求解策略：（1）進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)（2）向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中

8、的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用（3）用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧：觀察各向量的位置；尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；運(yùn)用法則找關(guān)系；化簡(jiǎn)結(jié)果.例1.（1）【四川省2020屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題】在平面四邊形中，滿足，則四邊形是（ ）A矩形B正方形C菱形D梯形【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形的?duì)角線互相垂直，所以四邊形是菱形.（2）.【廣東省2019屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題】已知中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則ABCD【答案】D【解析】由點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，可得2，由，可得2（）4，即2（）+12，可得6，即，故選D

9、【名師點(diǎn)睛】本題考查向量的中點(diǎn)表示，以及向量的加減運(yùn)算和向量共線定理的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題解答時(shí)，由向量的中點(diǎn)表示和加減運(yùn)算、以及向量的共線定理，即可得到結(jié)論【變式訓(xùn)練1】【湖師范大學(xué)附屬中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)試題】如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，則 A BCD 【答案】D【解析】根據(jù)題意得：，又，所以.故選D.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的基本定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.【變式訓(xùn)練2】（2020北京高二學(xué)業(yè)考試）如果正的邊長(zhǎng)為1，那么等于ABC1D2【答案】B【解析】正的邊長(zhǎng)為1，故選：B平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（平行與垂直）：例2【福建省寧德市

10、2020屆高三畢業(yè)班第二次（5月）質(zhì)量檢查考試數(shù)學(xué)試題】若已知向量，若，則的值為ABCD【答案】D【解析】向量，且，即，故選D.【名師點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，涉及向量平行的充要條件，數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能【變式訓(xùn)練1】（2020上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬大境中學(xué)高二期末）已知為兩個(gè)單位向量，那么下列四個(gè)命題中正確的是（ ）AB若，則CD【答案】D【解析】若，則，且方向相同中，方向未規(guī)定；中，方向相同或相反，均不能得到，則錯(cuò)誤；中，錯(cuò)誤；中， ，正確.故選：【變式訓(xùn)練2】（2019河南高三月考）設(shè)向量，且，則實(shí)數(shù)的值為（ ）ABCD【答案】D【解析】 ，解得：本題正確選項(xiàng)：【變式訓(xùn)練3】（

11、2020浙江高三月考）設(shè)向量，若向量與向量垂直，則實(shí)數(shù)的值為（ ）AB1CD【答案】D【解析】由已知得，向量與向量垂直，.即，解得.故選D.（三）平面向量數(shù)量積的類型及求法：（1）平面向量數(shù)量積有兩種計(jì)算公式：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式.（2）求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn).（3）兩個(gè)應(yīng)用：求夾角的大?。喝鬭，b為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得(夾角公式)，所以平面向量的數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)角度的問(wèn)題確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向

12、量的夾角為鈍角.例3（1）.【2019年高考天津卷理數(shù)】在四邊形中，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則_例3（1）（2020河南高三月考）已知的重心恰好在以邊為直徑的圓上，若，則（ ）A1B2C3D4【答案】B【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，則.因?yàn)榈闹匦那『迷谝赃厼橹睆降膱A上，所以且，解得.（2）.【山東省煙臺(tái)市2019屆高三3月診斷性測(cè)試（一模)數(shù)學(xué)試題】在矩形中，,若點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則A4B3C2D1【答案】C【解析】由題意作出圖形，如圖所示：由圖及題意，可得：，.故選：C【名師點(diǎn)睛】本題主要考查基底向量的設(shè)立，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題【變式訓(xùn)練1】（2020黑龍江大慶一中高考模擬）已知向量，且，

13、則實(shí)數(shù)_【答案】1【解析】；故答案為：【變式訓(xùn)練2】（2020陜西省黃陵縣中學(xué)高一期末）已知向量，則與的夾角等于_.【答案】【解析】 又由兩向量夾角的范圍是.（四）平面向量的模及其應(yīng)用的類型與解題策略：（1）求向量的模解決此類問(wèn)題應(yīng)注意模的計(jì)算公式，或坐標(biāo)公式的應(yīng)用，另外也可以運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算公式列方程求解（2）求模的最值或取值范圍解決此類問(wèn)題通常有以下兩種方法：幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)合模的幾何意義求模的最值或取值范圍；代數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍（3）由向量的模求夾角對(duì)于此類問(wèn)題的求解，其實(shí)質(zhì)是求向量模方法的逆運(yùn)

14、用.例4（山東省安丘市、諸城市、五蓮縣、蘭山區(qū)2020屆高三5月校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題）已知，且，則向量在方向上的投影的數(shù)量為A1BCD【答案】D【解析】由得，所以，所以向量在方向上的投影的數(shù)量為，故選D.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查向量的投影，熟記向量數(shù)量積的幾何意義即可，屬于常考題型.求解時(shí)，先由求出，再由即可求出結(jié)果.【變式訓(xùn)練1】已知向量滿足，且在方向上的投影是，則實(shí)數(shù)AB2CD【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄繚M足，所以，設(shè)向量的夾角為，則，所以，即，解得.故選A.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查向量的投影及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:（

15、1）求向量的夾角， （此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）若向量垂直，則；（4）求向量的模（平方后需求）.【變式訓(xùn)練2】已知向量滿足，與垂直，則的最小值為ABCD【答案】B【解析】由題意知與垂直，則，可得又由，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值1故選B【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算及其應(yīng)用，以及向量的垂直條件和向量的模的計(jì)算，其中解答中熟記向量的模、數(shù)量積和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，合理準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題求解時(shí)，根據(jù)向量的模與數(shù)量積的運(yùn)算，求得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解（五）向量與平面幾何綜合問(wèn)題的解法：（1）坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)

16、的坐標(biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決（2）基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來(lái)進(jìn)行求解例5、已知向量a，b，c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a，b是夾角為60的兩個(gè)單位向量若向量c滿足c(a2b)5，則|c|的最小值為 【答案】eq f(5eq r(7),7)【解析】解法1（基向量和定義法）：因?yàn)?，設(shè)c與a2b的夾角為，由c(a2b)5得：5，即，所以，當(dāng)時(shí)，|c|的最小值為eq f(5eq r(7),7).解法2（坐標(biāo)法）：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè) a，b，c，因?yàn)閏(a2b)5，所以

17、，即，所以點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，又|c| （為坐標(biāo)原點(diǎn)），所以|c|的最小值即為坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離，即|c|.【變式訓(xùn)練1】在ABC中，AB3，AC2，BAC120，eq o(BM,sup6()eq o(BC,sup6().若eq o(AM,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(17,3)，則實(shí)數(shù)的值為_【答案】eq f(1,3)【解析】解法1(基底法) 因?yàn)閑q o(AM,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BM,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()e

18、q o(AC,sup6()(1)eq o(AB,sup6()，所以eq o(AM,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()(1)eq o(AB,sup6()(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()|eq o(AC,sup6()|2(1)|eq o(AB,sup6()|2(12)eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()49(1)(12)23cos1201912eq f(17,3)，解得eq f(1,3).解法2(坐標(biāo)運(yùn)算法) 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意有，A(0，0)，B(3，0)，C(1，eq r(3)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x

19、，y)，則(x3，y)(13，eq r(3)，即eq blc(avs4alco1(x34，,yr(3)，)故eq o(AM,sup6()eq o(BC,sup6()(34，eq r(3)(4，eq r(3)1912eq f(17,3)，解得eq f(1,3).（六） 平面向量數(shù)量積中的隱圓問(wèn)題通過(guò)建系運(yùn)用相關(guān)點(diǎn)法即可求得點(diǎn)的軌跡方程，通過(guò)點(diǎn)的軌跡方程發(fā)現(xiàn)其軌跡是一個(gè)圓，接下來(lái)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值問(wèn)題，那就簡(jiǎn)單了一般與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題，往往運(yùn)用軌跡思想，首先探求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，在了解其軌跡的基礎(chǔ)上一般可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓的關(guān)系或直線與圓的關(guān)系或兩圓之間的關(guān)系例6、已知ABC是

20、邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)P是以A為圓心的單位圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足eq o(AQ,sup6()eq f(2,3)eq o(AP,sup6()eq f(1,3)eq o(AC,sup6()，則|eq o(BQ,sup6()|的最小值是_. 【答案】 eq r(7)eq f(2,3)【解析】解法1 以A為原點(diǎn)，AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則eq o(AB,sup6()(3，0)，eq o(AC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(3r(3),2)，設(shè)Q(x，y)，P(x，y)，由eq o(AQ,sup6()eq f(2,3)eq o(AP,sup6()eq f(

21、1,3)eq o(AC,sup6()，得eq o(AQ,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)xf(1,2)，f(2,3)yf(r(3),2)，即eq blcrc (avs4alco1(xf(2,3)xf(1,2)，,yf(2,3)yf(r(3),2)，)所以eq blcrc (avs4alco1(f(2,3)xxf(1,2)，,f(2,3)yyf(r(3),2)，)兩式平方相加得eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(r(3),2)2eq f(4,9)(x2y2)，因?yàn)辄c(diǎn)P(x，y)在以A為圓心的單

22、位圓上，所以x2y21，從而有eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(r(3),2)2eq f(4,9)，所以點(diǎn)Q是以Meq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2)為圓心，Req f(2,3)的圓上的動(dòng)點(diǎn)，因此BQminBMReq r(blc(rc)(avs4alco1(3f(1,2)2blc(rc)(avs4alco1(0f(r(3),2)2)eq f(2,3)eq r(7)eq f(2,3).【變式訓(xùn)練1】 已知|eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|eq r(2)，且eq

23、 o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()1.若點(diǎn)C滿足|eq o(OA,sup6()eq o(CB,sup6()|1，則|eq o(OC,sup6()|的取值范圍是_【答案】eq r(6)1，eq r(6)1【解析】如圖，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OADB，則eq o(OD,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，因?yàn)閨eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|eq r(2)，eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()1，所以|eq o(OD,sup6()|eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()|e

24、q r(6)，由|eq o(OA,sup6()eq o(CB,sup6()|1得|eq o(OA,sup6()eq o(CB,sup6()|eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()|eq o(OD,sup6()eq o(OC,sup6()|eq o(CD,sup6()|1，所以點(diǎn)C在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上，而|eq o(OC,sup6()|表示點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離，從而|eq o(OD,sup6()|1|eq o(OC,sup6()|eq o(OD,sup6()|1，即eq r(6)1|eq o(OC,sup6()|eq r(6)1，即|eq o(OC,sup6()|的取值范圍是eq r(6)1，eq r(6)1【變式訓(xùn)練2】已知AB為圓O的直徑，M為圓O的弦CD上一動(dòng)點(diǎn)