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1、 付紅斐 計(jì)算與應(yīng)用數(shù)學(xué)系數(shù) 學(xué) 物 理 方 法Mathematical Physics Equations 第二章 分離變量法上一章中我們具體討論了定解問(wèn)題的提法，本章考慮如何求解定解問(wèn)題。求解定解問(wèn)題的關(guān)鍵：設(shè)法將PDE轉(zhuǎn)化為ODE。分離變量法是最常用的轉(zhuǎn)化手段之一。本章主要講有界空間的分離變量法，也稱(chēng)Fourier級(jí)數(shù)法。主要內(nèi)容1. 基礎(chǔ)知識(shí)2. 齊次方程+齊次邊界條件3. 非齊次方程4. 非齊次邊界條件3. 正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)二、幾類(lèi)ODE解法2.齊次方程和齊次邊界條件2.1 波動(dòng)方程混合問(wèn)題一. 模型描述 設(shè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)細(xì)弦，兩端固定，作微小橫向振動(dòng)。已知初始位移為(x)，初始速度為(

2、x)，試求弦的振動(dòng)規(guī)律。三. 模型求解 齊次方程、齊次邊條件，可運(yùn)用疊加原理。從而特征值與特征函數(shù)為Step 3. 解不構(gòu)成特征值問(wèn)題的ODE 即非零特解為代入初始條件，得小注：上述所求解嚴(yán)格來(lái)說(shuō)只是形式解，而非古典解。因疊加原理所需條件不一定成立，這里只討論形式解；分離變量法求解定解問(wèn)題的關(guān)鍵在于特征函數(shù)的確定和疊加原理的運(yùn)用； 方程和邊界條件必須是齊次的；從理論上講，分離變量法之所以成功，主要在于 1)特征值問(wèn)題有解； 2) 特征函數(shù)是完備的、正交的，且定解問(wèn)題的解可以按特征函數(shù)進(jìn)行展開(kāi)。由初始條件，得及其邊界條件。2.3 Laplace方程邊值問(wèn)題模型求解 所求解區(qū)域?yàn)閳A域，不能直接分離變量?？紤]坐標(biāo)變換。有界性條件周期性條件故特征

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