數(shù)學(xué)物理方法-14.2 分離變量法-1維熱傳導(dǎo)課件_第1頁
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文檔簡介

1、分離變量法將解表示為 時(shí)間函數(shù)X(x)空間函數(shù)T(t)導(dǎo)出時(shí)間函數(shù)和空間函數(shù)的常微分方程逐個(gè)求解X(x)和T(t)，每一個(gè)記為Xn(x)Tn(t)對(duì)于線性問題，疊加原理成立，則通解為基本步驟：變量分離，分別導(dǎo)出初始值問題，固有值問題；求解固有值問題，確定邊值問題的固有值和固有函數(shù)；根據(jù)固有值，求解初始值問題，含未知系數(shù)；解的疊加，根據(jù)偏微分方程的初始條件確定未知系數(shù)。分離變量法：均勻桿的熱傳導(dǎo)問題問題設(shè)有一均勻細(xì)桿，長為l，兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)為x=0和x=l，端點(diǎn)處的溫度保持為零度，已知桿上初始溫度分布為 ，求桿上的溫度變化規(guī)律。定解問題假設(shè)：(1)桿圓周表面絕熱，(2)等截面處溫度相等，那么，此

2、問題為一維熱傳導(dǎo)問題兩端溫度不變的桿的熱傳導(dǎo)問題采用分離變量法求解：邊界條件固有值問題：和兩端固定弦振動(dòng)方程的固有值問題相同兩端溫度不變的桿的熱傳導(dǎo)問題則定解問題的解為由初始條件得 ？算例：原始溫度分布xTu(x, 0)算例：系數(shù)cn隨n的變化nlog10(cn)算例：溫度變化圖n=30 xut=0t=10st=20st=30st=40s桿的熱傳導(dǎo)問題：改變定解條件改變邊界條件：一個(gè)或兩個(gè)為第二類或第三類邊界條件；對(duì)于分離變量法，一般地，固有值與固有函數(shù)會(huì)發(fā)生改變。 假設(shè)：桿表面絕熱；等截面處溫度相等。絕熱絕熱兩端絕熱桿的熱傳導(dǎo)問題使用分離變量法求解：兩端絕熱桿的熱傳導(dǎo)問題：解該邊值問題的固有值為：固有函數(shù)為：時(shí)間函數(shù)方程兩端絕熱桿的熱傳導(dǎo)問題則定解問題的解為由初始條件得 兩端絕熱桿：算例xTxut=0t=5st=10

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