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2.2 有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)一均勻細(xì)桿長(zhǎng)為 l，在 x=0 端溫度為0度，且保持溫度不變， x=l 端與外界絕熱。已知初始時(shí)刻溫度分布為 試求細(xì)桿上溫度的變化規(guī)律。令 代入方程及邊界條件中, 并引入?yún)?shù) 得當(dāng) 或 時(shí), 特征問(wèn)題當(dāng) 時(shí), 由邊界條件 從而 亦即特征根 特征函數(shù)為： 代入初始條件 比較系數(shù)得： 注1：對(duì)于波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程而言, 邊界條件唯一確定了其特征值和特征函數(shù)。特征值特征函數(shù)取值范圍 一一一二二二二一注2：用分離變量法求解包含第三類(齊次) 邊界條件 的定解問(wèn)題時(shí)，其過(guò)程與 第 一 類（或第二類）邊界條件相同， 但在確定特征值時(shí)，一般比較復(fù)雜。例 細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題 長(zhǎng)為 的均勻細(xì)桿，設(shè)與細(xì)桿垂直截面上各點(diǎn)的溫度相等，側(cè)面絕熱， 端絕熱， 端熱量自由散發(fā)到周圍介質(zhì)中，介質(zhì)溫度恒為0 ，初始溫度為 求此桿的溫度分布。 解 定解問(wèn)題為 當(dāng) 或 時(shí), 當(dāng) 時(shí), 由 得 由 得 故 即 令有函數(shù)方程對(duì)應(yīng)的特征函數(shù) 的方程： 解為故 （二）利用邊界條件,得到特征值問(wèn)題并求解出特征 值和特征函數(shù)。 （四）將所得特征解疊加，利用初始條件確定系數(shù)， 從而得到問(wèn)題的解。（一）將偏微分方程化為常微分方程。（方程齊次）分離變量法解題步驟（邊界條件齊次）（三）將特征值代入另一常微分方程， 得到解。 并 將此解與特征函數(shù)相乘，得到特征解。 練習(xí)

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