初中數(shù)學培優(yōu)輔導資料1

1、初中數(shù)學竟賽輔導資料(1)數(shù)的整除（一）內(nèi)容提要：如果整數(shù)A除以整數(shù)B(B0)所得的商A/B是整數(shù),那么叫做A被B整除.0能被所有非零的整數(shù)整除.一些數(shù)的整除特征除數(shù)2或54或25能被整除的數(shù)的特征末位數(shù)能被2或5整除末兩位數(shù)能被4或25整除8或125末三位數(shù)能被8或125整除3或9117,11,13各位上的數(shù)字和被3或9整除(如771，54324)奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)和相減,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)從右向左每三位為一段,奇數(shù)段的各數(shù)和與偶數(shù)段的各數(shù)和相減,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)能被7整

2、除的數(shù)的特征：抹去個位數(shù)減去原個位數(shù)的2倍其差能被7整除。如1001100298（能被7整除）又如700770014686，681256（能被7整除）能被11整除的數(shù)的特征：抹去個位數(shù)減去原個位數(shù)其差能被11整除如1001100199（能11整除）又如10285102851023102399（能11整除）例1已知兩個三位數(shù)328和2x9的和仍是三位數(shù)5y7且能被9整除。求x,y解：x,y都是0到9的整數(shù)，5y7能被9整除，y=6.3282x9567，x=3例2己知五位數(shù)1234x能被12整除，求X解：五位數(shù)能被12整除，必然同時能被3和4整除，當1234X能被3整除時，x=2，5，8當末兩位4

3、X能被4整除時，X0，4，8X8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位數(shù)解：五位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)是10234，但（124）（03）4，不能被11整除，只調(diào)整末位數(shù)仍不行調(diào)整末兩位數(shù)為30，41，52，63，均可，五位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)是10263。練習分解質(zhì)因數(shù)：（寫成質(zhì)因數(shù)為底的冪的連乘積）59318591287327610101102962若四位數(shù)987a能被3整除，那么a=_3若五位數(shù)12X34能被11整除，那么X_-4當m=_時，35m5能被25整除5當n=_時，9610n能被7整除6能被11整除的最小五位數(shù)是_,最大五位數(shù)是_7能被4整除的最大四位數(shù)是_，能被8整

4、除的最小四位數(shù)是_88個數(shù)：125，756，1011，2457，7855，8104，9152，70972中，能被下列各數(shù)整除的有（填上編號）：6_,8_,9_,11_9從1到100這100個自然數(shù)中，能同時被2和3整除的共_個，能被3整除但不是5的倍數(shù)的共_個。10由1，2，3，4，5這五個自然數(shù)，任意調(diào)換位置而組成的五位數(shù)中，不能被3整除的數(shù)共有幾個？為什么？11己知五位數(shù)1234A能被15整除，試求A的值。12求能被9整除且各位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)。13在十進制中，各位數(shù)碼是0或1，并能被225整除的最小正整數(shù)是（1989年全國初中聯(lián)賽題）2初中數(shù)學競賽輔導資料（）倍數(shù)約數(shù)內(nèi)容提要1兩

5、個整數(shù)A和B（B0），如果B能整除A（記作BA），那么A叫做B的倍數(shù)，B叫做A的約數(shù)。例如315，15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)。2因為0除以非0的任何數(shù)都得0，所以0被非0整數(shù)整除。0是任何非0整數(shù)的倍數(shù)，非0整數(shù)都是0的約數(shù)。如0是7的倍數(shù)，7是0的約數(shù)。03整數(shù)A（A0）的倍數(shù)有無數(shù)多個，并且以互為相反數(shù)成對出現(xiàn)，A，2A，都是A的倍數(shù)，例如5的倍數(shù)有5，10，。4整數(shù)A（A0）的約數(shù)是有限個的，并且也是以互為相反數(shù)成對出現(xiàn)的，其中必包括1和A。例如6的約數(shù)是1，2，3，6。5通常我們在正整數(shù)集合里研究公倍數(shù)和公約數(shù)，幾正整數(shù)有最小的公倍數(shù)和最犬的公約數(shù)。6公約數(shù)只有1的兩個正整數(shù)叫做互

6、質(zhì)數(shù)（例如15與28互質(zhì)）。7在有余數(shù)的除法中，被除數(shù)除數(shù)商數(shù)余數(shù)若用字母表示可記作：ABQR，當A，B，Q，R都是整數(shù)且B0時，AR能被B整除例如23372則232能被3整除。例題例1寫出下列各正整數(shù)的正約數(shù)，并統(tǒng)計其個數(shù)，從中總結(jié)出規(guī)律加以應(yīng)用：2，22，23，24，3，32，33，34，23，223，2232。解：列表如下正整數(shù)正約數(shù)個數(shù)計正整數(shù)正約數(shù)個數(shù)計正整數(shù)正約數(shù)個數(shù)計21，2231，32231，2，43，6221，2，43321，3，3232231，2，3，64，6，12231，2，4331，3，422321，2，3，4，6，94，832，339，12，18，36241，2，4，

7、58，16341，3，32，533，34其規(guī)律是：設(shè)Aambn(a，b是質(zhì)數(shù),m，n是正整數(shù))那么合數(shù)A的正約數(shù)的個是（m+1）(n+1)例如求360的正約數(shù)的個數(shù)解：分解質(zhì)因數(shù)：36023325，360的正約數(shù)的個數(shù)是（31）（21）（11）24（個）例2用分解質(zhì)因數(shù)的方法求24，90最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)解：24233，902325最大公約數(shù)是23，記作（24，90）6最小公倍數(shù)是23325360，記作24,90=360例3己知32，44除以正整數(shù)N有相同的余數(shù)2，求N解：322，442都能被N整除，N是30，42的公約數(shù)（30，42）6，而6的正約數(shù)有1，2，3，6經(jīng)檢驗1和2不合題意，

8、N6，3例4一個數(shù)被10余9，被9除余8，被8除余7，求適合條件的最小正整數(shù)分析：依題意如果所求的數(shù)加上1，則能同時被10，9，8整除,所以所求的數(shù)是10，9，8的最小公倍數(shù)減去1。解：10,9,8=360,所以所求的數(shù)是359練習2112的正約數(shù)有_,16的所有約數(shù)是_2分解質(zhì)因數(shù)300_,300的正約數(shù)的個數(shù)是_3用分解質(zhì)因數(shù)的方法求20和250的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。4一個三位數(shù)能被7，9，11整除，這個三位數(shù)是_5能同時被3，5，11整除的最小四位數(shù)是_最大三位數(shù)是_6己知14和23各除以正整數(shù)A有相同的余數(shù)2，則A_7寫出能被2整除，且有約數(shù)5，又是3的倍數(shù)的所有兩位數(shù)。答_8一個

9、長方形的房間長1.35丈，寬1.05丈要用同一規(guī)格的正方形瓷磚鋪滿，問正方形最大邊長可以是幾寸？若用整數(shù)寸作國邊長，有哪幾種規(guī)格的正方形瓷磚適合？9一條長階梯，如果每步跨2階，那么最后剩1階，如果每步跨3階，那么最后剩2階，如果每步跨4階，那么最后剩3階，如果每步跨5階，那么最后剩4階，如果每步跨6階，那么最后剩5階，只有每步跨7階，才能正好走完不剩一階，這階梯最少有幾階？3初中數(shù)學競賽輔導資料（）質(zhì)數(shù)合數(shù)內(nèi)容提要11正整數(shù)的一種分類：質(zhì)數(shù)合數(shù)質(zhì)數(shù)的定義：如果一個大于1的正整數(shù)，只能被1和它本身整除，那么這個正整數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（質(zhì)數(shù)也稱素數(shù)）。合數(shù)的定義：一個正整數(shù)除了能被1和本身整除外，還能被其

10、他的正整數(shù)整除，這樣的正整數(shù)叫做合數(shù)。2根椐質(zhì)數(shù)定義可知1)質(zhì)數(shù)只有1和本身兩個正約數(shù)，2)質(zhì)數(shù)中只有一個偶數(shù)2如果兩個質(zhì)數(shù)的和或差是奇數(shù)那么其中必有一個是2，3如果兩個質(zhì)數(shù)的積是偶數(shù)那么其中也必有一個是2，任何合數(shù)都可以分解為幾個質(zhì)數(shù)的積。能寫成幾個質(zhì)數(shù)的積的正整數(shù)就是合數(shù)。例題例1兩個質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)a(a5)。求這兩個數(shù)解：兩個質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)，必有一個是2所求的兩個質(zhì)數(shù)是2和a2。例2己知兩個整數(shù)的積等于質(zhì)數(shù)m,求這兩個數(shù)解：質(zhì)數(shù)m只含兩個正約數(shù)1和m,又（1）（m）=m，所求的兩個整數(shù)是1和m或者1和m.例3己知三個質(zhì)數(shù)a,b,c它們的積等于30，求適合條件的a,b,c的值解：分解質(zhì)

11、因數(shù)：30235適合條件的值共有：b3b5b2b5b2b3c5c3c5c2c3c2a2a2a3a3a5a5應(yīng)注意上述六組值的書寫排列順序，本題如果改為4個質(zhì)數(shù)a,b,c,d它們的積等于210,即abcd=2357那么適合條件的a，b，c，d值共有24組，試把它寫出來。例4試寫出4個連續(xù)正整數(shù)，使它們個個都是合數(shù)。解：（本題答案不是唯一的）設(shè)N是不大于5的所有質(zhì)數(shù)的積，即N235，那么N2，N3，N4，N5就是適合條件的四個合數(shù)即32，33，34，35就是所求的一組數(shù)。本題可推廣到n個。令N等于不大于n+1的所有質(zhì)數(shù)的積，那么N2，N3，N4，N(n+1)就是所求的合數(shù)。練習31小于100的質(zhì)數(shù)

12、共_個，它們是_c6三個質(zhì)數(shù)a,b,c它們的積等于1990.那么b8己知兩個質(zhì)數(shù)A和B適合等式AB99，ABM。求M及A2己知質(zhì)數(shù)P與奇數(shù)Q的和是11，則P，Q3己知兩個素數(shù)的差是41，那么它們分別是4如果兩個自然數(shù)的積等于19，那么這兩個數(shù)是如果兩個整數(shù)的積等于73，那么它們是如果兩個質(zhì)數(shù)的積等于15，則它們是5兩個質(zhì)數(shù)x和y，己知xy=91,那么x=_,y=_,或x=_,y=_.a7能整除311513的最小質(zhì)數(shù)是B的值BA9試寫出6個連續(xù)正整數(shù)，使它們個個都是合數(shù)。10具備什么條件的最簡正分數(shù)可化為有限小數(shù)？11求適合下列三個條件的最小整數(shù)：1)大于12)沒有小于10的質(zhì)因數(shù)3)不是質(zhì)數(shù)1

13、2某質(zhì)數(shù)加上6或減去6都仍是質(zhì)數(shù)，且這三個質(zhì)數(shù)均在30到50之間，那么這個質(zhì)數(shù)是13，一個質(zhì)數(shù)加上10或減去14都仍是質(zhì)數(shù)，這個質(zhì)數(shù)是。4初中數(shù)學競賽輔導資料（）零的特性內(nèi)容提要一零既不是正數(shù)也不是負數(shù)，是介于正數(shù)和負數(shù)之間的唯一中性數(shù)。零是自然數(shù)，是整數(shù)，是偶數(shù)。1零是表示具有相反意義的量的基準數(shù)。例如：海拔0米的地方表示它與基準的海平面一樣高；收支衡可記作結(jié)存0元。2零是判定正、負數(shù)的界限。若a0則a是正數(shù)，反過來也成立，若a是正數(shù)，則a0記作a0a是正數(shù)讀作a0等價于a是正數(shù)bb時,a-b0；當ab時,a-b0.三在近似數(shù)中，當0作為有效數(shù)字時，它表示不同的精確度。例如近似數(shù)1.6米與1

14、.60米不同，前者表示精確到0.1米（即1分米）,誤差不超過5厘米；后者表示精確到0.01米（即1厘米），誤差不超過5毫米。可用不等式表示其值范圍如下：1.55近似數(shù)1.61.651.595近似數(shù)1.60a,a2a2,aa,a+1a3x表示一切有理數(shù)，下面四句話中正確的共幾句？答：_句。1）（x2）2有最小值0，2）x+3|有最大值0，3）2x2有最大值2，4）3x1有最小3。4絕對值小于5的有理數(shù)有幾個？它們的積等于多少？為什么？6要使下列等式成立，字母X、Y應(yīng)取什么值？1（Y3）207下列說法正確嗎？為什么？0X0，X（X3）0，X1）a的倒數(shù)是1a；2）方程（a1）X3的解是X3a13）

15、n表示一切自然數(shù)，2n1表示所有的正奇數(shù)；4）如果ab,那么m2am2b(a、b、m都是有理數(shù))（8X取什么值時，下列代數(shù)式的值是正數(shù)？X（X1）X（X1）X2）5初中數(shù)學競賽輔導資料（）an的個位數(shù)內(nèi)容提要1整數(shù)a的正整數(shù)次冪an,它的個位數(shù)字與a的末位數(shù)的n次冪的個位數(shù)字相同。例如20023與23的個位數(shù)字都是8。20，1，5，6，的任何正整數(shù)次冪的個位數(shù)字都是它們本身。例如57的個位數(shù)是5，620的個位數(shù)是6。32，3，7的正整數(shù)次冪的個位數(shù)字的規(guī)律見下表：指數(shù)底數(shù)23712372499387346115237649978738611923710499其規(guī)律是：2的正整數(shù)次冪的個位數(shù)是按

16、2、4、8、6四個數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)，即24k+1與21，24K2與22，24K3與23，24K4與24的個位數(shù)是相同的（K是正整數(shù)）。3和7也有類似的性質(zhì)。44，8，9的正整數(shù)次冪的個位數(shù)，可仿照上述方法，也可以用422，823，932轉(zhuǎn)化為以2、3為底的冪。5綜上所述，整數(shù)a的正整數(shù)次冪的個位數(shù)有如下的一般規(guī)律：a4Km與am的個位數(shù)相同(k,m都是正整數(shù)。例題例120032003的個位數(shù)是多少？解：20032003與32003的個位數(shù)是相同的，200345003，32003與33的個位數(shù)是相同的，都是7，2003的個位數(shù)是7。例2試說明6320001472002的和能被10整除的理由解：200

17、04500，200245002632000與34的個位數(shù)相同都是1，1472002與72的個位數(shù)相同都是9，6320001472002的和個位數(shù)是0，6320001472002的和能被10整除。例3K取什么正整數(shù)值時，3k2k是5的倍數(shù)？解：列表觀察個位數(shù)的規(guī)律K3的個位數(shù)2的個位數(shù)3k2k的個位數(shù)13252397485416從表中可知，當K1，3時，3k2k的個位數(shù)是5，am與a4n+m的個位數(shù)相同（m,n都是正整數(shù)，a是整數(shù)），當K為任何奇數(shù)時，3k2k是5的倍數(shù)。練習51在括號里填寫各冪的個位數(shù)（K是正整數(shù)）220的個位數(shù)是（）45的個位數(shù)是（）330的個位數(shù)是（）87的個位數(shù)是（）74

18、K+1的個位數(shù)是（）31179的個位數(shù)是（）216314的個位數(shù)是（）32k-172k-1的個位數(shù)是（）72k32k的個位數(shù)是（）74k-164k-3的個位數(shù)是（）7710331522205525的個位數(shù)是（）2目前知道的最大素數(shù)是22160911，它的個位數(shù)是。3說明如下兩個數(shù)都能被10整除的理由。5353333319871989199319914正整數(shù)m取什么值時，3m1是10的倍數(shù)？5設(shè)n是正整數(shù)，試說明2n7n+2能被5整除的理由。6若a4的個位數(shù)是5，那么整數(shù)a的個位數(shù)是若a4的個位數(shù)是1，那么整數(shù)a的個位數(shù)是若a4的個位數(shù)是6，那么整數(shù)a的個位數(shù)是若a2k-1的個位數(shù)是7，那么整數(shù)

19、a的個位數(shù)是712+22+32+92的個位數(shù)是，12+22+32+192的個位數(shù)是，12+22+32+292的個位數(shù)是。8.a,b,c是三個連續(xù)正整數(shù)，a2=14884,c2=15376,那么b2是（）（A）15116（B）15129（C）15144（D）15321記作Z（a），而它的余數(shù)記作R（），那么Z（）3，R（）1；又如設(shè)x表示不大于x的最大整數(shù)，那么5.25，5.26，0，33。6初中數(shù)學競賽輔導資料（）數(shù)學符號內(nèi)容提要數(shù)學符號是表達數(shù)學語言的特殊文字。每一個符號都有確定的意義，即當我們把它規(guī)定為某種意義后，就不再表示其他意義。數(shù)學符號一般可分為：eqoac(,1)元素符號：通常用小

20、寫字母表示數(shù)，用大寫字母表示點，用和表示園和三角形等。2關(guān)系符號：如等號，不等號，相似，全等，平行，垂直等。3運算符號：如加、減、乘、除、乘方、開方、絕對值等。4邏輯符號：略5約定符號和輔助符號：例如我們約定正整數(shù)a和b中，如果a除以b的商的整數(shù)部份a1010bb3323正確使用符號的關(guān)健是明確它所表示的意義（即定義）對題設(shè)中臨時約定的符號，一定要扣緊定義，由簡到繁，由淺入深，由具體到抽象，逐步加深理解。在解題過程中為了簡明表述，需要臨時引用輔助符號時，必須先作出明確的定義，所用符號不要與常規(guī)符號混淆。例題例1設(shè)Z表示不大于Z的最大整數(shù)，n為正整數(shù)n除以3的余數(shù)計算：4.07233413;20

21、0414.7。721解：原式4（3）100原式142022例2求19871988的個位數(shù)說明1987198919931991能被10整除的理由解：設(shè)N（x）表示整數(shù)x的個位數(shù)，N（19871988）N（74497）N（74）1N（19871989）N（19931991）N（744971）N（344973）N（71）N（33）7701987198919931991能被10整除由于引入輔助符號，解答問題顯得簡要明瞭。例3定義一種符號的運算規(guī)則為：ab=2a+b試計算：53（17）4解：5325313（217）49429422例4設(shè)ab=a(ab+7),求等式3x=2(-8)中的x解：由題設(shè)可知：等

22、式3x=2(-8)就是3（3x7）22（8）79x+21=18x=413練習61設(shè)Qx表示有理數(shù)x的整數(shù)部分，那么Q2.15_Q12.3=_Q0.03_Q1_52設(shè)n表示不小于n的最小整數(shù)，那么4.3_2.3_2_0.30.3_3設(shè)m表示不大于m的最大整數(shù)若m=2則m=_若n=3.5則n=_若1Y0則Y_若7b8則b_若x=4則x若nCn1則C_4正整數(shù)a和b中，設(shè)a除以b的商的整數(shù)部分記作Z（ab）余數(shù)記作R（ab），ab的個位數(shù)記作n（ab）,寫出下列各數(shù)的結(jié)果：R(337)R(25)_Z(337)Z(25)_n(19891990)=_5設(shè)n！表示自然數(shù)由1到n的連乘積。例如5！12345

23、120。計算：1203!5!3!(53)!a6設(shè)=1a2b1b22=a1b2a2b1計算：13411107定義一種符號的運算法則為ab=a2b2ab那么32_23_（12）3_（3）（10）_8a,b都是正整數(shù)，設(shè)ab表示從a起b個連續(xù)正整數(shù)的和。例如23234；545678。己知：X52005，求Xx9設(shè)x表示不大于x數(shù)的最大整數(shù)且xx，求10設(shè)a表示不大于數(shù)a的最大整數(shù)，例如21，22那么，3x+12x-12的所有的根的和是（1987年全國初中聯(lián)賽題）7初中數(shù)學競賽輔導資料（）用字母表示數(shù)內(nèi)容提要和例題1用字母表示數(shù)最明顯的好處是能把數(shù)量間的關(guān)系簡明而普遍地表達出來，從具體的數(shù)字計算到用抽

24、象的字母概括運算規(guī)律上，是一種飛躍。2用字母表示數(shù)時，字母所取的值，應(yīng)使代數(shù)式有意義，并使它所表示的實際問題有意義。例如寫出數(shù)a的倒數(shù)用字母表示一切偶數(shù)解：當a0時，a的倒數(shù)是1a設(shè)n為整數(shù)，2n可表示所有偶數(shù)。3命題中的字母，一般要注明取值范圍，在沒有說明的情況下，它表示所學過的數(shù)，并且能使題設(shè)有意義。例1化簡：x3（x3）|x+5|解：x3,x30，x3（x3）x3當x5時，x5x5，當x0，b0，那么a+b0，不可逆絕對值性質(zhì)如果a0,那么|a|=a也不可逆(若|a|=a則a0)7有規(guī)律的計算，常可用字母表示其結(jié)果，或概括成公式。例題例1：正整數(shù)中不同的五位數(shù)共有幾個？不同的n位數(shù)呢？解

25、：不同的五位數(shù)可從最大五位數(shù)99999減去最小五位數(shù)10000前的所有正整數(shù)，即99999-9999=90000.推廣到n位正整數(shù)，則要觀察其規(guī)律一位正整數(shù),從1到9共9個，記作91二位正整數(shù)從10到99共90個，記作910三位正整數(shù)從100到999共900個，記作9102四位正整數(shù)從1000到9999共9000個，記作9103(指數(shù)3=4-1)n位正整數(shù)共910n-1個例2_ACDEB在線段AB上加了3個點C、D、E后，圖中共有幾條線段？加n點呢？解：以A為一端的線段有：AC、AD、AE、AB共4條以C為一端的線段有：(除CA外)CD、CE、CB共3條以D為一端的線段有：(除DC、DA外)D

26、E、DB共2條以E為一端的線段有：(除ED、EC、EA外)EB共1條共有線段1+2+3+4=10(條)注意：3個點時，是從1加到4，因此如果是n個點，則共有線段1+2+3+n+1=練習71n1n(n2)n=22條1右邊代數(shù)式中的字母應(yīng)取什么值？4x2S正方形=a23的倍數(shù)3n2用字母表示：一切奇數(shù)所有正偶數(shù)一個三位數(shù)n個a相乘的結(jié)果負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).3寫出：從1開始，n個自然數(shù)的和是_從11開始到2n+1連續(xù)奇數(shù)的和(n5)是_m個球隊進行單循環(huán)賽所需場數(shù)是_4已知999=1031,9999=1041,那么各位數(shù)都是9的n位數(shù)9999=_On15計算112=1112=(n10時)111

27、2=_n6寫出圖中所有三角形并計算其個數(shù)，如果線段上有10個點呢？ABCD8初中數(shù)學競賽輔導資料（）抽屜原則內(nèi)容提要14個蘋果放進3個抽屜，有一種必然的結(jié)果：至少有一個抽屜放進的蘋果不少于2個（即等于或多于2個）；如果7個蘋果放進3個抽屜，那么至少有一個抽屜放進的蘋果不少73，62m表示不小于mn的最小整數(shù)，例如n33于3個（即的等于或多于3個），這就是抽屜原則的例子。2如果用。那么抽屜原則可定義為：m個元素分成n個集合（m、n為正整數(shù)mn）,則至少有一個集合里元素不少于mnm的定義，己知m、n可求m；nnm個n解：200020006366個。3根據(jù)mm的范圍，例如己知n3，那么2mx己知n，

28、則可求mnn3；己知32，則1x32，即3x6，x有最小整數(shù)值4。例題例1某校有學生2000人，問至少有幾個學生生日是同一天？m分析：我們把2000名學生看作是蘋果，一年365天（閏年366天）看作是抽屜，即把（2000）個元素，分成n(366)個集合，至少有一個集合的元素不少于175答：至少有6名學生的生日是同一天366366例2從1到10這十個自然數(shù)中，任意取出6個數(shù)，其中至少有兩個是倍數(shù)關(guān)系，試說明這是為什么。解：我們把1到10的奇數(shù)及它們的倍數(shù)放在同一集合里，則可分為5個集合，它們是：1，2，4，8，3，6，5，10，7，9。要在5個集合里取出6個數(shù)，至少有兩個是在同一集合，而在同一集

29、合里的任意兩個數(shù)都是倍數(shù)關(guān)系。（本題的關(guān)鍵是劃分集合，想一想為什么9不能放在3和6的集合里）。例3袋子中有黃、紅、黑、白四種顏色的小球各6個,請你從袋中取出一些球，要求至少有3個顏色相同，那么至少應(yīng)取出幾個才有保證。分析：我們可把4種球看成4個抽屜（4個集合），至少有3個球同顏色，看成是至少有一個抽屜不少于3個（有一個集合元素不少于3個）。解：設(shè)至少應(yīng)取出x個，用x4表示不小于x4的最小整數(shù)，那么x43，2x43，即8x12，最小整數(shù)值是9。答：至少要取出9個球，才能確保有三個同顏色。例4等邊三角形邊長為2，在這三角形內(nèi)部放入5個點，至少有2個點它們的距離小于1，試說明理由。解：取等邊三角形各

30、邊中點，并連成四個小三角形（如圖）它們邊長等于1，5個點放入4個三角形，至少有2個點放在同一個三角形內(nèi)，而同一個三角形內(nèi)的2個點之間的距離必小于邊長1。練習81初一年新生從全縣17個鄉(xiāng)鎮(zhèn)招收50名，則至少有人來自同一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)。2任取30個正整數(shù)分別除以7，那么它們的余數(shù)至少有個是相同的。3在2003m中，指數(shù)m任意取10個正整數(shù)，那么這10個冪的個位數(shù)中相同的至少于個.4暗室里放有四種不同規(guī)格的祙子各30只，為確保取出的祙子至少有1雙（2只同規(guī)格為1雙）那么至少要取幾只？若要確保10雙呢？5袋子里有黑、白球各一個,紅、藍、黃球各6個.請你拿出一些球,要確保至少有4個同顏色,那么最少要取幾個?6任

31、意取11個正整數(shù)，至少有兩個它們的差能被10整除，這是為什么？7右圖有3行9列的方格，若用紅、藍兩種顏色涂上，則至少有2列的涂色方式是一樣的，試說明這是為什么。8任意取3個正整數(shù)，其中必有兩個數(shù)它們的平均數(shù)也是正整數(shù)。試說明理由。990粒糖果分給13個小孩，每人至少分1粒，不管怎樣分，總有兩人分得同樣多，這是為什么？（1011個互不相同的正整數(shù)，它們都小于20，那么一定有兩個是互質(zhì)數(shù)。最大公約數(shù)是1的兩個正整數(shù)叫互質(zhì)數(shù)）11任意6個人中，或者有3個人他們之間都互相認識，或者有3個人他們之間都互不相識，兩者必居其一，這是為什么？初中數(shù)學競賽輔導資料(9)一元一次方程解的討論甲內(nèi)容提要1，方程的解

32、的定義：能使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如：方程2x60，x（x-1）=0,|x|=6,0 x=0,0 x=2的解分別是：x=3,x=0或x=1,x=6,所有的數(shù)，無解。2，關(guān)于x的一元一次方程的解（根）的情況：化為最簡方程ax=b后，討論它的解：當a0時，有唯一的解x=ba；當a=0且b0時，無解；當a=0且b0時，有無數(shù)多解。（不論x取什么值，0 x0都成立）3,求方程ax=b(a0)的整數(shù)解、正整數(shù)解、正數(shù)解當ab時，方程有整數(shù)解；當ab，且a、b同號時，方程有正整數(shù)解；當a、b同號時，方程的解是正數(shù)。綜上所述，討論一元一次方程的解，一般應(yīng)先化為

33、最簡方程ax=b乙例題例1a取什么值時，方程a(a2)x=4(a2)有唯一的解？無解？有無數(shù)多解？是正數(shù)解？4解：當a0且a2時，方程有唯一的解，x=a當a=0時，原方程就是0 x=8，無解；當a=2時，原方程就是0 x=0有無數(shù)多解由可知當a0且a2時，方程的解是x=4a,只要a與4同號，當k0時x=k6即當a0且a2時，方程的解是正數(shù)。例2k取什么整數(shù)值時，方程k(x+1)=k2（x2）的解是整數(shù)？（1x）k=6的解是負整數(shù)？解：化為最簡方程（k2）x=4當k+2能整除4，即k+2=1，2，4時，方程的解是整數(shù)k=1，3，0，4，2，6時方程的解是整數(shù)。化為最簡方程kx=k6，6=1，kk

34、只要k能整除6,即k=1，2，3，6時，x就是整數(shù)當k=1,2,3時，方程的解是負整數(shù)5，2，1。例3己知方程a(x2)=b(x+1)2a無解。問a和b應(yīng)滿足什么關(guān)系？解：原方程化為最簡方程：(ab)x=b方程無解，ab=0且b0a和b應(yīng)滿足的關(guān)系是a=b0。例4a、b取什么值時，方程（3x2）a+（2x3）b=8x7有無數(shù)多解？解：原方程化為最簡方程：（3a+2b8）x=2a+3b7，根據(jù)0 x0時，方程有無數(shù)多解，可知當3a2b802a3b70時，原方程有無數(shù)多解。解這個方程組得a2b1答當a=2且b=1時，原方程有無數(shù)多解。丙練習（9）1,根據(jù)方程的解的定義，寫出下列方程的解：(x+1)

35、=0,x2=9,|x|=9，|x|=3,3x+1=3x1,x+2=2+x2,關(guān)于x的方程ax=x+2無解，那么a_3,在方程a(a3)x=a中，當a取值為時，有唯一的解；當a時無解；當a時,有無數(shù)多解；當a時,解是負數(shù)。4，k取什么整數(shù)值時，下列等式中的x是整數(shù)？x=462k33k2x=x=x=kk1kk15，k取什么值時，方程xk=6x的解是正數(shù)？是非負數(shù)？6，m取什么值時，方程3（m+x）=2m1的解是零？是正數(shù)？7，己知方程3x6a2142的根是正數(shù)，那么a、b應(yīng)滿足什么關(guān)系？x28，m取什么整數(shù)值時，方程(1)m1m的解是整數(shù)?33b39，己知方程(x1)1ax有無數(shù)多解，求a、b的值。22初中數(shù)學競賽輔導資料（10）二元一次方程的整數(shù)解甲內(nèi)容提要1，二元一次方程整數(shù)解存在的條件：在整系數(shù)方程ax+by=c中，若a,b的最大公約數(shù)能整除c,則方程有整數(shù)解。即如果（a,b）|c則方程ax+by=c有整數(shù)解顯然a,b互質(zhì)時一定有整數(shù)解。例如方程3x+5y=1,5x-2y=7,9x+3y=6都有整數(shù)解。返過來也成立，方程9x+3y=10和4x-2y=1都沒有整數(shù)解，（9，3）3，而3不能整除10；（4，2）2，而2不能整除