平行與垂直第一講

1、平行與垂直 第一講嘉賓單位職稱(chēng)王尚志首都師范大學(xué)教授張思明北大附中特級(jí)教師宋其云陳經(jīng)綸中學(xué)高級(jí)教師李大永首都師范大學(xué)附中高級(jí)教師張思明：各位老師大家好，歡迎大家繼續(xù)參加高中數(shù)學(xué)新課程遠(yuǎn)程培訓(xùn)，我們這一講的主要內(nèi)容是立體幾何中平行或垂直的判定和性質(zhì)，首先介紹一下參加我們這節(jié)課討論的幾位到場(chǎng)嘉賓，最右邊那位是大家最熟悉的首都師范大學(xué)博士生導(dǎo)師王尚志教授，挨著王老師坐的是北京陳經(jīng)綸中學(xué)宋其云老師，我身邊這位是首都師范大學(xué)附中的李大永老師，歡迎三位老師參加我們的討論。我們還是先請(qǐng)王老師幫我們分析一下，在立體幾何定理、性質(zhì)，判定這么多內(nèi)容里面，我們把判定和性質(zhì)的課作為我們選擇的一個(gè)內(nèi)容，為什么要這樣考慮

2、？王尚志：我們選擇這個(gè)作為課例的考慮是這樣的，因?yàn)樵谡n程標(biāo)準(zhǔn)里面關(guān)于直線(xiàn)、平面、點(diǎn)的位置關(guān)系里面有兩種位置關(guān)系，一種是平行，一種是垂直，而在平行和垂直里又有兩部分的任務(wù)，一部分是性質(zhì)定理，一部分是判定定理，按照課標(biāo)的要求，判定的定理是不要求證明的，但是要求學(xué)生能夠了解、理解這些判定定理，并學(xué)會(huì)用這些東西去處理一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。 現(xiàn)在的一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題就是如何講授線(xiàn)面或者線(xiàn)線(xiàn)垂直和平行的判定性質(zhì)，這件事情和我們?cè)瓉?lái)的處理有點(diǎn)不同，因此在不要求證明的前提下，如何幫助學(xué)生能夠了解、理解和掌握判定定理去處理一些問(wèn)題。我想這件事情是有一定挑戰(zhàn)性的，我們老師常常容易感覺(jué):如果不證,我們?cè)趺粗v？我們想核心問(wèn)題就

3、在這，那么我們?cè)趺礃釉诓蛔C明的前提下如何幫助學(xué)生更好的了解、理解和掌握線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面垂直和平行的判定定理，我想這是我們?cè)O(shè)置這樣一個(gè)題目的一個(gè)初衷。張思明：王老師對(duì)我們這個(gè)課的想法做了一些分析，下面我們一起來(lái)看宋其云老師給我們做的課堂實(shí)錄，這節(jié)課是宋老師在陳經(jīng)綸中學(xué)講授的線(xiàn)面、面面平行的這樣的一節(jié)課，我們一起來(lái)看一下。 好，剛才看了宋老師給我們帶來(lái)了一個(gè)非常清晰的課堂實(shí)錄，當(dāng)然時(shí)間關(guān)系這只是一個(gè)片斷，下面我們還看一個(gè)短片，是針對(duì)這節(jié)課陳經(jīng)綸中學(xué)數(shù)學(xué)教研組的一個(gè)小型的研討，這個(gè)研討活動(dòng)的主題就是對(duì)宋老師這節(jié)課進(jìn)行了分析和點(diǎn)評(píng)。 好，我們看到的也是一個(gè)片段，組里討論的時(shí)間很挺長(zhǎng)，我們就取了一部分，

4、我們想問(wèn)一問(wèn)宋老師這節(jié)課給你帶來(lái)的一種感覺(jué)，跟以前你教這節(jié)課最感覺(jué)不同的地方，或者是最有心得的地方是什么？宋其云：這兩個(gè)片段一個(gè)是直線(xiàn)和平面平行的判定，還有一個(gè)是平面和平面平行的判定，跟以前比較，比較大的變化就是對(duì)這兩個(gè)判定定理不要求證明，教材這么安排主要的思想，我理解是為了減輕幾何論證的難度，降低立體幾何學(xué)習(xí)的門(mén)檻，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)，強(qiáng)調(diào)一下教材編寫(xiě)的目的就是發(fā)展學(xué)生的空間觀念，如果是強(qiáng)調(diào)幾何論證的同時(shí)，可能削弱學(xué)生對(duì)空間想象能力的一種培養(yǎng)，因?yàn)樗淖C明過(guò)程可能有點(diǎn)喧賓奪主的嫌疑，所以，我在設(shè)計(jì)這節(jié)課的時(shí)候，還是主要想怎么樣選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，能夠幫助學(xué)生理解抽象的概念，為他提供

5、一個(gè)有利的支撐。這是第一個(gè)想法。 第二個(gè)想法是：怎么設(shè)計(jì)學(xué)生的活動(dòng)，能夠充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的各種器官，讓他參與到整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，使他對(duì)幾何直觀能力的培養(yǎng)有一個(gè)比較好的支撐，這是我大概的想法。張思明：宋老師的課上也充分表現(xiàn)了這樣的想法，與此類(lèi)似的我們還給大家提供了一個(gè)非常短的課堂實(shí)錄的片段，是由北京五中熊丹老師做的，她是在課堂上用操作試驗(yàn)的辦法讓學(xué)生理解線(xiàn)面垂直的判定定理，我們一起來(lái)看這個(gè)過(guò)程。 好，我們看完了這兩段錄像，我們也有了一個(gè)非常直觀的認(rèn)識(shí)，我們特別想聽(tīng)聽(tīng)到場(chǎng)的兩位嘉賓老師的看法，為什么您覺(jué)得在立體幾何判定和性質(zhì)課程設(shè)計(jì)中，為什么老師們要努力朝著這個(gè)目前方向安排，幫我們說(shuō)說(shuō)您的看法。李大永：

6、因?yàn)樵跁r(shí)間上來(lái)講，同樣一堂課45分鐘，過(guò)去是把證明花了很長(zhǎng)的時(shí)間，而且學(xué)生在理解上難度比較大，可能就沖淡了他對(duì)判定定理本身的理解，我們學(xué)立體幾何主要是三種語(yǔ)言熟練自如的轉(zhuǎn)化，那么這個(gè)時(shí)間在課堂上騰出來(lái)以后，一個(gè)是作為這方面的訓(xùn)練，另外一個(gè)定理內(nèi)容，將來(lái)作為立體幾何的一個(gè)推理，我們是需要學(xué)生腦子里呈現(xiàn)出一種圖形，而這個(gè)圖形對(duì)定理內(nèi)容反映是一個(gè)圖式語(yǔ)言，一個(gè)平面，一條線(xiàn)，這個(gè)時(shí)候圖式會(huì)有多種角度，多種方位，這時(shí)候會(huì)多加一些時(shí)間，讓學(xué)生留下一些更深的印象。因?yàn)樗麑W(xué)生本身形成這種圖形的認(rèn)識(shí)是需要一定時(shí)間的。過(guò)去很短暫就過(guò)渡到一個(gè)定理證明，這樣就弱化了他對(duì)空間的認(rèn)識(shí)和理解，我是這么來(lái)理解的！王尚志：我覺(jué)

7、得可能老師還有一些不同的意見(jiàn)，這些大家都可以討論。我們常常說(shuō)學(xué)生是可以理解的，可能我們說(shuō)這件事情的時(shí)候主要是指好學(xué)生，最優(yōu)秀的學(xué)生，我想他們完全可能掌握和理解這個(gè)證明，包括判定定理的證明，我想我們也不否認(rèn)這個(gè)事情，并且我們也不是說(shuō)如果學(xué)生希望用綜合幾何的辦法去證明，我們要攔著他，我們也沒(méi)有這個(gè)意思，但是我們現(xiàn)在的處理方式是定位在所有的學(xué)生。希望我們所有的學(xué)生能夠更好的掌握和理解判定定理本身，能夠運(yùn)用它去處理這個(gè)問(wèn)題，去處理某些簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題，所以我們要把主要的精力在所有的學(xué)生這下工夫，讓他們掌握和理解它。我們也不是說(shuō)對(duì)好學(xué)生就限制他的思維，更希望他能夠把思路想的更清楚一點(diǎn)，更直觀一點(diǎn)，至于嚴(yán)格

8、的表述可以在課下讓個(gè)別好一點(diǎn)的學(xué)生去完成，我覺(jué)得這個(gè)是并沒(méi)有矛盾的。 所以，希望我們老師在通過(guò)圖形、模型、空間的想象讓學(xué)生比較自然的感受到判定定理的意義、本質(zhì)，在這個(gè)方面要下一些工夫，這并不是很容易就能做到的，從剛才的例子里看，我們老師花了很大的功夫，做了很多的思考來(lái)幫助學(xué)生理解這件事情，實(shí)際上他們把問(wèn)題證明的本質(zhì)已經(jīng)展現(xiàn)出來(lái)了，只是不需要學(xué)生用形式的語(yǔ)言去表達(dá)它，因?yàn)檫@對(duì)所有的學(xué)生來(lái)說(shuō)是有一定的困難的。 到了我們將來(lái)在講到空間向量與立體幾何的時(shí)候，我們用向量幾何的思想和語(yǔ)言，很容易就把這個(gè)嚴(yán)格的證明表達(dá)的比較清楚了。比如，垂直于兩個(gè)不共線(xiàn)的直線(xiàn)，就能垂直這個(gè)平面，將來(lái)我們會(huì)用更本質(zhì)的東西，兩

9、個(gè)代表的意思是什么？代表的是基，任何一個(gè)都可以用基來(lái)表示，垂直于基就垂直于任何一條直線(xiàn)，我想它會(huì)幫助學(xué)生從更本質(zhì)的角度來(lái)理解這些問(wèn)題，所以我想這件事情我們要有所側(cè)重，要突出重點(diǎn)，這是我們的一個(gè)建議。張思明：在幾位老師的課堂里面，老師們也提出了這個(gè)問(wèn)題，既然把證明撤掉或者是放在別的地方去做，那么怎么來(lái)落實(shí)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化，我們看到老師設(shè)計(jì)了很多的活動(dòng)，我是想在你們?cè)O(shè)計(jì)活動(dòng)中包括李老師，介紹一下通過(guò)你們?cè)O(shè)計(jì)的活動(dòng)，通過(guò)學(xué)生的參與，最后表現(xiàn)出來(lái)在什么地方提高了他們對(duì)定理的認(rèn)識(shí)，提高了他們語(yǔ)言轉(zhuǎn)化的能力，你們有什么樣的設(shè)計(jì)和考慮嗎？李大永：本身活動(dòng)就是要讓學(xué)生動(dòng)手操作起來(lái)，包括線(xiàn)面垂直，垂直于這兩條線(xiàn)讓學(xué)生找

10、出來(lái)的話(huà)，就是在活動(dòng)中讓學(xué)生概括出判定定理，就是滿(mǎn)足什么樣的條件就可以使這條直線(xiàn)垂直這個(gè)面，比如一支筆放在桌面上，怎么保證垂直？他是不是垂直有無(wú)數(shù)條線(xiàn)是可以的，如果把這個(gè)問(wèn)題拋給學(xué)生，學(xué)生一開(kāi)始未必一下子就說(shuō)出來(lái)，有很多種說(shuō)法，比如：有無(wú)數(shù)條，或者是一些不準(zhǔn)備的語(yǔ)言，我想首先規(guī)范到定理的嚴(yán)格語(yǔ)言上來(lái)。 再有，讓他用我們已經(jīng)有的符號(hào)語(yǔ)言寫(xiě)到黑板上去，再有一個(gè)符號(hào)語(yǔ)言去寫(xiě)叫兩個(gè)，三個(gè)學(xué)生去寫(xiě)，然后讓大家去比較，哪個(gè)更完整更準(zhǔn)備，包括線(xiàn)面垂直的圖用什么方式去體現(xiàn)有更好地直觀性。我們最常見(jiàn)的是這種擺放，能不能啟發(fā)讓學(xué)生畫(huà)多種位置，比如側(cè)著的、斜著的，這個(gè)時(shí)候他要求把這個(gè)線(xiàn)跟平行四邊形總保持垂直的感覺(jué)，

11、才能體會(huì)出這種線(xiàn)面垂直。這樣，一黑板就展現(xiàn)出各種各樣的圖形，讓學(xué)生本身就建立一個(gè)避免單一圖形的認(rèn)識(shí)，對(duì)他以后解決的問(wèn)題會(huì)有好處的。王尚志：另外，我覺(jué)得老師還做了這么一件事情，雖然有各種各樣的圖形，最后把它都收到長(zhǎng)方體來(lái)，用長(zhǎng)方體這一個(gè)模型把諸多的現(xiàn)象抽象概括，最后他腦子里留下了這樣一個(gè)判定定理，他的載體是一個(gè)長(zhǎng)方體，各種反例都在這個(gè)長(zhǎng)方體里體現(xiàn)出來(lái)，我覺(jué)得這也是我們老師的一個(gè)創(chuàng)作。李其云：我覺(jué)得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是一個(gè)模仿和記憶，更重要的是讓學(xué)生親自參與到教學(xué)過(guò)程中，動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、獨(dú)立思考、自主探究、合作交流都是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式。如果讓學(xué)生學(xué)會(huì)一種方式比單純教給他一些知識(shí)和技能可能是更重要的，學(xué)習(xí)方法是很更重要的。所以我覺(jué)得設(shè)計(jì)活動(dòng)的主要目的就是教會(huì)學(xué)生如何學(xué)習(xí)。另外，我覺(jué)得活動(dòng)的設(shè)置可能要老師下功夫去想，怎么設(shè)置才能合適？ 第一，我覺(jué)得首先要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，剛才李老師講了一些變式圖形等等，都是為了更好地幫助他去理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。第二，我覺(jué)得也要有一定的趣味性，要提高學(xué)生的