高中數(shù)學選擇性必修一 3.2 雙曲線（含答案）

1、2020-2021年高二數(shù)學選擇性必修一尖子生同步培優(yōu)題典3.2雙曲線 解析版學校:_姓名：_班級：_考號：_注意事項：本卷共22小題，8道單選題，4道多選題，4道填空題，6道解答題。一、單項選擇題（本題共8小題，每小題滿分5分）1已知不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)一點到直線和直線的垂線段分別為，若三角形的面積為，則點軌跡的一個焦點坐標可以是（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】如圖所示，不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)一點，可得點的軌跡為直線之間并且包括軸在內(nèi)的區(qū)域，再根據(jù)三角形的面積為，即可求得點軌跡的一個焦點坐標.【詳解】如圖所示，則，.不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)一點，可得點的軌跡為直線之間并且包括軸

2、在內(nèi)的區(qū)域 三角形的面積為，即點軌跡方程為.焦點坐標為.故選：A.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃的有關(guān)知識、雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題2已知是雙曲線的左焦點，過作一條漸近線的垂線與右支交于點，垂足為，且，則雙曲線方程為（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】由點到直線距離公式結(jié)合已知可得，由雙曲線的定義可得，由余弦定理可得，從而可得結(jié)果.【詳解】設雙曲線右焦點為，連接，左焦點到漸近線的距離為，故，在中，由雙曲線定義得，在中，由余弦定理得，整理得，即，又，解得，雙曲線方程為.故選：D.【點睛】本題主要考查雙曲線的方程、定義與幾

3、何性質(zhì)，解題時注意余弦定理與點到直線距離公式的應用，屬于中檔題.3已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點在雙曲線的右支上，點為的中點，為坐標原點，的面積為，則該雙曲線的方程為（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】作出圖形，利用雙曲線的定義可得，利用余弦定理和三角形的面積公式可求得的面積為，可求得的值，進而可求得的值，由此可得出雙曲線的方程.【詳解】如下圖所示：為的中點，為的中點，則，即，可得，且有，則，在中，由余弦定理得，則的面積為，解得，.因此，該雙曲線的標準方程為.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線標準方程的求解，考查了雙曲線焦點三角形面積的計算，考查了余弦定理以及雙曲線定義的應用，考查計算能

4、力，屬于中等題.4黃金分割起源于公元前世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，公元前世紀，古希臘數(shù)學家歐多克索斯第一個系統(tǒng)研究了這一問題，公元前年前后歐幾里得撰寫幾何原本時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統(tǒng)論述了黃金分割，成為最早的有關(guān)黃金分割的論著.黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，把稱為黃金分割數(shù). 已知雙曲線的實軸長與焦距的比值恰好是黃金分割數(shù)，則的值為（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】先求出雙曲線的焦距，然后根據(jù)實軸長與焦距的比值為黃金分割數(shù)得到關(guān)于的方程，解方程可得所求【詳解】由題意得，在雙曲線中，雙曲線的實軸長與焦距的比值為黃

5、金分割數(shù)，解得故選A【點睛】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到關(guān)于參數(shù)的方程，考查對新概念的理解、運用和計算能力，屬于中檔題5方程表示雙曲線的充分不必要條件是（ ）A 或B C D 或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程，方程表示雙曲線，可得，解得的范圍，根據(jù)充分必要條件判斷得出結(jié)論即可【詳解】解：方程表示雙曲線，可得，解得或；記集合或；所以方程表示雙曲線的充分不必要條件為集合的真子集，由于，故選：【點睛】本題考查了雙曲線的標準方程、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題6已知點O（0，0），A（2，0），B（2，0）設點P滿足|PA|

6、PB|=2，且P為函數(shù)y=圖像上的點，則|OP|=（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知，點既在雙曲線的一支上，又在函數(shù)的圖象上，即可求出點的坐標，得到的值【詳解】因為，所以點在以為焦點，實軸長為，焦距為的雙曲線的右支上，由可得，即雙曲線的右支方程為，而點還在函數(shù)的圖象上，所以，由，解得，即故選：D.【點睛】本題主要考查雙曲線的定義的應用，以及二次曲線的位置關(guān)系的應用，意在考查學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎題7已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過的直線與雙曲線的左支交于、兩點，若，則的內(nèi)切圓半徑為（ ）ABCD2【答案】A【解析】【分析】設內(nèi)切圓的圓心，設三邊與內(nèi)切圓的切點，連接切點

7、與圓心的線段，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，再由雙曲線定義可知：，可得，重合，再由可得內(nèi)切圓的半徑的值【詳解】設內(nèi)切圓的圓心為，設圓與三角形的邊分別切于，如圖所示：連接，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得：，所以，所以，由雙曲線的定義可知：，所以可得，重合，所以，所以.故選：【點睛】本題考查雙曲線的定義及內(nèi)切圓的性質(zhì).屬于中檔題8已知兩圓C1：(x3)2y21，C2：(x3)2y29，動圓M同時與圓C1和圓C2外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（ ）ABCD(x1)【答案】D【解析】【分析】設動圓圓心M坐標為（x，y），半徑為r，由題意可得|MC2|MC1|2|C1C2|，可得點M的軌跡是以C1、C2 為焦點的雙曲線的左支

8、根據(jù)2a2，c3，求得b值，即可得點M的軌跡方程【詳解】設動圓圓心M的坐標為（x，y），半徑為r， 由動圓M與圓C1和圓C2均外切可得|MC1|r+1，|MC2|r+3，相減可得|MC2|MC1|2|C1C2|，故點M的軌跡是以C1、C2 為焦點的雙曲線的左支由題意可得 2a2，c3，b，故點M的軌跡方程為 x21（x1），故選：D.【點睛】本題主要考查兩圓相外切的性質(zhì)，考查雙曲線的定義、性質(zhì)和標準方程，屬于基礎題二、多選題9已知雙曲線C的方程是：（，），則下列說法正確的是（ ）A當時，雙曲線的離心率為B過雙曲線C右焦點F的直線與雙曲線只有一個交點的直線有且只有2條；C過雙曲線C右焦點F的直線

9、與雙曲線右支交于M，N兩點，則此時線段長度有最小值；D雙曲線C與雙曲線：（，）漸近線相同.【答案】ABCD【解析】【分析】由雙曲線的性質(zhì)分別判斷【詳解】A時，A正確；B過雙曲線的右焦點的直線，當直線與漸近線平行時，與雙曲線只有一個交點，這樣的直線有兩條，當直線與漸近線不平行時，它與雙曲線有兩個交點，一種是兩個交點分在左右兩支上，一種是兩個交點都在右支上B正確；C過雙曲線C右焦點F的直線與雙曲線右支交于M，N兩點，當是通徑（即軸）時，的長度最小，C正確簡略證明如下：如圖所示，設雙曲線方程為，又，同理：，又，易知當時，D雙曲線的漸近線方程是，雙曲線的標準方程是，漸近線方程是，漸近線相同，D正確故選

10、：ABCD【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，掌握雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì)是解題關(guān)鍵10已知雙曲線的左、右兩個頂點分別是A1,A2,左、右兩個焦點分別是F1,F2,P是雙曲線上異于A1,A2的任意一點，給出下列命題，其中是真命題的有（ ）AB直線的斜率之積等于定值C使得為等腰三角形的點有且僅有8個D的面積為【答案】BC【解析】【分析】結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)和常見二級結(jié)論推導即可得解.【詳解】在中，兩邊之差小于第三邊，即，所以A不是真命題；設點，有，直線的斜率之積，所以B是真命題；根據(jù)雙曲線對稱性分析：要使為等腰三角形，則必為腰，在第一象限雙曲線上有且僅有一個點使，此時為等腰三角形，也且僅有一個點使，

11、此時為等腰三角形，同理可得第二三四象限每個象限也有且僅有兩個點，一共八個，所以C是真命題；，根據(jù)焦點三角形面積的二級結(jié)論，所以D不是真命題.故選：BC【點睛】此題考查雙曲線的幾何性質(zhì)和相關(guān)計算，對基礎知識的掌握和代數(shù)式化簡運算能力要求較高，解題中若能記住常見的二級結(jié)論，可以簡化計算.11已知雙曲線的一條漸近線方程為，雙曲線的左焦點在直線上，A、B分別是雙曲線的左、右頂點，點P為雙曲線右支上位于第一象限的動點，PA，PB的斜率分別為，則的取值可能為（ ）AB1CD2【答案】CD【解析】【分析】計算得到雙曲線方程為，則，設，根據(jù)漸近線方程知：，代入計算得到答案.【詳解】根據(jù)題意知：，故，雙曲線方程

12、為，則，設，則，根據(jù)漸近線方程知：，故.故選：CD.【點睛】本題考查了雙曲線中斜率的計算，確定是解題的關(guān)鍵.12已知點在雙曲線上，、是雙曲線的左、右焦點，若的面積為，則下列說法正確的有（ ）A點到軸的距離為BC為鈍角三角形D【答案】BC【解析】【分析】利用的面積可求出點的縱坐標，可判斷A選項的正誤；將點的縱坐標代入雙曲線方程求得點的橫坐標，即可求得的值，可判斷B選項的正誤；計算的值，可判斷C選項的正誤；計算出，可判斷D選項的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】因為雙曲線，所以.又因為，所以，所以選項A錯誤；將代入得，即.由對稱性，不妨取的坐標為，可知.由雙曲線定義可知，所以，所以選項B正確；由對稱性

13、，對于上面點，在中，.且，則為鈍角，所以為鈍角三角形，選項C正確；由余弦定理得，所以選項D錯誤.故選：BC.【點睛】本題考查焦點三角形有關(guān)命題的判斷，涉及雙曲線的定義、余弦定理的應用，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.三、填空題13已知橢圓與雙曲線共焦點，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點，曲線與在第一象限交點為，且離心率之積為1.若，則該雙曲線的離心率為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理，可得，根據(jù)橢圓與雙曲線定義可求得，結(jié)合橢圓與雙曲線的離心率乘積為1，可得，進而求得雙曲線的離心率【詳解】設焦距為2c在三角形PF1F2中，根據(jù)正弦定理可得 因為，代入可得，所以在橢圓中， 在雙曲線中， 所以

14、即所以因為橢圓與雙曲線的離心率乘積為1即 ，即所以化簡得，等號兩邊同時除以 得，因為 即為雙曲線離心率所以若雙曲線離心率為e，則上式可化為由一元二次方程求根公式可求得 因為雙曲線中 所以【點睛】本題考查了橢圓與雙曲線性質(zhì)的綜合應用，正弦定理的應用，雙曲線離心率的表示方法，計算量復雜，屬于難題14如圖所示，已知雙曲線：（，）的右焦點為，雙曲線的右支上一點，它關(guān)于原點的對稱點 為，滿足，且，則雙曲線的漸近線方程是_.【答案】【解析】【分析】利用雙曲線的性質(zhì)，推出，通過解三角形求出、的關(guān)系，再根據(jù)，即可得到、的關(guān)系，從而得到漸近線方程【詳解】解：雙曲線的右焦點為，雙曲線的右支上一點，它關(guān)于原點的對稱

15、點為，滿足，且，設左焦點為，連接、，由對稱性可得、，可得，所以，所以，可得，又，所以，所以，故漸近線為故答案為：【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，三角形的解法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于中檔題15已知點為雙曲線的右焦點，兩點在雙曲線上，且關(guān)于原點對稱，若，設，且，則該雙曲線的焦距的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】設雙曲線的左焦點為，連接，由于.所以四邊形為矩形，故，由雙曲線定義可得，再求的值域即可.【詳解】如圖，設雙曲線的左焦點為，連接，由于.所以四邊形為矩形，故.在中，由雙曲線的定義可得，.故答案為：【點睛】本題考查雙曲線定義及其性質(zhì)，涉及到求余弦型函數(shù)的值域，考查學生的運算

16、能力，是一道中檔題.16中心在原點，對稱軸為坐標軸的雙曲線與圓有公共點，且圓在點處的切線與雙曲線的一條漸近線平行，則該雙曲線的實軸長為_【答案】【解析】【分析】由得，由題意可知雙曲線的漸近線斜率等于，從而可以設出雙曲線的方程，代入點得到雙曲線的方程，求出實軸長.【詳解】由的斜率為，則圓在點處的切線斜率為，所以雙曲線的一條漸近線方程為，所以設雙曲線方程為，因點在雙曲線上，所以，所以雙曲線方程為，即，即，所以實軸長.【點睛】本小題主要考查雙曲線的方程，漸近線方程，圓的切線，斜率等基礎知識；考查邏輯思維與推證能力、分析與解決問題的能力、運算求解能力.屬于簡單題.四、解答題17直線上的動點到點的距離是

17、它到點的距離的3倍.（1）求點的坐標；（2）設雙曲線的右焦點是，雙曲線經(jīng)過動點，且，求雙曲線的方程；（3）點關(guān)于直線的對稱點為，試問能否找到一條斜率為（）的直線與（2）中的雙曲線交于不同的兩點、，且滿足，若存在，求出斜率的取值范圍，若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由于點在直線上，所以設點的坐標為，然后由到點的距離是它到點的距離的3倍列方程求出，從而可得點的坐標；（2）由可知，由此可，再將點坐標代入雙曲線方程中，解方程組可得；（3）由可知線段的中垂線過點，再利用兩直線斜率的關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】解：（1）因為點在直線上，所以設點的坐標為，因為到點的距離

18、是它到點的距離的3倍，所以所以，化簡得，解得所以所以點的坐為；（2）因為，所以，所以點的坐標為，即因為點在雙曲線上，所以，由，得，所以雙曲線方程為（3）因為點關(guān)于直線的對稱點為，所以點的坐標為，設直線為為，由得，因為直線與雙曲線交于不同的兩點，所以，化簡得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，所以，所以線段的中點為，因為，所以，化簡得，所以，得，解得或，又因為，所以解得的取值范圍為【點睛】此題考查的是直線與雙曲線的位置關(guān)系，點關(guān)于直線的對稱問題，屬于較難題18已知雙曲線過點，且漸近線方程為，直線與曲線交于點、兩點.（1）求雙曲線的方程；（2）若直線過原點，點是曲線上任一點，直線，的斜率都存在，記為、，試探究的

19、值是否與點及直線有關(guān)，并證明你的結(jié)論；（3）若直線過點，問在軸上是否存在定點，使得為常數(shù)？若存在，求出點坐標及此常數(shù)的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2），的值與點及直線無關(guān)，證明見解析；（3）存在， ，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)漸近線設出漸近線方程，將點代入即可求出雙曲線的方程.（2）根據(jù)直線與雙曲線的對稱性知道點與點關(guān)于原點對稱，設出點、，將其斜率表示出來，利用點、在雙曲線上，化簡即可說明為定值且直線與關(guān).（3）根據(jù)題意設出直線與點，聯(lián)立直線與雙曲線，表示出，利用為定值，即與斜率無關(guān)，根據(jù)比值即可求出定點與的值.【詳解】（1） 因為漸近線方程為.所以可設雙曲線為,將點代

20、入，解得所以雙曲線的方程為（2）直線過原點,由雙曲線的對稱性知道，點、關(guān)于原點對稱.設點 ，則點代入，有，所以，.將，代入得.所以，的值與點及直線無關(guān).（3）由題意知直線斜率存在，故設直線為 ，點、由，得 ，且 又，所以 令解得，此時【點睛】本題考查已知雙曲線的漸近線求雙曲線的方程,雙曲線的性質(zhì)，雙曲線中的定值、定點問題，屬于難題.本類題型的一般解法是：設直線-聯(lián)立方程組-韋達定理-利用坐標表示出所求定值-化簡即可得出答案.19雙曲線的虛軸長為，兩條漸近線方程為.（1）求雙曲線的方程； （2）雙曲線上有兩個點，直線和的斜率之積為，判別是否為定值，；（3）經(jīng)過點的直線且與雙曲線有兩個交點，直線的

21、傾斜角是，是否存在直線（其中）使得恒成立？（其中分別是點到的距離）若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）8；（3）存在且【解析】分析：（1）根據(jù)題意，雙曲線的虛軸長為，兩條漸近線方程為.易求求雙曲線的方程；（2）設直線的斜率，顯然，聯(lián)立得，求出，可證；（3）設直線方程，聯(lián)立，（*），方程總有兩個解，設，得到，根據(jù)得，整理得，由，則符合題目要求，存在直線詳解：（1）雙曲線；（2）設直線的斜率，顯然，聯(lián)立得，；（3）設直線方程，聯(lián)立，（*），方程總有兩個解，設，根據(jù)得，整理得，符合題目要求，存在直線點睛：本題考查雙曲線的求法，直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬難題.20已知雙曲線的

22、中心在坐標原點，焦點在軸上，離心率，虛軸長為（1）求雙曲線的標準方程；（2）若直線與雙曲線相交于兩點（均異于左、右頂點），且以為直徑的圓過雙曲線的左頂點，求證：直線過定點，并求出定點的坐標【答案】(1) (2) 證明見解析，定點坐標為【解析】試題分析：（1）求雙曲線標準方程，一般方法為待定系數(shù)法，即根據(jù)題意列出兩個獨立條件：，解方程組得（2）以為直徑的圓過雙曲線的左頂點,等價于,根據(jù)向量數(shù)量積得，結(jié)合直線方程得，利用直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消y得，再利用韋達定理代入等式整理得，因此或.逐一代入得當時,的方程為,直線過定點.試題解析：（1）設雙曲線的標準方程為, 由已知得又,解得,所以雙

23、曲線的標準方程為.（2）設,聯(lián)立,得,有,以為直徑的圓過雙曲線的左頂點,即,解得或.當時,的方程為,直線過定點,與已知矛盾；當時,的方程為,直線過定點,經(jīng)檢驗符合已知條件, 所以直線過定點,定點坐標為.考點：雙曲線標準方程，直線過定點【思路點睛】定點、定值問題通常是通過設參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應設參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).21設雙曲線的兩個焦點分別為,離心率為2.（）求此雙曲線的漸近線的方程；（）若分別為上的點，且2|AB|=5|F1F2|，求線段的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線【答案】（），（）的軌跡方程為 則的軌跡是中心在原點，焦點在軸上長軸長為，短軸長為的橢圓.【解析】試題分析：由離心率，得出漸近線方程；第二步設而不求，先設出，的中點，利用已知條件，得出相應的關(guān)系，再根據(jù)點分別為