高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 1. 空間向量基本定理（精講）(含答案)

1、1.2 空間向量基本定理(精講)思維導(dǎo)圖常見考法考點(diǎn)一 基底的判斷【例1】(2021河南)設(shè),，且是空間的一個(gè)基底，給出下列向量組：，其中可以作為空間一個(gè)基底的向量組有( )A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【答案】C【解析】如圖所示，令，則，.由于A，B1，C，D1四點(diǎn)不共面，可知向量也不共面，同理和也不共面，而共面，故選：C.【一隅三反】1(2021上海)設(shè)向量是空間一個(gè)基底，則一定可以與向量，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的向量是( )ABCD或【答案】C【解析】由題意和空間向量的共面定理，結(jié)合，得與是共面向量，同理與是共面向量，所以與不能與構(gòu)成空間的一個(gè)基底；又與和不共面，所以與構(gòu)成空間的一個(gè)基底故選：C

2、2(2021全國高二課時(shí)練習(xí))以下四個(gè)命題中正確的是( )A基底中可以有零向量B空間任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底CABC為直角三角形的充要條件是D空間向量的基底只能有一組【答案】B【解析】因?yàn)榱阆蛄颗c任意兩個(gè)非零向量都共面，故A不正確；ABC為直角三角形并不一定是可能是也可能是,故C不正確；空間基底可以有無數(shù)多組，故D不正確.故選：B3(2021陜西渭南市)若、為空間的一個(gè)基底，則下列選項(xiàng)中，能構(gòu)成基底的是( )A，B， C， D，【答案】C【解析】A中，不可為基底；B中，不可為基底；D中，不可為基底，故選：C考點(diǎn)二 用基底表示向量【例2】(1)(2021江蘇鹽城市)在三棱錐

3、中，若，則( )ABCD(2)(2021福建漳州市)已知三棱錐中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為的重心，設(shè)，則向量( )ABCD(3)(2021湖北十堰市)如圖，在四面體OABC中，G是的重心，D是OG的中點(diǎn)，則( )A BC D【答案】(1)C(2)A(3)B【解析】(1)由題意是中點(diǎn)，又，則，若，則故選：C(2)連接并延長交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，.故選：A.(3)如圖，記點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接AE，OE，所以，又G是的重心，則，所以.因?yàn)?，所?【一隅三反】1(2021山東淄博市高二期末)如圖所示，在正方體中，點(diǎn)是側(cè)面的中心，若，求( )A1BC2D【答案】C【解析】，故，則故選：C.

4、2(2021安徽池州市)已知空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若，則“A，B，C，D四點(diǎn)共面”是“，”的( )A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題意，空間中四點(diǎn)A，B，C，D，若若A，B，C，D四點(diǎn)共面，根據(jù)空間向量的共面定量，只需，又由，可得，所以“，”時(shí)，A，B，C，D四點(diǎn)共面，即必要性成立，反之不一定成立，即充分性不成立，所以“A，B，C，D四點(diǎn)共面”是“，”的必要不充分條件.故選：A.3(2020山東濟(jì)寧市)在空間四邊形中，且，則( )ABCD【答案】C【解析】.故選：C.4(2021廣東廣州市高二期末)(多選)在空間四邊形中，分別

5、是的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，設(shè)，則下列等式成立的是( )ABCD【答案】ABD【解析】分別是的中點(diǎn)，故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：ABD.考點(diǎn)三 空間向量在幾何中運(yùn)用【例3-1】(2021常德市)三棱柱中，分別是，上的點(diǎn)，且，.若，則的長為_.【答案】【解析】如圖設(shè)，所以，因?yàn)?所以，故答案為：【例3-2】(2021浙江高二單元測試)如圖，在空間四邊形中，則與所成角的余弦值為( )ABCD【答案】A【解析】設(shè)異面直線與的夾角為則故選A【例3-3】(2021全國高二課時(shí)練習(xí))如圖，已知正方體，和相交于點(diǎn)O，連接AO，求證【答案】證明見解析.【解析】因?yàn)檎襟w，所以，平面，又

6、因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)椋云矫?，又因?yàn)槠矫?，所?【一隅三反】1(2021陜西)如圖，在平行六面體中，求與所成角的余弦值【答案】0【解析】取基底，,所以.設(shè)與的夾角為，則，所以與所成角的余弦值為0.2(2021山西)已知四面體OABC，求證：【答案】證明見解析.【解析】因?yàn)?所以,因?yàn)?，所以，所以，?3(2021廣西)如圖，在直三棱柱中，分別為，的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】設(shè)，根據(jù)題意得，且，.，即.(2)，.異面直線與所成角的余弦值為.4.(2021云南)如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是，為與的交點(diǎn).若， (1)用表示；(2)求對角線的長；(3)求【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)連接，如