《高等代數(shù)》課程教學(xué)大綱

1、高等代數(shù)課程教學(xué)大綱課程編碼：171100060 171100080課程性質(zhì)：學(xué)科專業(yè)必修課適用專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)時(shí)學(xué)分： 160學(xué)時(shí) 9.5學(xué)分所需先修課高中數(shù)學(xué)編寫單位： 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系一、課程說明1、課程簡(jiǎn)介高等代數(shù)是高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的極為重要的基礎(chǔ)課程，它的任務(wù)是使學(xué)生獲得一元多項(xiàng)式以及線性代數(shù)等方面的系統(tǒng)知識(shí)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)近世代數(shù)、微分方程、微分幾何、實(shí)變函數(shù)論、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)、物理學(xué)等后繼課程的階梯，為后繼課程學(xué)習(xí)奠基，也是提高人才的數(shù)學(xué)素質(zhì)的必備知識(shí)，是培養(yǎng)面向21世紀(jì)的合格的中等學(xué)校的數(shù)學(xué)教師的最重要一門專業(yè)基礎(chǔ)的主干課程，是報(bào)考理工與經(jīng)濟(jì)類的碩士研

2、究生的重要課程2、教學(xué)目的要求 高等代數(shù)是四年制高等師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)必修的骨干基礎(chǔ)課程通過教學(xué)應(yīng)使學(xué)生掌握多項(xiàng)式、線性代數(shù)的基本知識(shí)及基本理論，使學(xué)生掌握抽象的、嚴(yán)格的代數(shù)方法，理解具體與抽象、特殊與一般、有限與無限的辨證關(guān)系，提高抽象思維能力，邏輯推理能力及計(jì)算能力3、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)本課程的教學(xué)重點(diǎn)部分和難點(diǎn)部分為多項(xiàng)式、矩陣、向量空間、線性變換4、考核方式 本課程為考試課，考試的形式閉卷，總分為100分,成績(jī)的合成平時(shí)占20分,期末占80分5、學(xué)時(shí)分配表 本課程安排兩個(gè)學(xué)期講完,其中第一學(xué)期安排96學(xué)時(shí)，包括基本概念、多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型的全部?jī)?nèi)容；第二學(xué)期安排64學(xué)時(shí),

3、包括向量空間、線性變換、歐氏空間的全部?jī)?nèi)容表1 課程學(xué)時(shí)分配表章次教學(xué)內(nèi)容講授課學(xué)時(shí)數(shù)試驗(yàn)(實(shí)踐)課學(xué)時(shí)數(shù)一多項(xiàng)式206二行列式144三線性方程組164四矩陣144五二次型104六向量空間166七線性變換204九歐幾里得空間144總計(jì) =SUM(ABOVE) 124 =SUM(ABOVE) 36二、各部分教學(xué)綱要第一章 多項(xiàng)式（26學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)掌握數(shù)域上的一元多項(xiàng)式的概念、運(yùn)算及多項(xiàng)式的次數(shù)定理掌握多項(xiàng)式的整除的概念和性質(zhì)，理解和掌握帶余除法熟練掌握最大公因式的概念、性質(zhì)及求法，掌握互素的概念和性質(zhì)理解不可約多項(xiàng)式的概念及唯一分解定理理解掌握多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)及重因式的概念，熟練掌握多項(xiàng)式有無重因

4、式的判別法掌握多項(xiàng)式函數(shù)及多項(xiàng)式的根的概念及根的個(gè)數(shù)定理掌握復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的因式分解定理、代數(shù)基本定理等熟練掌握有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法本章重點(diǎn)多項(xiàng)式的整除性、多項(xiàng)式的最大公因式、多項(xiàng)式的分解、多項(xiàng)式的根、復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域及有理數(shù)域上的多項(xiàng)式本章難點(diǎn)多項(xiàng)式的整除、多項(xiàng)式的最大公因式、多項(xiàng)式的分解、有理數(shù)域上的多項(xiàng)式教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 數(shù)域（2學(xué)時(shí)）數(shù)域的定義及判別第二節(jié) 一元多項(xiàng)式（2學(xué)時(shí)）一元多項(xiàng)式的定義及運(yùn)算二、多項(xiàng)式的次數(shù)定理第三節(jié) 整除的概念（2學(xué)時(shí)）帶余除法二、多項(xiàng)式的整除概念及性質(zhì)第四節(jié) 最大公因式（4學(xué)時(shí)）最大公因式的概念、性質(zhì)二、輾轉(zhuǎn)相除法三、互素的概念及性質(zhì)第五節(jié) 因式分解定

5、理（3學(xué)時(shí)）不可約多項(xiàng)式的概念及性質(zhì)二、唯一分解定理三、標(biāo)準(zhǔn)分解式第六節(jié) 重因式（3學(xué)時(shí)）k重因式的概念、性質(zhì)二、多項(xiàng)式有重因式的充要條件第七節(jié) 多項(xiàng)式函數(shù)（4學(xué)時(shí)）多項(xiàng)式函數(shù)及多項(xiàng)式的根的概念二、余式定理、綜合除法三、根的個(gè)數(shù)定理第八節(jié) 復(fù)系數(shù)和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解（2學(xué)時(shí)）一、復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解二、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解第九節(jié) 有理系數(shù)多項(xiàng)式（4學(xué)時(shí)）一、本原多項(xiàng)式、高斯引理二、愛森斯坦因判別法三、有理根的求法第二章 行列式（18學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)熟練準(zhǔn)確計(jì)算二、三階行列式；了解排列、反序的概念，會(huì)求一個(gè)排列的反序數(shù)；熟練掌握階行列式的概念，會(huì)利用階行列式的概念計(jì)算特殊類型的階行列式；會(huì)

6、確定行列式的某一項(xiàng)的符號(hào)；掌握行列式的基本性質(zhì)，會(huì)利用行列式的性質(zhì)和按行（列）展開定理計(jì)算行列式；5掌握克拉默法則本章重點(diǎn)1熟練正確的計(jì)算二、三階行列式；2用定義計(jì)算一些特殊形式的階行列式， 如上（下）三角行列式，零元素較多的行列式；3利用行列式的性質(zhì)和按行（列）展開定理計(jì)算行列式本章難點(diǎn)對(duì)階行列式的概念的理解，階行列式的計(jì)算方法和技巧教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 引言（1學(xué)時(shí)）二、三階行列式第二節(jié) 排列（2學(xué)時(shí)）逆序數(shù)、奇偶排列二、排列的性質(zhì)第三節(jié) 階行列式（3學(xué)時(shí)）階行列式的定義二、多項(xiàng)式的性質(zhì)第四節(jié) 階行列式的性質(zhì)（3學(xué)時(shí)）一、階行列式的7條性質(zhì)第五節(jié) 行列式的計(jì)算（3學(xué)時(shí)）矩陣的定義及初等變換第六節(jié)

7、 行列式按一行（列）展開（3學(xué)時(shí)）余子式、代數(shù)余子式二、行列式按一行（列）展開定理第七節(jié) 克萊姆法則（3學(xué)時(shí)）一、克萊姆法則線性方程組（20學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1.熟練運(yùn)用初等變換解線性方程組；2. 理解和掌握向量空間的定義及性質(zhì),理解和熟練掌握向量的線性組合、線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念； 熟練掌握有關(guān)向量線性相關(guān)性的幾個(gè)重要結(jié)論3理解和掌握矩陣的秩的概念，能熟練地用矩陣地初等變換求矩陣的秩；4熟練掌握線性方程組有解的判別定理及應(yīng)用；5掌握線性方程組解的結(jié)構(gòu)；6掌握齊次線性方程組有非零解的充要條件本章重點(diǎn)1. 變換解線性方程組；2. 線性相關(guān)性的判斷與應(yīng)用；3矩陣的秩的概念、應(yīng)用初等變換求矩陣的秩的方

8、法；4線性方程組有解的判別定理及應(yīng)用；5線性方程組的公式解，解的結(jié)構(gòu)；6齊次線性方程組有非零解的充要條件 本章難點(diǎn)1.線性相關(guān)性的判斷與應(yīng)用；2.運(yùn)用初等變換解線性方程組教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 消元法（3學(xué)時(shí)）消元法解線性方程組二、一般解第二節(jié) n維向量空間（1學(xué)時(shí)）n維向量的定義n維向量的運(yùn)算第三節(jié) 線性相關(guān)性（6學(xué)時(shí)）線性組合、等價(jià)、線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義替換定理及推論極大線性無關(guān)組、向量組的秩第四節(jié) 矩陣的秩（4學(xué)時(shí)）矩陣的秩的定義及應(yīng)用k級(jí)子式第五節(jié) 線性方程組有解判定定理（2學(xué)時(shí)）線性方程組有解判定定理第六節(jié) 線性方程組解的結(jié)構(gòu)（4學(xué)時(shí)）一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)二、非齊次線性方程組解的結(jié)

9、構(gòu)第四章 矩陣（18學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置及其運(yùn)算規(guī)律掌握逆矩陣的概念、矩陣可逆的判別法掌握矩陣乘積的行列式及秩的定理掌握初等矩陣的概念初等矩陣與初等變換的關(guān)系以及用初等變換求逆矩陣的理論和方法理解分塊矩陣的定義及運(yùn)算本章重點(diǎn)1矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置及其運(yùn)算律；2逆矩陣的概念、矩陣可逆的判別法、及可逆矩陣的逆矩陣的求法；3矩陣乘積的行列式及秩的定理；4初等矩陣的概念及初等矩陣與初等變換的關(guān)系本章難點(diǎn)1. 矩陣乘法其運(yùn)算律；2. 矩陣可逆的判別法、及可逆矩陣的逆矩陣的求法教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 矩陣概念的一些背景（1學(xué)時(shí)）矩陣概念的一些背景第二節(jié) 矩陣的運(yùn)算（3學(xué)時(shí)）矩陣的

10、加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置運(yùn)算各種運(yùn)算的運(yùn)算律第三節(jié)矩陣乘積的行列式與秩（2學(xué)時(shí)）矩陣乘積的行列式矩陣乘積的秩第四節(jié) 矩陣的逆（2學(xué)時(shí)）可逆矩陣的定義及判別伴隨矩陣第五節(jié) 矩陣的分塊（2學(xué)時(shí)）分塊矩陣的定義及運(yùn)算第六節(jié) 初等矩陣（4學(xué)時(shí)）一、初等矩陣的定義及性質(zhì)二、初等變換法求逆矩陣第七節(jié) 分塊乘法的初等變換及應(yīng)用舉例（4學(xué)時(shí)）一、分塊乘法的初等變換及應(yīng)用舉例第五章二次型（14學(xué)時(shí)）（一）目的和要求掌握二次型的概念及二次型與對(duì)稱矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系掌握矩陣合同的概念及性質(zhì)掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法理解復(fù)數(shù)域上和實(shí)數(shù)域上典范形的唯一性掌握正定二次型的判別方法理解主軸問題本章重點(diǎn)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形、實(shí)數(shù)域

11、上的二次型、正定二次型、主軸問題。本章難點(diǎn)實(shí)數(shù)域上的二次型、正定二次型。教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 二次型及其矩陣表示（3學(xué)時(shí)）二次型的定義、二次型的矩陣、變量的線性替換二、二次型的秩、矩陣的合同第二節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)型（4學(xué)時(shí)）一、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的兩種方法第三節(jié) 唯一性（3學(xué)時(shí)）復(fù)數(shù)域上的二次型的規(guī)范型實(shí)數(shù)域上的二次型的規(guī)范型及慣性定理第四節(jié) 正定二次型（4學(xué)時(shí)）正定二次型的定義及其充要條件其它二次型線性空間（22學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)掌握向量空間的概念及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，初步了解公理化的思想方法理解和掌握子空間的概念及判別方法，掌握子空間的和與交的概念理解和掌握向量組的線性相關(guān)性的概念及性質(zhì)掌握有限維向量空間的基和維數(shù)的概

12、念及求法，理解直和的概念，理解基在向量空間中所起的作用掌握向量坐標(biāo)的概念及意義、基變換及坐標(biāo)變換公式、過渡矩陣的概念及性質(zhì)理解向量空間同構(gòu)的概念，掌握兩個(gè)向量空間同構(gòu)的判別方法本章重點(diǎn)線性空間的定義、向量組的線性相關(guān)性、基和維數(shù)、坐標(biāo)。本章難點(diǎn)線性空間的定義、向量組的線性相關(guān)性、基和維數(shù)、坐標(biāo)。教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 集合映射（2學(xué)時(shí)）集合、映射的概念二、單射、滿射、雙射第二節(jié) 線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)（3學(xué)時(shí)）線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)常用的線性空間第三節(jié) 維數(shù)、基與坐標(biāo)（3學(xué)時(shí)）線性空間中向量的線性相關(guān)性維數(shù)、基與坐標(biāo)第四節(jié) 基變換與坐標(biāo)變換（2學(xué)時(shí)）過渡矩陣基變換與坐標(biāo)變換第五節(jié) 線性子空間（3學(xué)

13、時(shí)）線性子空間的定義及判別生成子空間的定義及性質(zhì)第六節(jié) 子空間的交與和（3學(xué)時(shí)）一、子空間的交與和的定義及結(jié)論二、維數(shù)公式第七節(jié) 子空間的直和（3學(xué)時(shí)）一、子空間的直和的定義及判別條件第八節(jié) 線性空間的同構(gòu)（3學(xué)時(shí)）一、線性空間的同構(gòu)的定義及性質(zhì)線性變換（24學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)理解線性變換的概念、掌握其運(yùn)算及簡(jiǎn)單性質(zhì)掌握線性變換和矩陣的關(guān)系掌握不變子空間的定義、掌握及的定義理解矩陣的相似、特征根、特征向量等基本概念，掌握特征根特征向量的求法理解矩陣可對(duì)角化的定義及判別法本章重點(diǎn)線性變換的矩陣及線性變換與矩陣的關(guān)系、特征根和特征向量的定義及求法、可對(duì)角化矩陣的判別法。本章難點(diǎn)線性變換的矩陣及線性變換

14、與矩陣的關(guān)系、可對(duì)角化矩陣的判別法。教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 線性變換的定義（2學(xué)時(shí)）一、線性變換的定義及性質(zhì)第二節(jié) 線性變換的運(yùn)算（3學(xué)時(shí)）線性變換的加法、數(shù)乘、乘法運(yùn)算及逆變換各種運(yùn)算的運(yùn)算律第三節(jié) 線性變換的矩陣（5學(xué)時(shí)）一、線性變換下的矩陣的定義二、線性變換與矩陣的關(guān)系三、相似的定義及性質(zhì)第四節(jié) 特征值與特征向量（4學(xué)時(shí)）一、特征值與特征向量的定義二、特征值與特征向量的求法三、矩陣的跡和積四、哈密頓-凱萊定理第五節(jié) 對(duì)角矩陣（3學(xué)時(shí)）線性變換可對(duì)角化的判別如何對(duì)角化第六節(jié) 線性變換的值域與核（3學(xué)時(shí)）一、值域與核的定義二、值域的求法及與核的關(guān)系第七節(jié) 不變子空間（4學(xué)時(shí)）不變子空間的定義不變子空

15、間與矩陣化簡(jiǎn)的關(guān)系第八節(jié) 若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型介紹（1學(xué)時(shí)）一、若爾當(dāng)矩陣的定義及性質(zhì)第九章 歐幾里得空間（18學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1理解內(nèi)積、歐氏空間、向量的長(zhǎng)度、兩向量的夾角、距離等概念2掌握標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念及其求法，理解標(biāo)準(zhǔn)正交基的作用3理解歐氏空間同構(gòu)的概念4理解和掌握正交變換與正交矩陣的概念, 掌握正交變換的等價(jià)條件5理解和掌握對(duì)稱變換的概念及其等價(jià)條件, 掌握實(shí)對(duì)稱矩陣可對(duì)角化的性質(zhì)本章重點(diǎn)歐氏空間的定義及其基本性質(zhì)、向量的長(zhǎng)度、夾角、正交等概念、標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交變換、對(duì)稱變換、實(shí)對(duì)稱矩陣可對(duì)角化的性質(zhì)。本章難點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交變換、對(duì)稱變換、實(shí)對(duì)稱矩陣可對(duì)角化的性質(zhì)。教學(xué)內(nèi)容 第一節(jié) 定義與基本性質(zhì)（3學(xué)時(shí)）歐幾里得空間的定義及性質(zhì)長(zhǎng)度、夾角、正交度量矩陣第二節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)正交基（3學(xué)時(shí)）一、正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義及性質(zhì)二、施密特正交化方法三、正交矩陣第三節(jié) 同構(gòu)（1學(xué)時(shí)）一、同構(gòu)映射的定義及性質(zhì)二、同構(gòu)的判別方法第四節(jié) 正交變換（4學(xué)時(shí)）一、正交變換的定義二、正交變換的等價(jià)條件