平穩(wěn)時間序列分析

1、第3章平穩(wěn)時 一個序列經(jīng)過預處理被識別為平穩(wěn)非白噪聲序列，那就說明該序列是一個蘊含著相關信息的平穩(wěn)序列。方法性工具差分運算一、p階差分記Vx為x的1階差分：Vx = x 一 x t tt tt1記 V2x 為 x 的 2 階差分：V2x = Vx Vx = x 2x + xt tttt1tt1 t2以此類推：記Vpxt為x的p階差分：Vpx = Vp-1 xVp-1 x 1二、k步差分記V x為x的k步差分：V x = kt tk t延遲算子一、定義延遲算子相當與一個時間指針，去撥了一個時刻。記B為延遲算子，x = Bx t 1tx = B 2 xn! t當前序列值乘以一個延遲算子，就相當于把

2、當前序列值的時間向過 有延遲算子的性質(zhì)：1. B 0 = 12.若 c 為任一常數(shù)，有 B(c - x ) = c - B(x= c - x 1x= Bpx3.對任意倆個序列 x 和 J ，有B(xt 士)=xt1 士 t14. Bnx = x5. (1 - B) n =Y (-1) Bi,其中 Ci =n!i=0ni!(n i)!二、用延遲算子表示差分運算1、p階差分2、k步差分ARMA模型的性質(zhì)AR模型定義 具有如下結構的模型稱為p階自回歸模型，簡記為AR(p):x =。+。x +。x +A+。x + et 0 1 t1 2 t2p tp t氣,E(e e ) = 0, s。t。0, E(

3、e ) = 0,Var(e )=Ex e = 0, Vs 兀 tAR(p)模型有三個限制條件：條件一：p。0。這個限制條件保證了模型的最高階數(shù)為p。條件二：E(s ) = 0,Var(s ) 二。2,E(8 8 ) = 0,s ”。這個限制條件實際上是要求隨機干擾序列任為 tt 8 s tt零均值白噪聲序列。條件三：Ex8 = 0, Vs兀t。這個限制條件說明當期的隨機干擾與過去的序列值無關。通常把AR(p)模型簡記為：x =8 +8x +8 x +a +8 x +8t 0 1 t-1 2 t - 2p t - p t當80 = 0時，自回歸模型式又稱為中心化AR(p)模型。非中心化人日)序列

4、可以通過下面變化中心化AR(p)系列。令則七為 xt 的中心化序列。AR(p)模型又可以記為：以B)x = 81，其中以B) =1-81B %B2 -A -8 Bp稱為p階自回歸系數(shù)多項式二、AR模型平穩(wěn)性判斷P45【例】考察如下四個AR模型的平穩(wěn)性：擬合這四個序列的序列值，并會繪制時序圖，發(fā)現(xiàn)(1)(3)模型平穩(wěn)，(2)(4)模型非平穩(wěn)1、特征根判別任一個中心化AR(p)模型(B)x,= 81都可以視為一個非齊次線性差分方程。則其齊次線性方程以B)x廣0的特征方程為：xp -81 xp-1 -%xp-2-A = 0設人,人,A ,人為齊次線性方程e( B) x =(1-8 B-8 B 2-A

5、-8 Bp) x = 0的p個特征根。所以12pt12ptrAR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是它的p個特征根七,氣,A ,七都在單位圓內(nèi)。同時等價于：AR模型的自回歸系數(shù)多項式的根，即()=0的根，都在單位圓外。證明：設人，力,A ,人為齊次線性方程以B)x = 0的p個特征根，任取入，i e (1,2A p)，帶入特12pt土i征方程：把u =：帶入(B) = 0中，有i根據(jù)這個性質(zhì)，(B)可以因子分解成：(B) = K (1-人B)，ii=1于是可以得到非其次線性方程(B)X =8的一個特解：尤= 二=巳 =8二E1 中 H(1 一杼)ii=12、平穩(wěn)域判別使得特征方程X 一。0 一。1 X

6、1 一。2 X 2 +A * X“ = 0的所有特征根都在單位圓內(nèi)的系數(shù)集合 U 1 t 12 t2pt p被稱為AR(p)模型的平穩(wěn)域。(1)AR(1)模型的平穩(wěn)域AR模型為：了廣虹+81，其特征方程為：人一。=0,特征根為：人=。則AR(1)模型平穩(wěn)的充要條件是N 1,則AR(1)模型的平穩(wěn)域是1 1(2)AR(2)模型的平穩(wěn)域AR(2)模型為：X =。X +。X +8。其特征方程為：處。人。=0,特征根為：t 1 t1 2 t2t12七= + 號+俱,% = +*俱。則AR(2)模型平穩(wěn)的充要條件是：|七| 1且|人2 p(2)平穩(wěn)AR模型的方差。對平穩(wěn)AR模型xt=G(B) t兩邊就方

7、差，其中kG 2。2 j j=0由于G2 V8，這說明平穩(wěn)序列x 方差有界，等于常數(shù)黨 jtj=0【例】求平穩(wěn)AR模型的方差。AR(1)模型：(1。B)x = n xt1(1 。B)1= ( )j=0=耳花1 t-j j=0Green 函數(shù)為：G =。j,(j = 0,1，A )，所以平穩(wěn)AR模型的方差為：3、協(xié)方差函數(shù)在平穩(wěn)模型x =。+。x +。xt 01 t-12 t - 2+A+。x +等號兩邊同時乘x(Vk 1)，再求期p t - ptt - k望，得又由E( x ) = 0, Vk 1，y = E(xx )，可以得到自協(xié)方差函數(shù)的遞推公式:t t-kkt t-ky =Qy +。y

8、+A +。yk 1 k -1 2 k - 2p k - p【例】求平穩(wěn)AR模型的自協(xié)方差函數(shù)。平穩(wěn)AR(1)模型的自協(xié)方差函數(shù)的遞推公式是： y =y =。k y。2. 。2又由【例】知，y = 廣，所以平穩(wěn)ar模型的自協(xié)方差函數(shù)的遞推公式是：y =8k 廣，vk 10 1 -。2k1 1-。211【例】求平穩(wěn)AR（2）模型的自協(xié)方差函數(shù)。求平穩(wěn)ar（2）模型的自協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為：Y =。丫 +。丫 ，Pk 1, k 1 k-12 k - 2特別地，當k=i時，有Y =。丫 +。丫，即Y =Y11 02 111 01利用Green函數(shù)可以推出AR（2）模型的協(xié)方差：所以平穩(wěn)AR（2）模型

9、的協(xié)方差函數(shù)的推導公式為：4、自相關系數(shù)平穩(wěn)AR模型自相關系數(shù)的推導公式。由于Pk = L，式兩邊同時除以y0，可以得到自相關系數(shù)的 j 0推導公式：p =8p +8 p +a +。pk 1 k-1 2 k - 2p k - p平穩(wěn)AR模型的自相關系數(shù)推導公式：Pk =中,k 0平穩(wěn)AR（2）模型的自相關系數(shù)推導公式：（2）自相關系數(shù)的性質(zhì)。平穩(wěn)AR模型自相關系數(shù)有連個顯著的特性：一、拖尾性二、呈負指數(shù)衰減5、偏自相關系數(shù)（1）偏自相關系數(shù)的定義。定義 對于平穩(wěn)序列x ，所謂滯后k偏自相關系數(shù)就是指在給定中間k-i個隨機變量 tX ,x ,A ,x條件下，或者在剔除中間k-i個隨機變量x ,x

10、 ,A ,x 的干擾后，X 對X的t-1 t-2t - k +1t-1 t - 2t - k +1t - kt影響的相關度量。（2）偏自相關系數(shù)的計算。對于平穩(wěn)序列x ，用過去的k期序列值x ,x ,A ,x對x作k階自回歸擬合，即tt-1 t - 2t - k +1tx =。x +8 x +A +8 x + t k1 t-1 k 2 t - 2kk t - k t式中，E（ ） = 0,E x = O（Vs 1，l k1 l-1k 2 l - 2kk l - k取前k個方程構成的方程組：該方程組成為Yule-Walker方程。用矩陣表達P1Ap、8、Pk-1k1P1AP8P1k-2?k 2=

11、2MM0M ?MMPPA18PV-1k-2kkJk D則4,其中kk DD為式的行列式，為把D中第k個列向量換成等號右邊的自相關系數(shù)響亮后構成的行列式。k(3)偏自相關系數(shù)的截尾性。平穩(wěn)的AR(p)模型的偏自相關系數(shù)具有p步截尾性。指p時，氣=0。ar模型的偏自相關系數(shù)為：e =.kk,k = 110,k20rV2ar(2)模型的偏自相關系數(shù)為：8 =令M = 2kk2MA模型一、定義定義具有如下結構的模型稱為q階移動平均(moving average)模型，簡記為MA(q):X pi + 0 A. 0 tt 1 t1q tq e roqI E(e ) 0,Var( ) = c? 2, E(e

12、 e ) = 0, s。1ttt s使用MA(q)模型需要滿足兩個限制條件：條件一：0這個限制條件保證了模型的最高階數(shù)為q。q條件二：E(s ) = O,Vtzr(s )=a2,(8 8 ) = Q,st ,即隨機干擾項伍為零均值白噪聲序列ttEt st W(0,Q2)t通常把MA(q)模型簡記為：% =|Li + -08 -A -0 8tt 1 t1q tq當H =時，模型 稱為中心化MA(q)模型，而對非中心化模型只需做一個簡單的位移y,=:-目,就可以轉化證中心化MA(q)模型。使用延遲算子，中心化MA(q)模型又簡記為：X 0(B) ,tt式中。(8) = 1-叩-。2初-A -BqB

13、q,稱為q階移動平均系數(shù)多項式。二、MA模型的統(tǒng)計性質(zhì)1、常數(shù)均值當08時，MA(q)模型具有常數(shù)均值：如果該模型為中心化MA(q)模型，則該模型均值為零。2、常熟方差3、自協(xié)方差函數(shù)只與滯后階數(shù)相關，且q階截尾(1+0 2 +02 +A 02)G2, k = 0=(-0 +笑* 0 0 )b 2,1 k q4、自相關系數(shù)q階截尾MA(1)模型的自相關系數(shù)為MA(2)模型的自相關系數(shù)為5、偏自相關系數(shù)拖尾當q 8時，MA(q)模型一定為平穩(wěn)模型。MA(q)模型的偏自相關系數(shù)拖尾，自相關系數(shù)q階截尾。三、MA模型的可逆性為了保證一個給定的自相關函數(shù)能夠?qū)ㄒ坏腗A模型，我們就要給模型增加約束條

14、件。這 個約束條件稱為MA模型的可逆性條件?？赡娴亩x1Xt =81 _0 81-1MA(1)模型具有如下結構式，他們的自相關系數(shù)正好相等：模型1： ：=廣08模型2：把這兩個MA(1)模型表示成兩個自相關模型形式：X模型1： 10b =81模型2：顯然，0| 1時，模型1不收斂，而模型2收斂。若一個MA模型能夠表示成收斂的AR模型形式，那么該MA模型則稱為可逆模型。一個自相關系數(shù)唯一對 應一個可逆MA模型。MA(q)模型的可逆性條件。XMA(q)模型可以表示為：/ = 8 0( B)t式中0(B) =1-01B-02B2-A -0Bq，稱為q階移動平均系數(shù)多項式。111、假定，A，是該系數(shù)多

15、項式的q個根，則0(B)可以分解成： 人人 人0(B)頊 (1人 B)k=1把式帶入，得XX邛(1-人 B)(1一。B)A (iqB)kk=1式收斂的充要條件是：|人J 1。這個條 k件稱為MA(q)模型的可逆性條件。3、逆函數(shù)的推導公式如果一個MA(q)模型滿足可逆性條件，它就可以寫成如下兩種等價形式： 把(b)式帶入(a)式，得由待定系數(shù)法可以得到逆函數(shù)的推導公式:=1=Wj=i七,k q = I (B) x =E IBixi=1=工Ixi t-i i=1P64【例續(xù)】考慮【例】中的四個MA模型的可逆性，并寫出可逆MA模型的逆轉形勢。4、MA模型偏自相關系數(shù)拖尾Vk 0, MA(q)模型延

16、遲k階偏自相關系數(shù)為:寸 Il+k71寸虬=傳，由于Z I 7不會恒等于零，所以MA(q)模型偏自相關系數(shù)kk (1 + 02 +02 +A2)b 2l+k l -拖尾。ARMA模型一、定義定義把具有如下結構的模型稱為自回歸移動平均模型，簡記為ARMA(p,q):x = + x + x +A + x + -0 -A -0 t 01t12t2ptpt 1t1qtq豐0,0豐0E( ) = 0,Var( ) =b2,E( ) = 0,s t tt s tEx = 0, Vs p k 0, j q四、ARMA(p,q)模型的統(tǒng)計性質(zhì)1、均值對于一個非中心化平穩(wěn)可逆的ARMA(p,q)模型：兩邊同時求

17、均值：2、自協(xié)方差函數(shù)3、自相關系數(shù)考察AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)，可以總結出模型模型自相關系數(shù)p;k偏自相關系數(shù)、kkAR(p)拖尾p階截尾MA(q)q階截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾平穩(wěn)時間序列時間序列建模的一般步驟 怎樣判斷平穩(wěn)性？ 什么是平穩(wěn)性？這里指寬平穩(wěn)。如果序列工滿足下列條件，則稱為是平穩(wěn)的。 t性質(zhì)3的一個推論是，對Vs t, k, Corr(x , x ) = Corr(x , x )，記為p，稱為延遲為k的自t st+k s+kk相關系數(shù)k = s -t平穩(wěn)性的直觀含義是“序列的前二階矩不隨時間的推移而改變”，這使得我們可以

18、把不同時間點的數(shù) 據(jù)放在一起作統(tǒng)計推斷. 觀察時序圖根據(jù)平穩(wěn)性的定義，平穩(wěn)序列具有常數(shù)均值和常數(shù)方差的性質(zhì)，因此其時序圖應該在一個常數(shù)值附近波動，且波動的范圍有界；具有明顯趨勢性和周期性的序列通常不是平穩(wěn)序列；例如：自相關圖檢驗平穩(wěn)序列通常只具有短期的自相關，即自相關函數(shù)(ACF)往往很快的衰減到零。因此衰減很慢的序 列很可能是非平穩(wěn)的。例如前面三個例子里面對應的自相關圖分別如下：怎樣做白噪聲檢驗？什么是白噪聲？如果序列* 滿足E(x )=日,Var(x ) =。2,Cov(x ,x ) = 0, Vt。s，則稱x 為白噪聲序列tttt st(White Noise),記為如果xt還服從正態(tài)分

19、布，則稱為高斯白噪聲。白噪聲是純隨機序列，它具有性質(zhì)，因此我們可以通過檢驗下列假設來檢驗序列是否是白噪聲檢驗統(tǒng)計量為LB(Ljung-Box)統(tǒng)計量LB = n(n + 2)刃k=1在原假設成立的條件下，LB近似服從自由度為m的卡方分布X 2 LB X2(1 -a. 2)時拒絕原假設。mm注：為什么只需要檢驗前6期，12期或者前18期的自相關呢？這是因為一個平穩(wěn)序列通常只存在 短期的自相關，如果短期之間都不存在顯著的自相關，則更長期的延遲之間就更不會存在自相關了；相 反的，如果存在顯著的短期自相關，則該序列必然不是白噪聲；怎樣計算自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)？樣本自相關系數(shù)(SACF)樣本偏自相關

20、系數(shù)(SPACF)1APAAP1人PAaP1k-111AA P1AAPAA P1A人P其中，D =1k-2 _ _ ，D =12MMMk MMMAPAPA1APAPA人Pk-1k-2k-1k - 2kA怎樣識別模型?所謂的模型識別就是選取是適當?shù)膒,q，也就是模型定階； ARMA模型的理論ACF和理論PACF理論上講，我們可以根據(jù)上述特點確定模型的階，但在實際操作中具有下列障礙SACF,SPACF不會出現(xiàn)理論上的完美截尾情況；本應截尾的SACF和SPACF仍會出現(xiàn)小值震蕩的情 況；平穩(wěn)序列通常只具有短期相關性，當k足夠大是，SACF和SPACF總會衰減到零值附近做小值震蕩。 什么時候認為P k = 0 ？n - p由于Pk * 近似服從標準正態(tài)分布，因此當P = 0時，se(p )kk于是有因此，當SACF落在2倍標準差的范圍內(nèi)是，我們認為Pk = 0 ；怎樣判斷截尾還是拖尾？如果有SACF在最初的d階明顯大于2倍標準差，而后幾乎95%的SACF都落在2倍標準差內(nèi)，且 這種過程很突然，則可以視為是“截尾”；反之，如果超過5%的SACF都落在2倍標準差范圍之外，或者SACF衰減到零