2021-2022學年高二物理競賽課件：固體的導電性

1、固體的導電性一、分布函數(shù)和玻耳茲曼方程 分布函數(shù)法的概念 費米函數(shù)表述的是在統(tǒng)計平衡狀態(tài)下，固體中的電子的分布規(guī)律。如果我們以波矢標志電子的運動狀態(tài)，那么根據(jù)關系式（4-11），在波矢空間的體積元 內(nèi)狀態(tài)數(shù)目為： 如果用 表示費米函數(shù)（T表示溫度），那么在體積元 內(nèi)的電子數(shù)就等于： (5-1) 一、分布函數(shù)和玻耳茲曼方程 如果考慮單位體積內(nèi)的電子數(shù)，即設單位體積內(nèi)的電子數(shù)為： n=N/VC，那么由（5-1）式可以得到： （5-2）這種分布可以形象地表示為電子在K空間的密度分布，即表示在一定溫度下，K空間某處電子密度的大小。 一、分布函數(shù)和玻耳茲曼方程 在平衡狀態(tài)分布時， 由于因此分布密度 對于

2、 是對稱的。而此時由于因此電流 大小相等方向相反。 即電流為零一、分布函數(shù)和玻耳茲曼方程 當在上述的平衡系統(tǒng)上外加一個恒定外場 時，很快會形成一個穩(wěn)定電流密度，并且服從歐姆定律： （5-3） 式中為電導率。 這個穩(wěn)定電流實際上反映了在穩(wěn)定外場作用下，電子達到了一個新的定態(tài)統(tǒng)計分布狀態(tài)。這種定態(tài)分布也可以用一個與平衡時相似的分布函數(shù) 來描述，即單位體積內(nèi)在 中的電子數(shù)為： （5-4） 一、分布函數(shù)和玻耳茲曼方程 由于電子的速度為 ，因此它們對于電流密度的貢獻可以寫為： （5-5）積分上式可得到總的電流密度為： （5-6）上式說明只要確定了分布函數(shù) ，就可以直接計算電流密度。通過這種非平衡情況下的

3、分布函數(shù)來研究電子輸運過程的方法，就是分布函數(shù)法。 一、分布函數(shù)和玻耳茲曼方程 這里應注意的是，要準確地區(qū)別“平衡統(tǒng)計分布”與“定態(tài)統(tǒng)計分布”。平衡統(tǒng)計分布是指，宏觀上電子處于相對靜止狀態(tài)，各處的狀態(tài)密度相同。定態(tài)統(tǒng)計分布是指，宏觀上電子做定向運動，各處狀態(tài)密度不變。 玻耳茲曼方程是從考查分布函數(shù)如何隨時間變化而確立的。分布函數(shù)的變化有兩個來源：漂移項。它是指由外界條件所引起的統(tǒng)計分布在K空間的“漂移”。碰撞項。它是指由于晶格原子的振動，或者是雜質(zhì)的存在等原因，電子不斷地發(fā)生從一個狀態(tài) 到另一個狀態(tài) 的“躍遷”。 我們可以把這種運動狀態(tài)的改變想象成與分子運動論中一個分子遭受碰撞由速度 變化為另

4、一速度 的情況相似。電子態(tài)的這種變化常稱為散射。一、分布函數(shù)和玻耳茲曼方程 玻耳茲曼方程一、分布函數(shù)和玻耳茲曼方程 由量子力學可以知道，電子的運動速度與波矢是一一對應的，所以我們可以以實際位置坐標 和波矢 為變量組成相空間。 在相空間中電子是以分布函數(shù) 來描述的，它代表t時刻在點 附近單位體積中一種自旋的電子數(shù)。所以t時刻在相空間體積元 中一種自旋的電子數(shù)是： 一、分布函數(shù)和玻耳茲曼方程 隨時間的總變化率應由三部分組成： （5-7）其中： 代表外場引起的分布函數(shù)的變化； 代表電子因受散射引起的分布函數(shù)的變化； 代表分布函數(shù)是時間顯函數(shù)時的偏導數(shù)。一、分布函數(shù)和玻耳茲曼方程 如果電子的分布不隨時

5、間變化而處于定態(tài)分布狀態(tài)，則 此時f不顯含時間，故 也為零，因此有： （5-8） 一、分布函數(shù)和玻耳茲曼方程 首先討論“漂移項”。在相空間中，t時刻位置為 處的電子是由t-t時刻在 處的電子漂移來的；而波矢為 的電子是由波矢為 的電子漂移來的。 時間位置坐標波矢坐標t-tt一、分布函數(shù)和玻耳茲曼方程 當t很小時，可以假定電子在這個漂移過程中沒有遇到碰撞。根據(jù)全微分的方法可以得到下面的關系式： (5-9)所以有： （5-10）上式表明，外場引起的分布函數(shù)的變化由兩部分組成，一部分是由于電子在坐標空間的運動引起的；第二部分是電子在波矢空間的運動引起的，其結果是使晶體電子狀態(tài)代表點在波矢空間的分布成為不均勻的，此時 一、分布函數(shù)和玻耳茲曼方程 下面再討論“碰撞項”。可以用一個躍遷幾率函數(shù)： 來描述單位時間由狀態(tài) 的躍遷幾率，這里只考慮自旋不