增函數(shù)定理證明不等式

1、增函數(shù)定理證明不等式定理2.5 ：（增函數(shù)定理 ）設(shè)函數(shù)fx 在區(qū)間 , R連續(xù)可導(dǎo),如在x , 區(qū)間有fx0,就 f 在 x , 區(qū)間單調(diào)遞增； 如 fx0,就 f 在 x , 區(qū)間嚴(yán)格單調(diào)遞增；證 明 ： 我 們 考 慮 在 x , 區(qū) 間 fx0的 情 況 , 設(shè)ax1x2b , 我 們 需 要 證 明fx1fx2 . fx1f x2x1 . 應(yīng)用中值定理,設(shè)某數(shù)cx1,x2 ,這樣由中值定理得：fx2既然 f 0,且x2x10 ,就fx2fx10. 即：fx1fx2 . 當(dāng) fx0時(shí),應(yīng)用中值定理依舊可以得到這個(gè)結(jié)果；證畢；【試題 19】設(shè) x y0,且 xy2 ,證明：x y 22x

2、2y22【解析一】第一齊次化,由x2y1來實(shí)現(xiàn)齊次化xy1,代入式得：齊次化式為：x2y2x2y22x2y6即：32x2y2x2y2xy 6在 xy0 時(shí),式明顯成立；現(xiàn)在假設(shè) xy0 ,由于式得齊次化,我們可以采納常規(guī)化的32 x21x16x2x設(shè)：px1 ,就 p 2 ,x就：px212,代入式得：32 p2p3x2即待證式為：p 332 p640現(xiàn)在求函數(shù)fp p 332 p64在 p , 區(qū)間的最小值；求導(dǎo)得：fp 3 p 232當(dāng)函數(shù) fp 達(dá)到極值時(shí),fp 00. 由式得：p 0323當(dāng)pp 時(shí), f 0p0, fp 單調(diào)遞減；當(dāng)pp 時(shí), f 0p0, fp 單調(diào)遞增；第 1 頁

3、當(dāng) p p 時(shí), f 0 p 0, f p 達(dá)到其微小值 f p 0 . 由于 p , ,而 p 0 4 ,故 p , 是函數(shù) f p 單調(diào)遞增區(qū)間, 其最小值為 f 4 . 故：f p f 4 4 3 32 4 64 0,即式得證；證畢；【解析二】在【解析一】齊次化后,得到式；在 x 0 或 y 0 時(shí),顯而易見式成立；在解析一采納常規(guī)化的 xy 1,現(xiàn)在,采納常規(guī)化的是 x 2y 2 2 . 設(shè) p xy ,就：0 p x 2 y 21,且 x y 2 x 2 y 2 2xy 2 2 p2代入式 32x 2 y 2 x 2 y 2 x y 得：6 32 p 2 2 2 2 p 3即： 1

4、p 3 8 p 2,即：p 3 3 p 2 3 p 1 8 p ,即：2 p 3 5 p 2 3 p 1 0 現(xiàn)在求函數(shù) f p p 3 5 p 2 3 p 1 在 p , 上的最小值；導(dǎo)函數(shù)：f p 3 p 2 10 p 3 3 p 1 p 3 在極值點(diǎn) p 時(shí),0 f p 0 0,即： 3 p 0 1 p 0 3 0就：p 0 13,由于 p , 而舍去 p 0 3 . 在 p , 1 區(qū)間, f p 0,就 f p 單調(diào)遞增；3在 p 1, 區(qū)間, f p 0,就 f p 單調(diào)遞減；3在 p p 時(shí), f 0 p 0,就 f p 取得極大值；故：在 p , 區(qū)間, f p 的最小值在 f

5、 0 和 f 1 這兩者之間；由式得：f 0 1, f 1 1 5 3 1 0, f 1 值更小；故：在 p , 區(qū)間, f p f 1 0,即：式得證；證畢；【解析三】我們證明當(dāng) x y 0 時(shí),式成立；作代數(shù)換元： u x y , v x y ,就： u v 0就式變成：32 u 2 v 2 2 u 2 v 2 u 6,即： u 2 v 2 2 u 2 v 2 u 6 4 2留意到：u 4 u 4 v 4 0 ,且 u 2 u 2 v 2 0 ,就：u 6 u 4 u 2 u 4 v 4 u 2 v 2 u 2 v 2 u 2 v 2 2 ,即式得證；證畢；第 2 頁【試題 20】設(shè) x

6、y z , , 為非負(fù)實(shí)數(shù),且xyz1 ,證明：x10 xyyzzx2xyz727【解析一】設(shè)函數(shù)fx y z , xyyzzx2xyz不失一般性,假設(shè) 0 xyz1 ,由于 xyz1,所以3由可得：fx y z , xyyzzx2xyzyz 13xxyzxyzx由于 yz0 , 13x0 ,故： f , x y z , 02x應(yīng)用 AMGM 不等式得：yzy2z212x2由可得：fx y z , x yzyz 12xx 1xyz 1將式代入式得：f , x y z , x 1 x 1 x 2 1 2x 1 1 x 4x 1 x 1 2x 2 41 1 x 4x 1 3x 2x 2 1 1 x

7、 2x 2 x 1 4 41 2x 2 x 1 2x 3 x 2 x 1 2x 3 x 2 1 4 4現(xiàn)在,求函數(shù) g x 1 2x 3 x 2 1 的最大值；4導(dǎo)函數(shù)：g x 1 6x 2 2x 1x 1 3x 4 2當(dāng) x , 1 時(shí), g x 0, g x 單調(diào)遞增；3當(dāng) x 1時(shí), g x 0, g x 單調(diào)遞減；3當(dāng) x 13時(shí), g x 0, g x 達(dá)到極大值,這里即是最大值；故 g x 的最大值為：g 1 1 2 1 3 1 2 1 1 2 11 73 4 3 3 4 27 9 27故：g x g 1 7. 3 27這樣,由得：f , x y z , xy yz zx 2xyz

8、 7. 就式得證；27【 IMO2022 / 2】設(shè) a b c , , 為正數(shù),且 abc 1,證明：第 3 頁a11b11c11142對(duì)應(yīng)的是bca這正是 2.2 代數(shù)換元中的【試題1】. 【解析】既然 abc1,那么,至少 a b c , , 中有一個(gè)數(shù)不小于 1；假設(shè)： b1 ,就：c1,式變?yōu)椋篴ca11b1ab1111baba或：a b 33a b 23ab3a b 2 23ab2abb3b2b10設(shè)： tab ,就式左邊變?yōu)椋篺 t t3b 3b t 2bt23btt2b 2tb1即：f t t3b1 t2b 23b1 tb3b2b1 對(duì)于 b1 ,式即要證明對(duì) t0 ,就 f

9、t 0我們求式得最小值,由式求導(dǎo)得：f 3t22 b1 tb 23b1 取極值時(shí)其導(dǎo)數(shù)為 0 ,即：3t22 b1 t2 b3b1 0方程的解為：t 0 b1 b1 23 b23b1 b1 4b27b33即：1b1 4b27b4,2 b1 4b27b433由于 f t 的最高項(xiàng)t 的系數(shù)為 3 30,所以,1對(duì)應(yīng)的是f t 的極大值,f t 的微小值；由式得：f 0 b3b2b1b1 b21 b2 1 b1 0b1 由于2是方程的根,就：322 b1 b23b1 0即：22b1 1b23b133代入式f t t3 b1 t2 b23b1 tb 3b2b1 進(jìn)行降次處理；得：f2b1 21b23

10、b2b23b1b3b21b1 33b3b21b122b23b1b133第 4 頁1b12b11b23b1 2b23b1b3b2b1433332b121b1 b23b1 2b23b1 b1 b1 299327b2b123 b23b1 1b1 9 b12b23b1 9924b27b41b1 8b215b89918b214b8b1 8b215b8918b214b88b37b27b89現(xiàn)在,我們的任務(wù)就是：建立對(duì)全部b0 時(shí), f b 0. 即：8b 214b8b1 4b27b48b37b27b803即：8b 214b8b1 4b27b43 8b37b27b80等效于：8b214b8 b1 3 8b

11、37b27b8 8b 214b84b即：16b315b215b16 8b214b84b27b44由于：16b315b215b1616 b3b2b1 b 2b08b214b88 b22b1 2b8 b1 22b0所以將式平方得： 16b315b215b16 2 8b214b8 2 4b27b就：864b53375b45022b33375b2864b0即：864b43375b35022b23375b8640設(shè)：G x 864x43375x35022x23375x864只要我們證明對(duì) xR , G x 0即可；導(dǎo)函數(shù)：G x 3456x 3 10125x 2 10044x 3375 x 1 3456x 2 6669x 3375 既然對(duì) x R 時(shí),3456 x 2 6669 x 3375 0 ,就 G x 與 x 1 同符號(hào)；這說明,當(dāng) x 1 時(shí), G x 0, G x 隨 x 單調(diào)遞減；當(dāng)