均值不等式求最值技巧

1、學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 利用均值不等式求最值的九種技巧 不等式易錯(cuò)題剖解 利用均值 （基本） 不等式求最值是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一 .利用均 值不等式所需的條件可概括為“一正,二定,三相等” .當(dāng)這些條件不完全具備時(shí),就需要 確定的技巧,特別是湊“定和”或“定積”的技巧,使其具備 .下面談?wù)劤Ｒ姷臏悺岸ê汀?或“定積”的技巧,供同學(xué)們參考 .一, 添,減項(xiàng)（配常數(shù)項(xiàng)） 例 1求函數(shù) y=3x2+162+x2 的最小值 .分析 3x2+162+x2 是二項(xiàng) “和” 的形式, 但其“積” 的形式不為定值 .而 12+x2 可與 x2+2相約,即其積為定積 1,因此可以先添,減項(xiàng) 6,即 y=3x2+

2、6+162+x2-6 ,再用均值不等式 .解 x2+2 0,y=3x2+162+x2=3x2+2+162+x2-6 232+x2 162+x2-6=83-6,當(dāng)且僅當(dāng) 32+x2=162+x2 ,即 x2=433-2 時(shí) ,等號(hào)成立 .所以 y 的最小值是 83-6.評(píng)注 為了制造條件利用均值不等式, 添項(xiàng)是常用的一種變形技巧 ;為了保證式子的值不 變,添項(xiàng)后確定要再減去同一項(xiàng) .二, 配系數(shù)（乘,除項(xiàng)） 例 2已知 x 0, y0,且中意 3x+2y=12 ,求 lgx+lgy 的最大值 .分析 lgx+lgy=lgx+y,xy 是二項(xiàng)“積”的形式,但不知其“和”的形式 x+y 是否定值,

3、而已知是 3x 與 2y 的和為定值 12,故應(yīng)先配系數(shù),即將 xy 變形為 3x2y6,再用均值 不等式 .解 x,y0,lgx+lgy=lgxy=lg3x 2y6 lg163x+2y22=lg161222=lg6 , 當(dāng)且僅當(dāng) 3x=2y,即 x=2, y=3 時(shí),等號(hào)成立 .所以 lgx+lgy 的最大值是 lg6.評(píng)注 此題是已知和為定值,要求積的最大值,可逆用均值不等式,即利用 ab a+b22來解決 .三, 裂項(xiàng) 第 1 頁,共 4 頁學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 例 3 已知 x -1,求函數(shù) y=x+5x+2x+1 的最小值 .分析 在分子的各因式中分別湊出 x+1 ,借助于裂項(xiàng)解決問

4、題 .解 x+1 0,y=x+1+4x+1+1x+1 =x+1+4x+1+5 2x+14x+1+5=9 , 當(dāng)且僅當(dāng) x+1=4x+1 ,即 x=1 時(shí),取等號(hào) . 所以 ymin=9.四, 取倒數(shù) 例 4已知 0 x 12,求函數(shù) y=x+12x1-2x 的最小值 .分析 分母是 x 與 1-2x 的積,可通過配系數(shù),使它們的和為定值；也可通過配系數(shù), 使它們的和為（ 1+x ） 這是解此題時(shí)真正需要的 .于是通過取倒數(shù)即可解決問題 .解 由 0 x 12,得 1+x 0, 1-2x 0.取倒數(shù),得 1y=x1-2x1+x2=13 3x1+x 1-2x1+x 133x1+x+1-2x1+x2

5、2=112 , 當(dāng)且僅當(dāng) 3x1+x=1-2x1+x ,即 x=15 時(shí),取等號(hào) . 故 y 的最小值是 12.五, 平方 例 5已知 x 0, y0,且 2x2+y23=8 ,求 x6+2y2 的最大值 .分析 條件式中的 x 與 y 都是平方式,而所求式中的 x 是一次式, y 是平方式但帶根號(hào) .初看似乎無從下手,但如把所求式 等式來解決 .解 x6+2y22=x26+2y2=3 2x21+y23x6+2y2 平方,就解題思路豁然開朗,即可利用均值不 第 2 頁,共 4 頁學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 32x2+1+y2322=3922 , 當(dāng)且僅當(dāng) 2x2=1+y23,即 x=32 , y=4

6、22 時(shí),等號(hào)成立 . 故 x6+2y2 的最大值是 923.評(píng)注 此題也可將 x 納入根號(hào)內(nèi),即將所求式化為 x26+2y2 ,先配系數(shù),再運(yùn)用均值 不等式的變式 .六, 換元（整體思想） 例 6求函數(shù) y=x+22x+5 的最大值 .分析 可先令 x+2=t ,進(jìn)行換元,再使分子常數(shù)化,然后運(yùn)用均值不等式來解決 .解 令 x+2=t ,就 t 0, x=t2-2 , 就 y=t2t2+1t 0.當(dāng) t=0 時(shí), y=0； 當(dāng) t 0 時(shí), y=12t+1t 122t 1t=24.當(dāng)且僅當(dāng) 2t=1t ,即 t=22 時(shí),取等號(hào) .所以 x=-32 時(shí), y 取最大值為 24.七, 逆用條件

7、 例 7已知 1x+9y=1x 0,y 0,就 x+y 的最小值是 .分析 直接利用均值不等式,只能求 xy 的最小值,而無法求 x+y 的最小值 .這時(shí)可逆用 條件,即由 1=1x+9y ,得 x+y=x+y1x+9y ,然后開放即可解決問題 .解 由 x 0, y 0,1x+9y=1, 得 x+y=x+y1x+9y=yx+9xy+10 2yx 9xy+10=16 , 當(dāng)且僅當(dāng) yx=9xy,即 x=4, y=12 時(shí),等號(hào)成立 .故 x+y 的最小值是 16.評(píng)注 如已知 x 0, y 0, x+y=1 或其他定值 ,要求 1x+9y的最大值,就同樣可運(yùn)用 第 3 頁,共 4 頁學(xué)習(xí)好資料

8、 歡迎下載 此法 .八, 巧組合 例 8如 a,b,c 0 且 aa+b+c+bc=4-23,求 2a+b+c 的最小值 .分析 初看,這是一個(gè)三元式的最值問題,無法利用 a+b 2ab 來解決 .換個(gè)思路,可 考慮將 2a+b+c 重新組合,變成 a+b+a+c ,而（ a+b ）b+c 等于定值 4-23,于是就可以利 用均值不等式了 .解 由 a,b,c 0,知 2a+b+c=a+b+a+c 2a+ba+c=2a2+ab+ac+bc=24-23=23-2 ,當(dāng)且僅當(dāng) b=c,即 b=c= 3-1-a 時(shí),等號(hào)成立 .故 2a+b+c 的最小值為 23-2.九, 消元 例 9（ 2022 年江蘇卷）設(shè) x, y, z 為正實(shí)數(shù), x-2y+3z=0 ,就 y2xz 的最小值是 .分析 此題也是三元式的最值問題 .由題意得 y=x+3z2 ,就可對(duì) y2xz 進(jìn)行消元,用 x, z表示,即變?yōu)?/p>