17無窮研究簡史

1、17 無窮研究簡史作者： 高山無窮是一個永恒的謎希爾伯特科學(xué)史上的諸多事實(shí)都顯示了無窮概念的巨大重要性和深遠(yuǎn)影響。正如數(shù)學(xué)史家M克萊因所說：“數(shù)學(xué)史上最使人驚奇的事實(shí)之一是實(shí)數(shù)系的邏輯基礎(chǔ)竟遲至十九世紀(jì)后葉才建立起來?！倍@明顯是由于人們在理解無窮這個概念上所遇到的巨大困難造成的。另一方面，我們認(rèn)為這些困難也正阻礙人們對本世紀(jì)二十年代所發(fā)現(xiàn)的最驚心動魄的微觀物質(zhì)理論量子力學(xué)的深刻本質(zhì)的認(rèn)識，本節(jié)我們主要回顧一下人們對無窮概念的認(rèn)識和應(yīng)用歷史，以從中尋找到有益的啟示。自古希臘時期以來，無窮的概念就引起了哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家的注意，但它的看來是矛盾的性質(zhì)使得對它的理解進(jìn)展十分緩慢。數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯(BC

2、580-BC497)最早用他的著名定理發(fā)現(xiàn)了新型數(shù)無理數(shù)，或者說某些長度的不可通約性，但為了避免直線無限可分中討厭的無窮概念，而將這一偉大發(fā)現(xiàn)密而不宣。愛利亞學(xué)派的芝諾(BC490-BC430)第一個研究了運(yùn)動中存在的無窮悖論，他在“二分法”悖論和“阿基里斯”悖論中，以人們對無窮理解的困難批駁直線的無限可分性，進(jìn)而巧妙地證明了運(yùn)動的不可能性這一明顯不符合客觀事實(shí)的結(jié)論。這些悖論從另一方面引起了人們的興趣和注意，加深了人們對運(yùn)動和無窮概念的理解。柏拉圖學(xué)園的數(shù)學(xué)家歐多克斯(BC408-BC355)為了避免了無窮小的困難，提出用窮竭法求面積，并用以他命名的原理來代替無窮的極限理論，從另一方面給出實(shí)

3、現(xiàn)極限過程的方法。亞力山大里亞學(xué)派的大數(shù)學(xué)家歐幾里德在他著名的幾何原本第十卷中也系統(tǒng)地提出了此方法以避免無窮小的困難。大哲學(xué)家亞里士多德(BC384-BC322)考慮過無窮的問題，但他從不承認(rèn)一個無窮的集合可以作為一個固定的整體存在，對他來說，這樣的集合只是潛在無窮。一直被認(rèn)為是古代最偉大的科學(xué)家阿基米德(BC287-BC212)也用歸謬法去避免無限小量的概念，盡管他預(yù)見了極微分割的概念。物理學(xué)家伽利略(1564-1642)也與無窮集合做過斗爭，并認(rèn)為它們不可理喻而放棄了。在兩門新科學(xué)中他注意到兩個不等長的線段AB與CD上的點(diǎn)可以構(gòu)成一一對應(yīng)，從而可以想象它們含有同樣多的點(diǎn)。他又注意到正整數(shù)可

4、以和它們的平方構(gòu)成一一對應(yīng)，只要把每一個正整數(shù)和它的平方對應(yīng)起來就行了，但這導(dǎo)致無窮大的不同“數(shù)量級”，伽利略認(rèn)為這是不可能的，并認(rèn)為所有無窮大量都一樣，不能比較大小。天文學(xué)家開普勒(1571-1630)在新測定酒桶體積法一書中曾引入無窮大與無窮小的概念，以代替窮竭法。盡管人們對這些觀點(diǎn)感到頭痛，然而由于開普勒用日常的語言引入這些觀念，使得它們可以為大家所接受。開普勒采用這些觀點(diǎn)得出了一些前人很難得到的結(jié)果，盡管他的觀點(diǎn)中缺少關(guān)于極限的明確概念，也缺少有效的求和方法?？ǚ饋砝?1598-1647)進(jìn)一步發(fā)展了開普勒的方法，在新發(fā)展的極微分割幾何一書的第二部分中，他假定一條線可以看成是無數(shù)點(diǎn)的集

5、合。這本著作盡管有缺點(diǎn)，但還是鼓舞了許多科學(xué)家，使他們能以比較客觀的態(tài)度對待無窮小量的概念，并導(dǎo)致人們開始以更抽象的方式來研究無窮小的問題。羅伯佛爾(1600-1675)和帕斯卡(1623-1662)擺脫了卡佛來利的缺點(diǎn)，認(rèn)為一條線不是由點(diǎn)構(gòu)成，而是由無數(shù)根短線構(gòu)成。英國的約翰華里斯(1616-1703)在無窮算術(shù)一書中采用了無窮小量的學(xué)說。無窮小量的研究鼓舞了許多數(shù)學(xué)家去研究圖形求面積的問題。例如，法國的數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪(1601-1665)發(fā)現(xiàn)了幾種求積方法，由于考慮無窮小量他得出了確定函數(shù)極大值與極小值的方法，此方法相當(dāng)于令函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，這是無窮小量有效應(yīng)用的一個范例。費(fèi)爾瑪和笛卡兒(15

6、96-1650)發(fā)明的解析幾何加速了對無窮小量應(yīng)用的研究，進(jìn)而也加速了微積分的成熟，人們已開始用無窮小量來作曲線的切線，這些人有費(fèi)爾瑪、笛卡兒和巴羅，甚至有人認(rèn)為巴羅是無窮小量分析的第一個發(fā)明人，但只有牛頓使無窮小的分析達(dá)到登峰造極的地步，最終發(fā)明了分析的工具微積分。牛頓(1642-1727)在流數(shù)術(shù)一書中改變了變量是由無窮小元素組成的看法，而是從運(yùn)動學(xué)的觀點(diǎn)來研究問題，這也許是運(yùn)動中無窮小分析的起源。他說：“這里，流數(shù)術(shù)賴以建立的主要原理，乃是源自理論力學(xué)中的一個非常簡單的原理。這就是數(shù)學(xué)量，特別是外延量，都可以看作是由連續(xù)軌道運(yùn)動產(chǎn)生的，而且所有不管什么量，都可以認(rèn)為是在同樣方式下產(chǎn)生的，

7、至少經(jīng)過類比和調(diào)整之后可以如此。因此，在產(chǎn)生這些具有固定的可確定的關(guān)系的量時，其相對速度會有所增減，因而如何去求它們也就可以作為一個問題提出。這里，本人是據(jù)另一個同樣清楚的原理來解決這個問題的，這就是假定一個量可以無限分割，或者可以（至少在理論上說）使之連續(xù)減小，直至它完全消失，達(dá)到了可以稱之為零量的程度，或者說它們是無限的小，比任何一個指定的量都小?！边@里，牛頓認(rèn)為線的畫出是由于點(diǎn)的連續(xù)運(yùn)動，他把一個產(chǎn)生中的量稱之為流量，其生長率叫流量的流數(shù)，一個無限小的時間間隔叫瞬，在這無限小時間間隔內(nèi)流量增加的無窮小部分叫流量的瞬。于是牛頓成功地建立起無窮小的分析數(shù)學(xué)微積分。盡管牛頓利用無窮小建立了他的

8、新理論，他卻從未對此心安理得。他曾在一本著作曲線求積法中試圖消除所有關(guān)于無窮小的痕跡，從而建立起他的沒有無窮小的微積分。正如他寫道：“現(xiàn)在照這樣用有限量來制定一種分析學(xué)，并研究這些有限量在新生成漸近于零的情況下的基本比和最終比，是與古代的幾何學(xué)一致的我還樂意指出，在流數(shù)術(shù)中沒有必要把無窮小的數(shù)學(xué)引入幾何學(xué)中來?！钡謱懙溃骸坝腥朔磳φf，趨近于零的量的最終比是不存在的，因?yàn)樵谶@些量還沒有趨近于零的時候，比值并不是最終的；而當(dāng)它們等于零的時候，又什么都沒有了。但回答是不難的，這里有一個極限，它是在運(yùn)動終了時所能達(dá)到但不能超越的速度?！边@說明他已經(jīng)注意到無窮極限的概念，但牛頓不能明確定義他的比，他

9、并沒有把他的微積分建立在穩(wěn)固的基礎(chǔ)上。當(dāng)然，與牛頓同時代的萊布尼茲(1646-1716)獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了微積分理論，并且他又是現(xiàn)代微積分通用符號的創(chuàng)始者，但是他和牛頓一樣對他理論中的無窮小量解釋不清，甚至比牛頓更不注意嚴(yán)格的邏輯性和嚴(yán)密性。牛頓和萊布尼茲誰也沒有把無窮小這個基本概念弄明白，即怎樣越過從有限到無窮小量的鴻溝。另外，盡管萊布尼茲經(jīng)常否定絕對無窮，但在一些場合卻指出實(shí)無窮和絕對無窮的重要區(qū)別，這給后來的康托以極大的啟示。第一個試圖給予微積分中的無窮小分析以嚴(yán)密性的是十八世紀(jì)第一流的數(shù)學(xué)家拉格朗日(1736-1813)，他拋棄了牛頓的極限說，而從泰勒的定理出發(fā)，決定只用代數(shù)方法，但由于對級

10、數(shù)的收斂性注意不夠，他的探索沒有成功。波爾查諾(1781-1848)第一個把f(x)的導(dǎo)數(shù)定義為當(dāng)x經(jīng)由負(fù)值和正值趨于零時，比f(x+x)-f(x)/x無限接近地趨向的量f(x)，他強(qiáng)調(diào)f(x)不是兩個零之商，也不是兩個消失的量的比，而是前面指出的比所趨近的一個數(shù)。波爾查諾在他的無窮悖論一書中顯示了他是第一個采取積極步驟的人，他維護(hù)了實(shí)無窮集合的存在，并且強(qiáng)調(diào)了兩個集合等價的概念，這就是后來叫做兩個集合元素之間的一一對應(yīng)關(guān)系，這個等價的概念適用于有限集合，也適用于無限集合。他注意到無窮集合中部分或子集可以等價于整體的情況，并且堅(jiān)持這個事實(shí)必須接受，對于無窮集合同樣可以指定一個數(shù)叫超限數(shù)，使不同

11、的無窮集合有不同的超限數(shù)，但他認(rèn)為對于超限數(shù)無需計(jì)算，所以不用深入研究它們。波爾查諾對于無窮的研究，其哲學(xué)意義比數(shù)學(xué)意義更多，雖然他沒有充分弄清后來稱之為集合的勢或基數(shù)的概念，但他給后來康托的超窮集合論奠定了基礎(chǔ)?？挛?1789-1857)對數(shù)學(xué)發(fā)展最偉大的貢獻(xiàn)就在于他對這門學(xué)科采用了清楚嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撌龇绞剑麑Ｐ闹轮居跒槲⒎e分中關(guān)于無窮小應(yīng)用的基本原理奠定牢固的基礎(chǔ)，以至于被認(rèn)為是新思想家之首?？挛饕哉_的方法建立了極限和連續(xù)性的嚴(yán)格理論，正是柯西在他的杰出著作代數(shù)分析教程和無窮小分析教程概論中引進(jìn)了極限和連續(xù)性等根本性概念，盡管他只用了諸如“無限趨近”、“一個變量趨于它的極限”之類的話。他在教

12、程中說，“當(dāng)一個變量逐次所取的值無限趨近一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小有多小，這個定值就叫做所有其它值的極限?！笨挛髟谄浣坛痰男蜓灾兄赋?，當(dāng)說及函數(shù)的連續(xù)性時，必須說明無窮小量的主要性質(zhì)，即“當(dāng)一個變量的數(shù)值這樣無限地減小，使之收斂到極限零，那么人們就說這個變量為無窮小?！边@樣，柯西就澄清了令前人迷惑的無窮小概念，而且把無窮小的概念從行而上學(xué)的束縛中解放出來?？挛骼^續(xù)說，“當(dāng)變量的數(shù)值這樣地?zé)o限增大，使該變量收斂到極限無窮大，那么該變量就成為無窮大?！庇辛诉@些概念，柯西便可以給出函數(shù)連續(xù)性的概念，他在教程中說，設(shè)f(x)是x的一個函數(shù)，并設(shè)對介于給定兩個限之間的x值，這個函數(shù)總?cè)∫?/p>

13、個有限且唯一的值。如果在這兩限之間，變量的一個無窮小增量總產(chǎn)生函數(shù)自身的一個無窮小增量，那么函數(shù)f(x)在給定限之間對于x保持連續(xù)?？挛鞯囊陨细拍詈投x對人們理解經(jīng)典連續(xù)運(yùn)動中的無窮小和連續(xù)性是有很大幫助的，而且在描述的嚴(yán)格性上大大前進(jìn)了一步，因此也就更加能夠使人們接近運(yùn)動的內(nèi)在本質(zhì)。另外，柯西認(rèn)為無窮大不意味一個固定的量，而只是一個無限變大的量?？挛鞑⒉怀姓J(rèn)無窮數(shù)目的集合的存在，因?yàn)椴糠滞w構(gòu)成一一對應(yīng)這件事在他看來是矛盾的。魏爾斯特拉斯(1815-1897)進(jìn)一步將極限和連續(xù)性概念加以嚴(yán)密和抽象化。他力求避免例如一個變量趨于一個極限的直觀說法，而把分析完全建立在算術(shù)基礎(chǔ)上。他認(rèn)為，一個連

14、續(xù)變量是這樣一個變量，如果x0是該變量值集合中的任一值，而是任意正數(shù)，則一定有變量的其他值在(x0-，x0+)中，而且他給出了現(xiàn)今連續(xù)性和極限的定義，即如果給定任何一個正數(shù)都存在一個正數(shù)，使得對于區(qū)間|x-x0|內(nèi)的所有x都有|f(x)-f(x0)|N，他指出，這實(shí)際上就假設(shè)了所有這樣的n的存在，它們構(gòu)成了可稱之為超窮的一個完成了的總體?？低泻髞戆殉F數(shù)看成是借助于抽象從實(shí)無窮集合的存在中自然地產(chǎn)生出來的，他指出，超窮數(shù)與有窮無理數(shù)是同舟共濟(jì)的，兩者的基本性質(zhì)是相似的，因?yàn)榍罢吆秃笳咭粯右彩菍?shí)無窮的確定表達(dá)形式。但是，由于康托強(qiáng)調(diào)新數(shù)內(nèi)在的和觀念上的相容性這一形式主義觀點(diǎn)，他明確地表達(dá)了對無窮

15、小理論的反對，因?yàn)樗J(rèn)為小于任意小的有窮數(shù)的非線性零數(shù)是不存在的?？傊?，康托認(rèn)為無論就有窮數(shù)和無窮數(shù)而言，在本質(zhì)上都可以從兩種角度去進(jìn)行分析：一是所謂的內(nèi)在的真實(shí)性，或固有的真實(shí)性，即是指在思想中可明確定義，從而與思維的其他成分可明確區(qū)分的真實(shí)性；二是所謂的外部的真實(shí)性，即是指其在物理世界的對象中和過程中的具體體現(xiàn)?？低刑岢鏊某F集合論后，許多人都提出了不同的反對意見，而且他自己也發(fā)現(xiàn)了他建立的超窮集合論中所出現(xiàn)的令人不愉快的悖論，這一切都導(dǎo)致了二十世紀(jì)初期關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的深入研究和理解。人們以各自不同的方法來避免或解決這些討厭的困難，而困難的根源又正是在于無窮集合和無限過程中所用到的無窮。于

16、是在數(shù)學(xué)家中分化出幾大派別，以Zermelo為首的公理化學(xué)派認(rèn)為公理化可以澄清悖論；以Frege、Russell和Whitehead為首的邏輯派認(rèn)為數(shù)學(xué)可以從邏輯推導(dǎo)出來；以Kronecker、Brouwer為首的直觀派更相信直觀和構(gòu)造性的證明；以Hilbert為首的形式派主張邏輯必須和數(shù)學(xué)同時加以研究，數(shù)學(xué)本身就是一堆形式系統(tǒng)，數(shù)學(xué)中研究的對象就是符號本身，符號就是本質(zhì)，它們并不代表理想的物理對象。這些學(xué)派對無窮的看法是不同的，公理化學(xué)派承認(rèn)無窮集合的存在，并且提出了著名的引起廣泛爭議的選擇公理。不久，哥德爾的不完全性定理產(chǎn)生了新的實(shí)質(zhì)性進(jìn)展，此定理的一個含義是不僅數(shù)學(xué)的全部，甚至是任何一個有意義的分支也不能用一個公理系統(tǒng)概括起來，因?yàn)槿?/p>