2021-2022學(xué)年河北省張家口市張?jiān)?lián)盟高一年級(jí)下冊學(xué)期第三次階段數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年河北省張家口市張?jiān)?lián)盟高一下學(xué)期第三次階段數(shù)學(xué)試題一、單選題1設(shè)復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）ABCDD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，求出復(fù)數(shù)，即可得到其坐標(biāo).【詳解】，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為.故選：D.2已知、是不重合的直線，、是不重合的平面，對(duì)于下列命題若，則且，則且，則若、是異面直線，且，則其中真命題的序號(hào)是（）ABCDB【分析】根據(jù)空間中線線、線面位置關(guān)系的性質(zhì)定理與判定定理一一判斷即可.【詳解】解：對(duì)于若，則與可能平行也可能異面，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，且，則或，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，且，則由線面垂直的判定定理得，故正確；對(duì)于，若、是異面直線，且，如圖

2、，因?yàn)?，所以存在直線，且滿足，又，所以同理存在直線，且滿足，又，所以，因?yàn)椤⑹钱惷嬷本€，所以與相交，設(shè)，又，所以，故正確.故選：B3如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中與所成角的大小為（）ABCDC【分析】根據(jù)正方體各面的展開圖，畫出正方體的直觀圖.根據(jù)直觀圖中直線和的位置關(guān)系，在正方體中，利用異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)可以求解.【詳解】根據(jù)正方體的展開圖可得該正方體的直觀圖如圖所示，連接圖中的、可知在正方體中有.所以異面直線和所成的角為或其補(bǔ)角.又因?yàn)樵谡襟w中有，所以三角形為等邊三角形，所以.所以與所成的角為.故應(yīng)選：C.4已知菱形邊長為，對(duì)角線與交于點(diǎn)，將菱形沿對(duì)角線折成平面角為的

3、二面角，若，則折后點(diǎn)到直線距離的最大值為（）ABCDB【分析】判斷出二面角的平面角，求得折后到直線距離的表達(dá)式，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】由于四邊形是菱形，所以，由二面角的定義知，下面在中解決點(diǎn)到直線的距離的最值，因?yàn)榱庑蔚倪呴L為，所以，點(diǎn)到的距離，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.故選：B5如圖，圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，若一只螞蟻從圓錐的點(diǎn)出發(fā)，沿表面爬到的中點(diǎn)處，則其爬行的最短路線長為，則圓錐的底面圓的半徑為（）ABCDA【分析】把半個(gè)圓錐沿著直線展開，得到扇形，根據(jù)題意，計(jì)算扇形的弧長，由展開圖和圓錐的關(guān)系，得到圓錐底面圓周長，進(jìn)而計(jì)算底面圓半徑.【詳解】如圖為半圓錐的側(cè)面展開圖，連接，

4、則的長為螞蟻爬行的最短路線長，設(shè)展開圖的扇形的圓心角為，根據(jù)題意得，在中，所以，所以扇形弧長為，所以圓錐底面圓的周長為，即，得.故選：A6如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，則球圓錐圓柱的體積之比為（）ABCDB【分析】根據(jù)圓柱、圓錐及球的體積公式求解即可.【詳解】解：，球圓錐圓柱的體積之比為.故選:B.7如圖所示，矩形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，則原圖形是（）A面積為的矩形B面積為的矩形C面積為的菱形D面積為的菱形C【分析】根據(jù)題意利用斜二測畫法判斷原圖形的形狀，即可求出其面積.【詳解】，所以，故在原圖中，所以四邊形為菱形(如圖所示)，則面積為.故選

5、：C8已知為銳角，角的終邊過點(diǎn)，則（）AB或CDD【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，結(jié)合兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】由角的終邊過點(diǎn)，得又因?yàn)闉殇J角，所以為鈍角，所以，所以.故選:D.二、多選題9下列命題正確的是（）A平行六面體是四棱柱B不存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體C棱臺(tái)的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)D用一個(gè)平行底面的平面去截圓錐，截下來的圓錐與原圓錐的體積比等于截下來的圓錐的高與原圓錐高的立方比ACD【分析】根據(jù)棱柱、四面體、棱臺(tái)、圓錐的幾何性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】平行六面體符合四棱柱的定義，所以A選項(xiàng)正確.如下圖所示，在正方體內(nèi)，四面體每個(gè)面

6、都是直角三角形，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.根據(jù)棱臺(tái)的定義可知，棱臺(tái)的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)，C選項(xiàng)正確.用一個(gè)平行底面的平面去截圓錐，截下來的圓錐與原圓錐相似，所以截下來的圓錐與原圓錐的體積比等于截下來的圓錐的高與原圓錐高的立方比，D選項(xiàng)正確.故選：ACD10已知向量，若，則以下結(jié)論正確的是（）A時(shí)與同向B時(shí)與同向C時(shí)與反向D時(shí)與反向AD【分析】由共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出或，代入判斷與的方向即可.【詳解】解：，則即或，當(dāng)時(shí)，與的方向相同，故A成立；當(dāng)時(shí)，與的方向相反，故D成立.故選:AD.11已知在三棱錐中，平面平面為等腰直角三角形，且腰，為平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，滿足平面，下列說法中正確的是（）APC與平面所

7、成角正弦值的范圍為B與平面所成角正弦值的范圍為C在內(nèi)的軌跡長度為1D在內(nèi)的軌跡長度為2AC【分析】連接，過作 ，連結(jié)，可證為與平面所成角的平面角，求出的范圍后可求正弦值的范圍，從而可判斷AB的正誤. 取分別為的中點(diǎn)，可證線段為在三角形內(nèi)的軌跡，求出其長度后可判斷CD的正誤.【詳解】連接， 為等腰直角三角形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，則平面，而平面，故.又為等腰直角三角形且可得，因?yàn)?，所以，所以，過作，連結(jié)，因?yàn)槠矫?，平面平面，平面平面，故平面，故為與平面所成角的平面角，而，其中，故，故A正確，B錯(cuò)誤；取分別為的中點(diǎn)，連接，則，而平面，平面，故平面，同理平面，但平面，故平面平面，當(dāng)時(shí)

8、，則有平面，故平面，則線段為在三角形內(nèi)的軌跡，長度為.故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.12如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（）A直線/平面B平面/平面C平面平面D與不垂直ABC【分析】A選項(xiàng)，連接，利用中位線可得出/，從而得到線面平行；B選項(xiàng)，根據(jù)面面平行的判定并結(jié)合A選項(xiàng)，只需要再證一次線面平行即可；C選項(xiàng)，根據(jù)B選項(xiàng)的結(jié)論容易得出；D選項(xiàng)，通過證明平面得出矛盾.【詳解】如圖，連接分別是的中點(diǎn)，/，又平面平面，直線/平面，所以A正確；連接，分別是的中點(diǎn)，/. 又平面平面，/平面，又/平面，且平面平面，平面/平面，故B正確；在正方體中顯然側(cè)棱底面，又平面，故平面平面，

9、根據(jù)B選項(xiàng)：平面/平面，故平面平面，C選項(xiàng)正確；所以平面平面，故C正確；，所以平面，平面，故，故D錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題13已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，的外接圓的半徑為4，則_.【分析】根據(jù)題中條件，由正弦定理，先求出角；再由（為三角形外接圓半徑），即可求出結(jié)果.【詳解】在中，因?yàn)?，所以，則，所以，由于，可得，所以，因?yàn)?，所以，再由，解?故14已知正四棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為_.【分析】作平面，由正四棱錐的對(duì)稱性，球心在上，在，結(jié)合勾股定理和長度關(guān)系，求解即可【詳解】作平面，由正四棱錐的對(duì)稱性，球心在上，連接由正四棱錐的對(duì)稱性可知交于點(diǎn)，底面為正方形，所以，在Rt

10、中，又，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以.故15如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)，則_.（答案不唯一）【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得正確答案.【詳解】設(shè)小正方形的邊長為，如圖，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，所以，所以.故（答案不唯一）16已知正方體的棱長為分別為的中點(diǎn)，則平面將正方體分成體積大小不等的兩部分，則較小部分的體積為_.【分析】由題設(shè)知與延長交于一點(diǎn)，判斷為三棱臺(tái)，應(yīng)用棱臺(tái)、棱柱體積公式求兩部分體積，比較大小即可得答案.【詳解】因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以且，又且，所以，且，所以與延長交于一點(diǎn)，面面面面，所以幾何體為三棱臺(tái)，因?yàn)槔忾L為4，所以，三棱臺(tái)的高為4，則而另一部分的體積，

11、故較小的體積為.故四、解答題17已知向量.(1)若，求的值；(2)求的最大值及取得最大值時(shí)角的余弦值.(1)(2)最大值，【分析】（1）利用向量得到，對(duì)所求的式子進(jìn)行弦化切代入可得答案；（2）由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和輔助角公式化簡可得，再根據(jù)三角函數(shù)的有界性可得最大值及.【詳解】(1)因?yàn)橄蛄浚?，所以，?2)，其中，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，即時(shí)，取得最大值.18如圖，三棱柱中，平面平面.(1)在線段上尋找一點(diǎn)，使平面，并給出證明；(2)若，求A到平面的距離.(1)是的中點(diǎn)，證明見解析(2)【分析】(1)取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，由中位線可得，即可得平面；(2)由余弦定理可得,從而可得,進(jìn)而得平面

12、，利用等體積法即，即可求A到平面.【詳解】(1)解：是的中點(diǎn)時(shí)平面.證明：連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面.(2)解：，又平面平面，平面平面，BC在平面ABC中，平面.設(shè)A到平面的距離為，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，即，解?19已知復(fù)數(shù)(1)求復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)；(2)若復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(1)(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)除法的法則及共軛復(fù)數(shù)的定義即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及復(fù)數(shù)除法法則，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的魔公式即可求解.【詳解】(1)，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.(2)由（1），所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，它在第三象限，則

13、，解得 解得或，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.20如圖，棱柱，底面ABCD是平行四邊形，側(cè)棱底面，過的截面與側(cè)面交于；且點(diǎn)在棱上，點(diǎn)在棱上，且(1)求證：(2)若為的中點(diǎn)，與平面所成的角為，求側(cè)棱的長.(1)證明見解析(2)【分析】（1）由面，利用線面平行的性質(zhì)定理，可得證；（2）連接，分析可得為與平面所成的角，則，求解即可.【詳解】(1)在棱柱中，面面，面面，由線面平行的性質(zhì)定理有，又，故.(2)證明：在底面中，.又因?yàn)閭?cè)棱底面，則底面面又面連接，則為與平面所成的角為，因?yàn)?，所以，在中，解得，?1已知.(1)求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象，求的對(duì)稱軸.(1)最小正周期為，(2)【分析】（1）根據(jù)二倍角公式結(jié)合輔助角公式化簡可得，進(jìn)而求得周期，并代入單調(diào)遞減區(qū)間求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象平移的性質(zhì)可得，再代入正弦函數(shù)的對(duì)稱軸方程求解即可.【詳解】(1)，所以的最小正周期為.由，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象，所以所以函數(shù)的對(duì)稱軸為，解得22已知梯形中，分別是的點(diǎn)，沿將梯形翻折，使平面（如圖）.(1)證明：平面平面；(2)求二面角的正切值.(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)折疊