2023屆新教材新高考一輪復習北師大版 4.3 導數(shù)與函數(shù)的極值、最值 學案

1、第三節(jié)導數(shù)與函數(shù)的極值、最值課程標準考情分析 核心素養(yǎng) 1.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件2會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)3會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)2021()中的第15題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值直觀想象邏輯推理數(shù)學運算教材回扣夯實“四基”基礎(chǔ)知識1.函數(shù)的極值與導數(shù)條件f(x0)0 x0附近的左側(cè)f(x)_0，右側(cè)f(x)_0 x0附近的左側(cè)f(x)_0，右側(cè)f(x)_0圖象形如山峰形如山谷極值f(x0)為極_值f(x0)為極_值極值點x0為極_值點x0為極_值點【微點撥】(1)f(x0)0與x0是f(x)

2、極值點的關(guān)系函數(shù)f(x)可導，則f(x0)0是x0為f(x)的極值點的必要不充分條件例如，f(x)x3，f(0)0，但x0不是極值點(2)極大值(或極小值)可能不止一個，可能沒有，極大值不一定大于極小值(3)函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點2函數(shù)的最值與導數(shù)(1)函數(shù)f(x)在a，b上有最值的條件一般地，如果在區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條_的曲線，那么它必有最大值和最小值(2)求函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的最大值與最小值的步驟求函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上的_；將函數(shù)yf(x)的各極值與_比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值【微點撥】(1)求

3、函數(shù)的最值時，應注意極值點和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時，需要分類討論，不可想當然認為極值就是最值(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則f(x)一定在區(qū)間端點處取得最值；若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極值點，則相應的極值點一定是函數(shù)的最值點(3)函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關(guān)系常用結(jié)論導數(shù)研究不等式的關(guān)鍵是函數(shù)的單調(diào)性和最值，各類不等式與函數(shù)最值的關(guān)系如下：不等式類型與最值的關(guān)系xD，f(x)MxD，f(x)minMxD，f(x)MxD，f(x)maxMxD，f(x)maxMx0D，f(x0)MxD，f(x)ming(

4、x)xD，f(x)g(x)min0 xD，f(x)g(x)xD，f(x)g(x)maxg(x2)x1D1，x2D2，f(x1)ming(x2)maxx1D1，x2D2，f(x1)g(x2)x1D1，x2D2，f(x1)ming(x2)minx1D1，x2D2，f(x1)g(x2)x1D1，x2D2，f(x1)maxg(x2)maxx1D1，x2D2，f(x1)g(x2)x1D1，x2D2，f(x1)maxg(x2)min(注：上述的大于、小于分別改為不小于、不大于，相應的與最值關(guān)系對應的不等號也改變)基本技能、思想、活動經(jīng)驗題組一思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)1.函數(shù)的極大值不一定比極

5、小值大()2對可導函數(shù)f(x)，f(x0)0是x0點為極值點的充要條件()3函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值()4開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值()題組二教材改編5函數(shù)f(x)的定義域為R，導函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)()A無極大值點，有四個極小值點B有三個極大值點、一個極小值點C有兩個極大值點、兩個極小值點D有四個極大值點、無極小值點6函數(shù)f(x)ln xx在區(qū)間(0，e上的最大值為()A1e B1Ce D0題組三易錯自糾7函數(shù)f(x)m2x32mx2x在x13處取得極大值，則實數(shù)m的值為()A1或3 B3C1 D08若函數(shù)f(x)13x34xm在0，3上的最大值為4，則m_題型

6、突破提高“四能”題型一用導數(shù)解決函數(shù)的極值問題角度1 由圖象判斷函數(shù)的極值 例1(多選)2022湖北孝感模擬已知函數(shù)yf(x)的導函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是()Af(x)在x4時取極小值Bf(x)在x2時取極大值Cx1.5是f(x)極小值點Dx3是f(x)極小值點聽課記錄類題通法根據(jù)函數(shù)的圖象判斷極值的方法根據(jù)已知條件，分情況確定導數(shù)為0的點，及導數(shù)為0點處左右兩側(cè)導數(shù)的正負，從而確定極值類型鞏固訓練12022浙江臺州月考已知函數(shù)yf(x)的導函數(shù)yf(x)的圖象如圖，則()A函數(shù)f(x)有2個極大值點，2個極小值點B函數(shù)f(x)有1個極大值點，1個極小值點C函數(shù)f(x)有

7、3個極大值點，1個極小值點D函數(shù)f(x)有1個極大值點，3個極小值點角度2 已知函數(shù)解析式求極值例2已知函數(shù)f(x)ln xax(aR)(1)當a12時，求f(x)的極值；(2)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點的個數(shù)聽課記錄類題通法求函數(shù)極值的一般步驟鞏固訓練2已知函數(shù)f(x)a ln xbx2x在x1處的切線方程6xy20.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的極小值角度3 已知函數(shù)的極值求參數(shù)例32022廣東實驗中學月考函數(shù)f(x)13x3ax22x1在x(1，2)內(nèi)存在極值點，則實數(shù)a的取值范圍是_聽課記錄類題通法已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的方法根據(jù)極值點處的導數(shù)等于零、極值點處的函數(shù)值

8、即極值列出關(guān)于參數(shù)的方程組(或不等式組)，通過解方程組(或不等式組)求得參數(shù)的值(或取值范圍)鞏固訓練32022福建寧德模擬設(shè)f(x)(x1a)ex12x2ax，若f(x)在x0處取得極小值，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，0 B(0，)C(，0) D0，)題型二用導數(shù)解決函數(shù)的最值問題 例42021北京卷已知函數(shù)f(x)3-2xx2+a.(1)若a0，求yf(x)在(1，f(1)處切線方程；(2)若函數(shù)f(x)在x1處取得極值，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值聽課記錄類題通法求函數(shù)f(x)在a，b上的最大值和最小值的步驟鞏固訓練4已知函數(shù)f(x)13x312x22ax1，且x1是函數(shù)f

9、(x)的一個極大值點(1)求實數(shù)a的值；(2)求f(x)在1，3上的最大值和最小值題型三用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題 例52022河北石家莊一中月考某工廠某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為1 000 x噸，其中x20，100，需要投入的成本為C(x)(單位：萬元)，當x20，80時，C(x)12x230 x500；當x(80，100時，C(x)20 000 x.若每噸商品售價為lnxx萬元，通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完(1)寫出年利潤L(x)(單位：萬元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)年產(chǎn)量為多少噸時，該廠所獲利潤最大？聽課記錄類題通法用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的兩點提醒(1)理清數(shù)量關(guān)系，選取合適的自變

10、量建立函數(shù)模型(2)最后要把求解的數(shù)量結(jié)果“翻譯”為實際問題的答案鞏固訓練5某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000元(為圓周率)(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)求r和h為何值時該蓄水池的體積最大第三節(jié)導數(shù)與函數(shù)的極值、最值教材回扣夯實“四基”基礎(chǔ)知識1大小大小2(1)連續(xù)不斷(2)極值端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)基本技能、思想、活動經(jīng)驗12.3.4.5解析：由題圖可知極大值點

11、有兩個，極小值點有兩個，故選C.答案：C6解析：因為f(x)1x11-xx，當x(0，1)時，f(x)0；當x(1，e時，f(x)0，解得：x1或x13；令f(x)0，解得：13x0，解得：x13或x19，令f(x)0，解得：19x13，故f(x)在-，19上遞增，在19，13上遞減，在13，+上遞增，故x13是極小值點，不符合題意綜上所述：m1.故選C.答案：C8解析：f(x)x24(x2)(x2)，令f(x)0得x2或x2.0 x3，x2，當0 x2時，f(x)0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，2)上單調(diào)遞減；當2x0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，3)上單調(diào)遞增又f(0)m，f(3)m3，mm3，x

12、0時，f(x)在0，3上取得最大值f(0)m.m4.答案：4題型突破提高“四能”例1解析：由導函數(shù)f(x)的圖象可得，當x4時，其左邊的導數(shù)小于零，右邊的導數(shù)大于零，所以f(x)在x4時取極小值，所以A正確，當x1.5時，其左邊的導數(shù)小于零，右邊的導數(shù)大于零，所以x1.5是f(x)極小值點，所以C正確，而x2和x3，左右兩邊的導數(shù)值同號，所以x2和x3不是函數(shù)的極值點，所以BD錯誤，故選AC.答案：AC鞏固訓練1解析：由yf(x)的圖象可知，當x0，所以yf(x)單調(diào)遞增，當x2xx3時，yf(x)0，所以yf(x)單調(diào)遞增，所以yf(x)在xx2時為極大值，在xx3時為極小值故選B.答案：B

13、例2解析：(1)當a12時，f (x)ln x12x，定義域為(0，)，且f (x)1x-122-x2x.令f (x)0，解得x2.于是當x變化時，f (x)，f (x)的變化情況如下表x(0，2)2(2，)f(x)0f(x)ln 21故f (x)在定義域上的極大值為f (2)ln 21，無極小值 (2)由(1)知，函數(shù)的定義域為(0，)，f (x)1xa1-axx.當a0時，f (x)0在(0，)上恒成立，即函數(shù)f (x)在(0，)上單調(diào)遞增，此時函數(shù)f (x)在定義域上無極值點；當a0，x0，1a時，f (x)0，x1a，+時，f (x)0時，函數(shù)f (x)有一個極大值點，且為x1a.鞏固

14、訓練2解析：(1)f(x)ax2bx1，由已知可得f1=a+2b+1=6f1=b+1=4，解得a=-1b=3.(2)由(1)可得f(x)ln x3x2x，f(x)1x6x13x-12x+1x(x0)，令f(x)0，解得x13；令f(x)0，解得0 x13，f(x)在0，13單調(diào)遞減，在13，+單調(diào)遞增，當x13時，f(x)的極小值為23ln 3.例3解析：若函數(shù)f(x)在x(1，2)內(nèi)存在極值點，則f(x)x22ax2在(1，2)內(nèi)有變號零點，即2ax2x在(1，2)上有解，設(shè)g(x)x2x，x(1，2)，則g(x)12x20，則g(x)在(1，2)上是增函數(shù)，g(1)1，g(2)1，g(x)

15、(1，1)，2a(1，1)，a-12，12.答案：-12，12鞏固訓練3解析：f(x)(x1a)ex12x2ax，f(x)ex(x1a)exxa(ex1)(xa)由f(x)0得，x0或xa，f(x)在x0處取得極小值，由極小值的定義可知a0.故選C.答案：C例4解析：(1)當a0時，f(x)3-2xx2，則f(x)2x-3x3，f(1)1，f(1)4，此時，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為y14(x1)，即4xy50. (2)因為f(x)3-2xx2+a，則f(x)-2x2+a-2x3-2xx2+a22x2-3x-ax2+a2，由題意可得f(1)24-aa+120，解得a4，故f

16、(x)3-2xx2+4，f(x)2x+1x-4x2+42，列表如下：所以，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(，1)，(4，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，4)當x0；當x32時，f(x)0.所以，f(x)maxf(1)1，f(x)minf(4)14.鞏固訓練4解析：(1)f(x)x2x2a.x1是函數(shù)f(x)的一個極大值點f(1)112a0.得a1，經(jīng)檢驗，當a1時，x1是函數(shù)f(x)的一個極大值點a1. (2)由(1)知，f(x)13x312x22x1，f(x)x2x20，得x1或x2.則當1x2時，f(x)0，當2x0，所以函數(shù)f(x)在(1，2)上遞減，在(2，3)上遞增，當x2時，f(x)取得最小值，f(2)73.又f(1)136，f(3)12，f(x)的最大值為136.f(x)在1，3上的最大值為136，最小值為73.例5解析：(1)由題意，L(x)1 000ln xC(x)1000lnx-12x2-30 x+500，x20，801000lnx-20 000 x，x（80，100(2)當x20，80時，L(x)x-50 x+20 x，由L(x)0，得20 x50；由L(x)0，得50 x1 7501 0000，當x50，即年產(chǎn)量為50 000噸時，利潤最大，最大利潤為(1 000ln 50250)萬元鞏固訓練5解析：(1)因為蓄水池側(cè)