2010廣州二模數(shù)學(xué)理科試題與答案

1、 2010年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）數(shù) 學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共8 小題，每小題5 分，滿分40 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1 a 11. 已知 i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù) ai為實數(shù)，則實數(shù)a 的值為A12. 已知全集U A B 中有 m 個元素，則 AI BBC1D不確定0 (痧A) ( B)I中有 n 個元素若 A B 非空，UU的元素個數(shù)為 nm nn mDA mnB mC ,向量ba sin x,cos x 1, 3a b的最大值為3. 已知向量,則3C.3D.9A. 1B.,n4. 若 m 是互不相同的空間直線, 是平面, 則下列命題中正確的是

2、/ n,n m /m/ n,n / ,則 m /A. 若 mC. 若 m,則B. 若D. 若/ n,n m m n,n m ,則,則 2 , g x x5. 在如圖 1 所示的算法流程圖, 若 f x3 ,xx 2則 h的值為是否(注:框圖中的賦值符號“=”也可以寫成“ ” 或“：=”)968A.C.B.D.4 h x g xx y 1 0, , y 3 0,6. 已知點 P x的坐標(biāo)滿足x yx 2.O 為坐標(biāo)原點, 則 PO 的最小值為結(jié)束23 22A.C.B.D.圖 12513第 1 頁 共 18 頁 , , f x f x且 xsin x7. 已知函數(shù) f x, 若 x x, 則下列不

3、等式中正確的是2 21212 xx xx x 0 x xD.A. xB.C.21212121228. 一個人以 6 米/秒的勻速度去追趕停在交通燈前的汽車, 當(dāng)他離汽車 25 米時交通燈由紅變綠, 汽車開始作變速直線行駛 (汽車與人的前進(jìn)方向相同 ), 汽車在時刻 的速度為 v tt t米/秒,那么, 此人A. 可在 7 秒內(nèi)追上汽車B. 可在 9 秒內(nèi)追上汽車D. 不能追上汽車, 但其間最近距離為 7 米C. 不能追上汽車, 但其間最近距離為 14 米二、填空題：本大題共 7 小題，考生作答 6 小題，每小題 5 分，滿分 30 分（一）必做題（913 題） cos x cos x 09若函

4、數(shù) f x的最小正周期為 ,則 的值為.23x 2y 4的焦點重合, 則橢圓C 的方10. 已知橢圓C 的離心率e, 且它的焦點與雙曲線 222程為.11甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)廢品數(shù)分別是兩個隨機變量 、 ，其分布列分別為：01230120.4 0.3 0.2 0.1P0.3 0.5 0.2P若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是. 212.圖 2是一個有n 層 n的六邊形點陣.它的中心是一個點,算作第一層, 第 2層每邊有 2個點,第 3層每邊有 3個點 ,第 n 層每邊有n 個點, 則這個點陣的點數(shù)共有個.2n13. 已知 x的展開式中第 5 項的系數(shù)與第 3 項的系數(shù)

5、比為 563,x 2則該展開式中 的系數(shù)為.圖 2x（二）選做題（14 15 題，考生只能從中選做一題）第 2 頁 共 18 頁 x 1 t,14.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知直線l 的參數(shù)方程為(參數(shù)t R ), 4 2t.y2cos 2,x 0,2),圓C 的參數(shù)方程為(參數(shù) 2sin.yD則直線l 被圓C 所截得的弦長為.BCPA15.(幾何證明選講選做題)如圖 3, 半徑為 5 的圓O 的兩條弦AD 和 BC 相交于點 P , OD BC, P為 ADO的中點,BC 6 , 則弦 AD 的長度為.圖3三、解答題：本大題共 6 小題，滿分 80 分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟

6、，16. （本小題滿分 12 分）12tantan 2, tan 已知.4 sin 2sin cos (1) 求 的值; (2) 求的值. 2sin sin cos 17. （本小題滿分 12 分）如圖 4, 在直角梯形中,ABCDABC DAB 90 ,CAB 30 ,BC 1, AD CD,把 DAC 沿對角線 AC 折起后如圖 5 所示(點 D 記為點 P ), 點 P 在平面 ABC 上的正投影E 落在線段 AB 上, 連接 PB .(1) 求直線 PC 與平面 PAB 所成的角的大小; AC B(2) 求二面角 P的大小的余弦值.PDCACEBBA圖 4圖 5第 3 頁 共 18 頁

7、 18.（本小題滿分 14 分）一射擊運動員進(jìn)行飛碟射擊訓(xùn)練, 每一次射擊命中飛碟的概率 p 與運動員離飛碟的距離 s (米) 15 t 1 0 t 4成反比, 每一個飛碟飛出后離運動員的距離 s (米)與飛行時間 (秒)滿足 s,t每個飛碟允許該運動員射擊兩次 (若第一次射擊命中,則不再進(jìn)行第二次射擊).該運動員在每一個4飛碟飛出0.5 秒時進(jìn)行第一次射擊, 命中的概率為 , 當(dāng)?shù)谝淮紊鋼魶]有命中飛碟, 則在第一次射5擊后 0.5 秒進(jìn)行第二次射擊,子彈的飛行時間忽略不計.(1) 在第一個飛碟的射擊訓(xùn)練時, 若該運動員第一次射擊沒有命中, 求他第二次射擊命中飛碟的概率;(2) 求第一個飛碟被

8、該運動員命中的概率;(3) 若該運動員進(jìn)行三個飛碟的射擊訓(xùn)練(每個飛碟是否被命中互不影響), 求他至少命中兩個飛碟的概率. 2py 0的焦點為 F , A 、 B 是拋物線C 上異于坐標(biāo)原點O 的19.已知拋物線C : xp2 l l l不同兩點，拋物線C 在點 A 、 B 處的切線分別為l 、l ，且l， 與 相交于點 D .121212(1) 求點 D 的縱坐標(biāo)；(2) 證明： A 、 B 、 F 三點共線；32,1(3) 假設(shè)點 D 的坐標(biāo)為，問是否存在經(jīng)過 A 、 B 兩點且與l 、l 都相切的圓，12若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由. 已知函數(shù) f x x x ax b

9、a,b 1.方程 ax2 x b 0的20.32(R)的一個極值點為 x , 兩個實根為 , 函數(shù) f x 在區(qū)間上是單調(diào)的.(1) 求 a 的值和 的取值范圍;b f x f x 1., x ,(2) 若 x, 證明:1212 ab b *a b 1,n121.已知數(shù)列 a 和 b 滿足 a,且對任意n N 都有.n1 a211nnannnn (1) 求數(shù)列 a 和 b 的通項公式;nna a aab a a aab ln 1 n (2) 證明:.23b b b4n112b b b3n234n1123n第 4 頁 共 18 頁 2010 年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）數(shù)學(xué)（理科）試題參

10、考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：1參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)2對解答題中的計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算共 8 小題，每小題 5 分，滿分 40

11、分題號答案12345678ACCCBBDD二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算本大題共7 小題，考生作答 6 小題，每小題5 分，滿分 30 分其中 1415 題是選做題，考生只能選做一題x2y2 18 23n2 3n 1911410.15.11. 乙12.13. 1808 552 5三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.16（本小題滿分 12 分）(本小題主要考查兩角和與差的三角公式等知識 , 考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法和運算求解能力)tan 2（1）解法 1：，4tan tan4 2.2 分4 分1 tan tan41 tan 2.1 t

12、an1tan 解得.3tan 2解法 2：，4第 5 頁 共 18 頁 tan tan 44tan tan442 分1 tan tan442 11 211.34 分6 分 sin 2sin cos sin cos cos sin 2sin cos （2）解: 2sin sin cos 2sin sin cos cos sin sin cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin 8 分 tan tan tan10 分1 tan tan1 12 31 11 2 31.12 分717. （本小題滿分 12 分）(本小題主要考查空間線面關(guān)系、空間角等知識, 考查數(shù)形

13、結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力)方法一:(1) 解:在圖 4 中,ABC DAB 90 ,CAB 30 , BC 1,第 6 頁 共 18 頁 BC1BC112 3 2 DAC 60 AB AD, AC,.tan 303sin303 CD, DAC 為等邊三角形. CD AC 2 AD.2 分D在圖 5 中,點 E 為點 P 在平面 ABC 上的正投影, PE 平面ABCABCC. BC 平面, BC PE.BACBA 90,圖 4 AB BC PE. AB E, PE PAB AB PAB平面,平面, BC 平面PAB.（數(shù)學(xué)驛站 ）PCPBPC

14、PAB為直線與平面所成的角.4 分1,PC DC 2在 RtCBP 中, BC,BC 1sin CPB .PC 2AC0 CPB 90F,CPB 30.EB直線 PC 與平面 PAB 所成的角為30(2) 解:取 AC 的中點 F , 連接 PF , EF .6 分圖 5 PC PA PF, AC. PE 平面ABC AC ABC,平面, AC PE PF. PE P, PF PEF PE PEF平面,平面,第 7 頁 共 18 頁 AC 平面PEFPEF., EF 平面 AC EF.PFEP AC B為二面角的平面角.8 分1 AC 1,FAE 30在 Rt EFA 中, AF,232 33

15、 AF tan30 AE EF AF EF,22.3 PA AF 2 1 3.在 Rt PFA 中, PF22223EFPF31在 Rt PEF 中，cosPFE .331 AC B二面角 P方法二:解:在圖 4 中,的大小的余弦值為 .12 分3ABC DAB 90 ,CAB 30 , BC 1,BC1BC112 3 2 DAC 60 AB, AC,.tan 303sin303 CD AD, DAC 為等邊三角形. CD AC 2 AD.2 分D在圖 5 中, （數(shù)學(xué)驛站 ）點 E 為點 P 在平面 ABC 上的射影,C PE 平面ABCABC. BC 平面, BC PE.BACBA 90,

16、圖 4 AB BC.第 8 頁 共 18 頁 AB E, PE PAB AB PE平面,平面 PAB , BC 平面PAB .4 分z連接 EC ,P PC 2,PE PE在 Rt PEA 和 Rt PEC 中, PAPEC,Rt PEA Rt. EC EA.yECA EAC 30.CACEB 60.EBC13B在 RtCBE 中， EB.xtan 603 3圖52 33 AB EB AE.2 6 PA AE 在 Rt PEA 中， PE22.6 分3以點 E 為原點, EB 所在直線為 軸,與 BC 平行的直線為 y 軸, EP 所在直線為 z 軸,建立空x 32 333 E 0,0,0 x

17、yz,0,0,0,0,1,0間直角坐標(biāo)系 E,則, A, B ,C , 33 2 63P0,0,. 2 632 63 0,1,0 0,0,AC 3,1,0,1, BC, EP , PC .33 BCPC 1cos BC, PC (1) ,2BC PC , PC 30 BC. 直線 PC 與平面 PAB 所成的角為30.9 分 x, y, z(2) 設(shè)平面 PAC 的法向量為 n,第 9 頁 共 18 頁 3x y 0,0,nAC 由 得32 6 0.x y nPCz 0. 332.令 x1, 得 y 3 z ,22 1, 3, PACn 為平面的一個法向量.的一個法向量,2 2 63 0,0,

18、ABC EP 為平面nEP, EP cos n1 .3n EP AC B AC B二面角 P二面角 P的平面角為銳角,的平面角的余弦值為 .112 分318. （本小題滿分 14 分）(本小題主要考查古典概型、二項分布等知識, 考查或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力和應(yīng)用意識)k (ks s 15 t 1 0 t 4)(1)解:依題意設(shè) p為常數(shù) ,由于,k 0 t 4 p.2 分 15 t 144k當(dāng)t 0.5 時, p, 則,解得k 18. 1 55 15 0.5 11860 t 4. p4 分6 分 15 t 1 5 t 1631時, p.當(dāng)t2 5 2 53該運動

19、員第二次射擊命中飛碟的概率為 .5(2) 解:設(shè)“該運動員第一次射擊命中飛碟”為事件 A ，“該運動員第二次射擊命中飛碟”為事 AB件 B ，則“第一個飛碟被該運動員命中”為事件：A.7 分435 P A , P B ，5第 10 頁 共 18 頁 AB P A P A P B P A44 3 23 1 .55 5 252325第一個飛碟被該運動員命中的概率為.10 分23253,(3) 解:設(shè)該運動員進(jìn)行三個飛碟的射擊訓(xùn)練時命中飛碟的個數(shù)為 , 則 B. 2 3 P P 至少命中兩個飛碟的概率為P12 分 p 1 pp 3C 22+ C 33323223 23 3 25 25 25 1534

20、1.14 分1562519. （本小題滿分 14 分）(本小題主要考查直線、圓、拋物線、曲線的切線等知識, 考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力) , yx , y(1) 解:設(shè)點 A 、 B 的坐標(biāo)分別為 x、，1122 l 、l 分別是拋物線 在點 A 、 B 處的切線，C12xx yk y2直線l 的斜率 k1，直線l 的斜率.211xx1p2xx2p l l,（數(shù)學(xué)驛站 ）12 k k 1, 得 x x p2 .2 分1 212 A 、 B 是拋物線 上的點,Cxx212p2 , y . y22p12xx xx x x.22122x xy

21、直線l 的方程為 y,直線l 的方程為12p p2p p1122第 11 頁 共 18 頁 x21x x xy y x x ,21x 12p p12由 解得pxx x x ,222y .22p p2p點 D 的縱坐標(biāo)為.4 分2 p 0,(2) 證法 1： F 為拋物線C 的焦點， F.2xp21py 2p 22x21p21AF 的斜率為k AF 直線，x 0 x12px11xp22py2p 22x22p22直線 BF 的斜率為k.x 0 x22pxBF22x p x p212px2222 k BF k6 分2pxAF12 x x p x x p212222212px x1 2 x x x x

22、 p x x21 212122px x12 p x x p x x2212122px x1 2 0. k k.AFBF A 、 B 、 F 三點共線.8 分 p 0,證法 2： F 為拋物線C 的焦點， F.2 p x p x21221 x , x , AF ， 2 2p2p1 1 .p xp x22222BF x , x ,2 2p2p22 第 12 頁 共 18 頁 p x2212pp xx x xx221222122,16 分1 2p x xx x x222p2x21 22p / BF AF. A 、 B 、 F 三點共線.8 分 x x y y ,證法 3：設(shè)線段 AB 的中點為 E

23、, 則 E 的坐標(biāo)為.12122p: y 拋物線 的準(zhǔn)線為l.Cy2 l, BB lA , B作 AA, 垂足分別為.1111BEF x xp A, 由(1)知點 D 的坐標(biāo)為,1222Ox ll DE.D DE 是直角梯形 AA B B 的中位線.111 2.AA BB DE6 分11 AF , BB BF根據(jù)拋物線的定義得: AA,111 1 AA BB AF BF. DE AD2211 DB EAB, 為線段的中點,12AB . DE1 AB1 2AF BFAB AF BF,即.2 A 、 B 、 F 三點共線.(3)解: 不存在. 證明如下：8 分假設(shè)存在符合題意的圓，設(shè)該圓的圓心為M

24、 ， AD,MB BD，且 MA MB ，依題意得 MA lAD BD.由l，得12 四邊形 MADB 是正方形.第 13 頁 共 18 頁 BD AD.10 分32,1點 D 的坐標(biāo)為，p 1 2.,得 p232xx 321,1l1 x把點 D的坐標(biāo)代入直線 , 得14 2 211 4 x 1,解得 x或1114 4,41,點 A 的坐標(biāo)為或.14 4,41,同理可求得點 B 的坐標(biāo)為或.1 B 4,4由于 A 、 B 是拋物線 上的不同兩點，不妨令 A,.C1,432112516321254222 AD 1 1 , BD 4 4 12. 13 分 4 BDAD BD矛盾. AD, 這與經(jīng)過

25、 A 、 B 兩點且與l 、l 都相切的圓不存在.14 分1220. （本小題滿分 14 分）(本小題主要考查函數(shù)和方程、函數(shù)導(dǎo)數(shù)、不等式等知識, 考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運算求解能力) (1) 解: f x x x ax b32, x 3x 2x a. f2 f x x x ax b1,32的一個極值點為 x 1 31 21 a 0 f.2 a 1.2 分 x 3x 2x 1 3x 1 x 1, f2第 14 頁 共 18 頁 131 f x 0 x 1f x 0 1時, f x 0當(dāng) x時,;當(dāng)時,;當(dāng) x;311 , ,11,上單調(diào)遞減,

26、在 上單調(diào)遞增.函數(shù) f x 在上單調(diào)遞增, 在33 , x b 0的兩個實根為,x x b 0的兩根為方程ax2, 即2,1 1 4b1 1 4b,.22 1, b 1 4b ,.4 分 , 函數(shù) f x 在區(qū)間上是單調(diào)的,113 ,1 1, 區(qū)間只能是區(qū)間,之一的子區(qū)間. 3 13 , 1, ,1 由于,故. 0,則 1 1 ,與矛盾.若 ,0,1. 0,1 x b 0的兩根,方程 x2都在區(qū)間上.6 分1 令 g x x x b g xx 0,12,的對稱軸為,2 1 b 0,g 0 b 0,1 b 0.則 g解得4 1 4b 0.1實數(shù) 的取值范圍為.8 分b ,04說明:6 分至 8

27、 分的得分點也可以用下面的方法.1 1 4b 1 1 1 4b 1 且函數(shù) f x,在區(qū)間 上是單調(diào)的,222213 ,1. 第 15 頁 共 18 頁 1 1 4b1 ,313,21 1 4b2 由 1, 1,即 6 分 1 4b 0.1 4b 0.1 b 0解得.41實數(shù) 的取值范圍為.8 分b ,04(2)證明:由(1)可知函數(shù) f x 在區(qū)間 ,上單調(diào)遞減, ,函數(shù) f x 在區(qū)間上的最大值為 f, 最小值為 f. , x , x,12 f f x f f x12 b3 2 b 32 3322 2 1 1 4b b 1 1 4b 1 b.10 分 11 t , t t3 .1 1 4b 1 b 5 1 4b令t, 則b244 11 設(shè) h t h t 5 3t2 . 5t t3 , 則 441 b 0,40 t 1. 1 t 5 3t 0 h.24 1 函數(shù)h t0,1上單調(diào)遞增. 5t t3 在12 分4 h 1 1 h t.第 16 頁 共 18 頁 f x 1 f x.14 分1221. （本小題滿分 14 分）(本小題主要考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、數(shù)列、不等式等知識, 考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識)ab * 1,n1(1)解:對任意