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文檔簡介

1、試卷第 =page 23 23頁,共 =sectionpages 23 23頁試卷第 =page 22 22頁,共 =sectionpages 23 23頁含解析高中數(shù)學(xué)平面向量專題訓(xùn)練30題(精)1已知向量(1)若,求x的值;(2)記,求函數(shù)yf(x)的最大值和最小值及對應(yīng)的x的值【答案】(1)(2)時,取到最大值3; 時,取到最小值.【解析】【分析】(1)根據(jù),利用向量平行的充要條件建立等式,即可求x的值(2)根據(jù)求解求函數(shù)yf(x)解析式,化簡,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解最大值和最小值及對應(yīng)的x的值【詳解】解:(1)向量由,可得:,即,x0,(2)由x0,當(dāng)時,即x0時f(x)max3;

2、當(dāng),即時【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)用以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵2已知中,點(diǎn)在線段上,且,延長到,使設(shè)(1)用表示向量;(2)若向量與共線,求的值【答案】(1),;(2)【解析】【分析】(1)由向量的線性運(yùn)算,即可得出結(jié)果;(2)先由(1)得,再由與共線,設(shè),列出方程組求解即可.【詳解】解:(1)為BC的中點(diǎn),可得,而(2)由(1)得,與共線,設(shè)即,根據(jù)平面向量基本定理,得解之得,【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的線性運(yùn)算,以及平面向量的基本定理,熟記定理即可,屬于??碱}型.3(1)已知平面向量、,其中,若,且,求向量的坐標(biāo)表示;(2)已知平面向量、滿

3、足,與的夾角為,且(+)(),求的值.【答案】(1)或;(2)【解析】【分析】(1)設(shè),根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)、的方程組,可求得這兩個未知數(shù)的值,由此可得出平面向量的坐標(biāo);(2)利用向量數(shù)量積為零表示向量垂直,化簡并代入求值,可解得的值【詳解】(1)設(shè),由,可得,由題意可得,解得或.因此,或;(2),化簡得,即,解得4已知向量,向量.(1)求向量的坐標(biāo); (2)當(dāng)為何值時,向量與向量共線.【答案】(1)(2)【解析】【詳解】試題分析:(1)根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算公式計算;(2)求出的坐標(biāo),根據(jù)向量共線與坐標(biāo)的關(guān)系列方程解出k;試題解析:(1)(2),與共線,5已知向量與的夾角,且,(1)求,;(2)

4、求與的夾角的余弦值【答案】(1),;(2).【解析】【分析】(1)利用平面向量數(shù)量積的定義可計算得出的值,利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)計算得出的值;(2)計算出的值,利用平面向量夾角的余弦公式可求得與的夾角的余弦值【詳解】(1)由已知,得,;(2)設(shè)與的夾角為,則,因此,與的夾角的余弦值為.6設(shè)向量,記(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)求函數(shù)在上的值域【答案】(1);(2).【解析】【詳解】分析:(1)利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算式,求得函數(shù)解析式,利用整體角的思維求得對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;(2)結(jié)合題中所給的自變量的取值范圍,求得整體角的取值范圍,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果.詳解:(1)依題

5、意,得由,解得 故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 (2)由(1)知,當(dāng)時,得,所以,所以,所以在上的值域為點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算式,三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,三角函數(shù)在給定區(qū)間上的值域問題,在解題的過程中一是需要正確使用公式,二是用到整體角思維.7在中,內(nèi)角,的對邊分別是,已知,點(diǎn)是的中點(diǎn).()求的值;()若,求中線的最大值.【答案】(); ().【解析】【分析】(1)由正弦定理,已知條件等式化邊為角,結(jié)合兩角和的正弦公式,可求解;(2)根據(jù)余弦定理求出邊的不等量關(guān)系,再用余弦定理把用表示,即可求解;或用向量關(guān)系把用表示,轉(zhuǎn)化為求的最值.【詳解】()由已知及正弦定理得.又,且,即.()方

6、法一:在中,由余弦定理得,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,.是邊上的中線,在和中,由余弦定理得,.由,得,當(dāng)且僅當(dāng)時,取最大值.方法二:在中,由余弦定理得,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,.是邊上的中線,兩邊平方得,當(dāng)且僅當(dāng)時,取最大值.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理在三角形中應(yīng)用,考查基本不等式和向量的模長公式的靈活運(yùn)用,是一道綜合題.8已知平面向量,.(1)若,求的值;(2)若,與共線,求實(shí)數(shù)m的值.【答案】(1);(2)4.【解析】(1)求出,即可由坐標(biāo)計算出模;(2)求出,再由共線列出式子即可計算.【詳解】(1), 所以;(2), 因為與共線,所以,解得m4.9已知向量()若,求的值;()若,求向量與夾角的大

7、小【答案】();()【解析】【分析】()首先求出的坐標(biāo),再根據(jù),可得,即可求出,再根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計算可得;()首先求出的坐標(biāo),再根據(jù)計算可得;【詳解】解:()因為,所以,由,可得,即,解得,即,所以;()依題意,可得,即,所以,因為,所以與的夾角大小是10如圖,在中,.(1)求的長;(2)求的值【答案】(1);(2).【解析】(1)將用和表示,利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義計算出的值,即可得出的長;(2)將利用和表示,然后利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義計算出的值【詳解】(1),.;(2),.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量模與數(shù)量積的計算,解題的關(guān)鍵就是選擇合適的基底將題中所涉及的向量表示出

8、來,考查計算能力,屬于中等題.11如圖所示,在中,分別為線段,上一點(diǎn),且,和相交于點(diǎn).(1)用向量,表示;(2)假設(shè),用向量,表示并求出的值.【答案】(1);(2),.【解析】【分析】(1)把放在中,利用向量加法的三角形法則即可;(2)把,作為基底,表示出 ,利用求出 .【詳解】解:由題意得,所以,(1)因為,所以.(2)由(1)知,而而因為與不共線,由平面向量基本定理得解得所以,即為所求.【點(diǎn)睛】在幾何圖形中進(jìn)行向量運(yùn)算:(1)構(gòu)造向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則;(2)樹立“基底”意識,利用基向量進(jìn)行線性運(yùn)算.12已知向量與的夾角為,且,.(1)若與共線,求k;(2)求,;(3)求

9、與的夾角的余弦值【答案】(1);(2),;(3).【解析】【分析】(1)利用向量共線定理即可求解.(2)利用向量數(shù)量積的定義:可得數(shù)量積,再將平方可求模.(3)利用向量數(shù)量積即可夾角余弦值.【詳解】(1)若與共線,則存在,使得 即,又因為向量與不共線,所以,解得,所以.(2), ,(3).13已知.(1)當(dāng)為何值時,與共線?(2)當(dāng)為何值時,與垂直?(3)當(dāng)為何值時,與的夾角為銳角?【答案】(1);(2);(3)且.【解析】【分析】(1)利用向量共線的坐標(biāo)表示:即可求解. (2)利用向量垂直的坐標(biāo)表示:即可求解. (3)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,只需且不共線即可求解.【詳解】解:(1).與平行

10、,解得.(2)與垂直,即,(3)由題意可得且不共線,解得且.14如圖,在菱形ABCD中,(1)若,求的值;(2)若,求(3)若菱形ABCD的邊長為6,求的取值范圍【答案】(1);(2);(3)【解析】【分析】(1)由向量線性運(yùn)算即可求得值;(2)先化,再結(jié)合(1)中關(guān)系即可求解;(3)由于,即可得,根據(jù)余弦值范圍即可求得結(jié)果【詳解】解:(1)因為,所以,所以,故(2),ABCD為菱形,即(3)因為,所以 的取值范圍:【點(diǎn)睛】(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算;(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是:先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將

11、條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運(yùn)算來解決15已知,與夾角是(1)求的值及的值;(2)當(dāng)為何值時,?【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)利用數(shù)量積定義及其向量的運(yùn)算性質(zhì),即可求解;(2)由于,可得,利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式,即可求解【詳解】(1)由向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式,可得,.(2)因為,所以,整理得,解得即當(dāng)值時,【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)量積定義及其運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系,其中解答中熟記向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式,以及向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題16設(shè)向量(I)若(II)設(shè)函數(shù)【答案】(I)(II)【解析】【詳解】(1)由

12、(sinx)2(sinx)24sin2x,(cosx)2(sinx)21,及,得4sin2x1.又x,從而sinx,所以x.(2) sinxcosxsin2xsin 2xcos 2xsin,當(dāng)x時,2x,當(dāng)2x時,即x時,sin取最大值1.所以f(x)的最大值為.17化簡(1)(2)【答案】(1);(2).【解析】(1)利用平面向量加法的三角形法則化簡可得所求代數(shù)式的結(jié)果;(2)利用平面向量加法的三角形法則化簡可得所求代數(shù)式的結(jié)果.【詳解】(1);(2).18已知點(diǎn),,是原點(diǎn).(1)若點(diǎn)三點(diǎn)共線,求與滿足的關(guān)系式;(2)若的面積等于3,且,求向量.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)由

13、題意結(jié)合三點(diǎn)共線的充分必要條件確定m,n滿足的關(guān)系式即可;(2)由題意首先求得n的值,然后求解m的值即可確定向量的坐標(biāo).【詳解】(1),由點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)共線,知,所以,即;(2)由AOC的面積是3,得,由,得,所以,即,當(dāng)時,解得或,當(dāng)時,方程沒有實(shí)數(shù)根,所以或【點(diǎn)睛】本題主要考查三點(diǎn)共線的充分必要條件,向量垂直的充分必要條件等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.19如圖,在直角梯形中,為上靠近B的三等分點(diǎn),交于為線段上的一個動點(diǎn)(1)用和表示;(2)求;(3)設(shè),求的取值范圍【答案】(1);(2)3;(3).【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件及幾何圖形,利用平面向量的線性運(yùn)算求解而

14、得;(2)選定一組基向量,將由這一組基向量的唯一表示出而得解;(3)由動點(diǎn)P設(shè)出,結(jié)合平面向量基本定理,建立為x的函數(shù)求解.【詳解】(1)依題意,;(2)因交于D,由(1)知,由共起點(diǎn)的三向量終點(diǎn)共線的充要條件知,則,;(3)由已知,因P是線段BC上動點(diǎn),則令,又不共線,則有,在上遞增,所以,故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】由不共線的兩個向量為一組基底,用該基底把相關(guān)條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運(yùn)算來解決20設(shè)向量滿足,且(1)求與的夾角;(2)求的大小.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)由已知得,展開求得,結(jié)合夾角公式即可求解;(2)由化簡即可求解【詳解】(1)設(shè)與的夾角為由已

15、知得,即,因此,得,于是,故 =,即與的夾角為;(2)由21已知,(tR),O是坐標(biāo)原點(diǎn)(1)若點(diǎn)A,B,M三點(diǎn)共線,求t的值;(2)當(dāng)t取何值時,取到最小值?并求出最小值【答案】(1)t;(2)當(dāng)t時,的最小值為.【解析】【分析】(1)求出向量的坐標(biāo),由三點(diǎn)共線知與共線,即可求解t的值(2)運(yùn)用坐標(biāo)求數(shù)量積,轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值【詳解】(1),A,B,M三點(diǎn)共線,與共線,即,解得:t.(2),當(dāng)t時,取得最小值【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:(1)由三點(diǎn)共線,則由它們中任意兩點(diǎn)構(gòu)成的向量都共線,求參數(shù)值.(2)利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式得到關(guān)于參數(shù)的函數(shù),即可求最值及對應(yīng)參數(shù)值.22設(shè)向量,.(1)求;(2

16、)若,求的值;(3)若,求證:A,三點(diǎn)共線.【答案】(1)1(2)2(3)證明見解析【解析】【分析】(1)先求,進(jìn)而求;(2)列出方程組,求出,進(jìn)而求出;(3)求出,從而得到,得到結(jié)果.(1),;(2),所以,解得:,所以;(3)因為,所以,所以A,三點(diǎn)共線.23在平面直角坐標(biāo)系中,已知,.()若,求實(shí)數(shù)的值;()若,求實(shí)數(shù)的值.【答案】();().【解析】()求出向量和的坐標(biāo),然后利用共線向量的坐標(biāo)表示得出關(guān)于的方程,解出即可;()由得出,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程,解出即可.【詳解】(),解得;(),解得.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查利用共線向量和向量垂直求參

17、數(shù),考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.24在中,點(diǎn),在邊上且,.(1)若,求的長;(2)若,求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)先設(shè),根據(jù)題意,求出,再由向量模的計算公式,即可得出結(jié)果;(2)先由題意,得到,再由向量數(shù)量積的運(yùn)算法則,以及題中條件,得到,即可求出結(jié)果.【詳解】(1)設(shè),則,因此,所以,(2)因為,所以, 同理可得,所以,即, 同除以可得,.【點(diǎn)睛】本題主要考查用向量的方法求線段長,考查由向量數(shù)量積求參數(shù),熟記平面向量基本定理,以及向量數(shù)量積的運(yùn)算法則即可,屬于??碱}型.25已知向量,且(1)求,;(2)求與的夾角及與的夾角【答案】(1),;(2),【解析】【分析】(1

18、)由、,結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算即可得解;(2)記與的夾角為,與的夾角為,由平面向量數(shù)量積的定義可得、,即可得解.【詳解】(1)因為向量,且,所以,所以,又,所以;(2)記與的夾角為,與的夾角為,則,所以,所以【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算與應(yīng)用,考查了運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.26平面內(nèi)給定三個向量,.(1)求滿足的實(shí)數(shù),;(2)若,求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1),;(2).【解析】【分析】(1)依題意求出的坐標(biāo),再根據(jù)向量相等得到方程組,解得即可;(2)首先求出與的坐標(biāo),再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示計算可得;【詳解】解:(1)因為,且,.,解得,.(2),.,.,解得.27如圖,已知中,為的中點(diǎn),交于點(diǎn),設(shè),(1)用分別表示向量,;(2)若,求實(shí)數(shù)t的值【答案】(1),;(2)【解析】(1)根據(jù)向量線性運(yùn)算,結(jié)合線段關(guān)系,即可用分別表示向量,;(2)用分別表示向量,由平面向量共線基本定理,即可求得t的值.【詳解】(1)由題意,為的中點(diǎn),可得,(2), ,共線,由平面向量共線基本定理可知滿足,解得【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算,平面向量共線基

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