重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課件第07講 插值與數(shù)值積分

1、大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)Experiments in Mathematics實(shí)驗(yàn)3 插值與數(shù)值積分 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)- 李煥榮實(shí)驗(yàn)三什么是插值？從查函數(shù)表說起查 函 數(shù) 表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表求 (1.114)(1.114)=0.8665 (0.86860.8665)0.4=0.8673插值實(shí)驗(yàn)三實(shí)驗(yàn)三實(shí)驗(yàn)3的基本內(nèi)容3.數(shù)值積分的梯形公式、辛普森公式和高斯公式。1.插值的基本原理； 三種插值方法：拉格朗日插 值，分段線性 插值，三次樣條插值。2.插值的 MATLAB 實(shí)現(xiàn)及插值的應(yīng)用。4.數(shù)值積分的 MATLAB 實(shí)現(xiàn)及數(shù)值積分的應(yīng)用。實(shí)驗(yàn)三實(shí)驗(yàn)三數(shù)控機(jī)床加工零件加工時(shí)需要x每改變0.05時(shí)的y值圖1

2、零件的輪廓線 （x間隔0.2）表1 x間隔0.2的加工坐標(biāo)x,y（圖1右半部的數(shù)據(jù)）0.0,5.000.2,4.710.4,4.310.6,3.680.8,3.051.0,2.501.2,2.051.4,1.691.6,1.401.8,1.182.0,1.002.2,0.862.4,0.742.6,0.64模型 將圖1逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)90度，輪廓線上下對(duì)稱，只需對(duì)上半部計(jì)算一個(gè)函數(shù)在插值點(diǎn)的值。 圖2 逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)90度的結(jié)果實(shí)驗(yàn)三插值的基本原理插值問題的提法已知 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)其中互不相同，不妨設(shè)求任一插值點(diǎn)處的插值節(jié)點(diǎn)可視為由產(chǎn)生,g表達(dá)式復(fù)雜,甚至無表達(dá)式實(shí)驗(yàn)三實(shí)驗(yàn)三求解插值問題的基本思路構(gòu)造

3、一個(gè)(相對(duì)簡單的)函數(shù)通過全部節(jié)點(diǎn),即再用計(jì)算插值，即插值的基本原理實(shí)驗(yàn)三1.拉格朗日(Lagrange)多項(xiàng)式插值（3）有唯一解。 基函數(shù)三種插值方法實(shí)驗(yàn)三2.分段線性插值xjxj-1xj+1x0 xn三種插值方法實(shí)驗(yàn)三實(shí)驗(yàn)三數(shù)學(xué)樣條（spline）三種插值方法實(shí)驗(yàn)三3. 三次樣條插值三種插值方法小結(jié) 拉格朗日插值（高次多項(xiàng)式插值）：曲線光滑用于理論分析，實(shí)際意義不大。 分段線性和三次樣條插值（低次多項(xiàng)式插值）：曲線不光滑（三次樣條插值已大有改進(jìn)）簡單實(shí)用，應(yīng)用廣泛。實(shí)驗(yàn)三1. 拉格朗日插值:自編程序,如名為 lagr.m 的M文件， 第一行為 function y=lagr(x0,y0,x

4、) 輸入:節(jié)點(diǎn)x0,y0, 插值點(diǎn)x (均為數(shù)組，長度自定義)）； 輸出:插值y (與x同長度數(shù)組)）。 應(yīng)用時(shí)輸入x0,y0,x后,運(yùn)行 y=lagr(x0,y0,x)2. 分段線性插值:已有程序 y=interp1(x0,y0,x)3. 三次樣條插值:已有程序 y=interp1(x0,y0,x,spline) 或 y=spline(x0,y0,x)用MATLAB作插值計(jì)算實(shí)驗(yàn)三插值的應(yīng)用加工時(shí)需要x每改變0.05時(shí)的y值圖1 零件的輪廓線 （x間隔0.2）表1 x間隔0.2的加工坐標(biāo)x,y（圖1右半部的數(shù)據(jù)）數(shù)控機(jī)床加工零件 0.0,5.000.2,4.710.4,4.310.6,3.6

5、80.8,3.051.0,2.501.2,2.051.4,1.691.6,1.401.8,1.182.0,1.002.2,0.862.4,0.742.6,0.64模型 將圖1逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)90度，輪廓線上下對(duì)稱，只需對(duì)上半部計(jì)算一個(gè)函數(shù)在插值點(diǎn)的值。 圖2 逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)90度的結(jié)果令v=x, u= -y 實(shí)驗(yàn)三人造衛(wèi)星軌道長度軌道長度yxo 近地點(diǎn)s1=439km,遠(yuǎn)地點(diǎn)s2= 2384kms1s2地球半徑r=6371kmr實(shí)驗(yàn)三為什么要作數(shù)值積分 許多函數(shù)“積不出來”,只能用數(shù)值方法，如 積分是重要的數(shù)學(xué)工具，是微分方程、概率論等的基礎(chǔ)；在實(shí)際問題中有直接應(yīng)用。 對(duì)于用離散數(shù)據(jù)或者圖形表示的函

6、數(shù)，計(jì)算積分只有求助于數(shù)值方法。數(shù)值積分實(shí)驗(yàn)三數(shù) 值 積 分 的 基 本 思 路回 憶 定 積 分 的 定 義各種數(shù)值積分方法研究的是如何取值，區(qū)間如何劃分，使得既能保證一定精度，計(jì)算量又小。n充分大時(shí)In就是I的數(shù)值積分實(shí)驗(yàn)三1.從矩形公式到梯形公式數(shù)值積分yy=f(x)xbao平均，得到梯形公式xk+1xkxk-1fk實(shí)驗(yàn)三2.辛普森(Simpson)公式（拋物線公式） 梯形公式相當(dāng)于用分段線性插值函數(shù)代替拋物線公式提高精度分段二次插值函數(shù)數(shù)值積分yy=f(x)xbaox2kf2kx2k+1x2k+2f2k+1f2k+2實(shí)驗(yàn)三實(shí)驗(yàn)三 對(duì)k求和(共m段)，得辛普森公式：二次插值函數(shù)sk(x)

7、2.辛普森(Simpson)公式（拋物線公式）實(shí)驗(yàn)三實(shí)驗(yàn)三高斯公式的思路取消對(duì)節(jié)點(diǎn)的限制，按照代數(shù)精度最大的原則，同時(shí)確定節(jié)點(diǎn)xk和系數(shù)Ak構(gòu)造求積公式對(duì)于使G2的代數(shù)精度為3確定實(shí)驗(yàn)三用MATLAB 作數(shù)值積分梯形公式trapz(x)輸入數(shù)組x,輸出按梯形公式x的積分(單位步長)trapz(x,y)輸入同長度數(shù)組 x,y,輸出按梯形公式y(tǒng)對(duì)x的積分(步長不一定相等)實(shí)驗(yàn)三實(shí)驗(yàn)三用MATLAB 作數(shù)值積分辛普森公式quad(fun,a,b,tol)用自適應(yīng)辛普森公式計(jì)算tol為絕對(duì)誤差，缺省時(shí)為10-6Gauss-Lobatto公式quadl(fun,a,b,tol)用自適應(yīng)Gauss-Lob

8、atto公式計(jì)算 tol為絕對(duì)誤差，缺省時(shí)為10-6實(shí)驗(yàn)三實(shí)驗(yàn)三用MATLAB 作數(shù)值積分例. 計(jì)算1）矩形公式和梯形公式將(0, /4)100等分2）辛普森公式和Gauss-Lobatto公式精確、方便無法計(jì)算用數(shù)值給出的函數(shù)的積分實(shí)驗(yàn)三數(shù)值積分的應(yīng)用人造衛(wèi)星軌道長度軌道長度yxo 近地點(diǎn)s1=439km,遠(yuǎn)地點(diǎn)s2= 2384kms1s2地球半徑r=6371kmr需要作數(shù)值積分實(shí)驗(yàn)三s1=439km, s2= 2384km, r=6371kmyxos1s2rs1s2yxoracb數(shù)值積分實(shí)例 人造衛(wèi)星軌道長度實(shí)驗(yàn)三用梯形公式和辛普森公式計(jì)算只將區(qū)間5等分，梯形公式就給出很好的結(jié)果軌道長度 L=4.8707104千米數(shù)值積分實(shí)例 人造衛(wèi)星軌道長度實(shí)