大學(xué)力學(xué)振動

1、9.2.1 一剛體可繞水平軸搖擺 . 已知剛體質(zhì)量為m,其重心 C 和軸 O間的距離為 h,剛體對轉(zhuǎn)動軸線的轉(zhuǎn)動慣量為 I. 問剛體環(huán)繞平穩(wěn)位置的微小搖擺是否是簡諧運動？假如是,求固有頻率,不計一切阻力 . 解 剛體受力如下列圖, 規(guī)定逆時針為轉(zhuǎn)動正方向,為與OC鉛垂線（為平穩(wěn)位置）的夾角,由對O 的轉(zhuǎn)動定理；IMmgh sin因很小故sinId22mgh0dtd22mgh0dtIm2k2 0mgh/29.2.2 輕彈簧與物體的連接如下列圖, 物體1k質(zhì)量為 m,輕彈簧的勁度系數(shù)為k 和k ,支承面是抱負(fù)光滑面,求系統(tǒng)振動的固有頻率. 解 以物體 m為隔離體 , 水平方向受 k ,k 的彈性力

2、 F,F , 以平穩(wěn)位置為原點建立坐標(biāo)系 O x ,水平向右為 x 軸正方向； 設(shè) m處于 O 點對兩彈簧的伸長量為 0,即兩個彈簧都處于原長狀態(tài)；m發(fā)生一小位移 x之后,彈簧 k 的伸長量為 x,彈簧 k 被壓縮長也為 x；故物體受力為：F x k x 1 k x= 2 k 1 k x 2（線性復(fù)原力）m相當(dāng)于受到剛度系數(shù)為 k=k 1 k 的單一彈簧的作用由牛頓其次定律：2d xm 2 k 1 k xdt2d xm 2 k 1 k x=0 2dt2 k 1 k 20m9.2.3 一垂直懸掛的彈簧振子, 振子質(zhì)量為 m,彈簧的勁度系數(shù)為 k .如在振子和彈簧 k 之間串聯(lián)另一彈簧,使系統(tǒng)的頻

3、率削減一半 . 串聯(lián)上的彈簧的勁度系數(shù) k 應(yīng)是 k 的多少倍？ 解 未串時：平穩(wěn)位置mgk1k mgk xm2 d xdt2m2 d xk x=0dt20k 1m串聯(lián)另一剛度系數(shù)為k 的彈簧：此時彈簧組的勁度系數(shù)為k.k11mg;k22mg12k1k2mgmgk k2k k /k1mg / kk0k k /k1k 0k10k k2k ,前mk1m已知：20k k 12k ,前0k1a 沿水平方向直線mk1mk1m22k kmk1k 解得：k21k139.2.4 單擺周期的討論 . （1）單擺懸掛于以加速度行駛的車廂內(nèi) .（2）單擺懸掛于以加速度a 上升的電梯內(nèi) . （3）單擺懸掛于以加速度

4、ag 下降的電梯內(nèi) . 求此三種情形下單擺的周期 . 擺 長為 . 解 （1）以車為參照系,擺錘為隔離體,受重力 W ,擺線張力 T ,ma ；慣性力f 平穩(wěn)位置處有：T mg f 0由此可得平穩(wěn)位置時擺線鉛直夾角tga g 1 由平穩(wěn)位置發(fā)生小角位移 由牛頓其次定律 : 在切線方向的重量式即mgsinmacosmasinagsincoscossin a coscossin角很小 , 故sin,cos1. 于是得 : gsincos a cossina利用 1 式,gsinacos,就gcosasina0d222 adt即d2gcosasingdt2a由于sina2,cosg2 g2所以0gcosasing2a2, 同于的分析擺線T2g22 a2 以電梯為參照系 , 慣性力與重力沿鉛垂方向為鉛垂位置時為平穩(wěn)態(tài) . T2ga3 同2 的分析得 : T 2g a9.2.5 在通常溫度下,固體內(nèi)原子振動的頻率數(shù)量級為 10 / s. 設(shè)想各原子之間彼此以彈簧連結(jié) . 一摩爾銀的質(zhì)量為 108g 且包含 6.02 10 個原子. 現(xiàn)僅考慮一列