【研究生課件應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】2線性空間

1、【研究生課件應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】2線性空間【研究生課件應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】2線性空間2四、維數(shù)定理五、子空間的直和六、線性空間的線性同構(gòu)4四、維數(shù)定理3一、線性空間的概念線性空間的定義線性空間的例： R,Rn,Rnn,Rnx都是R上的線性空間. C,Cn,Cnn,Cnx都是C上向量空間. Ca,b,Cnx線性空間的簡(jiǎn)單性質(zhì)5一、線性空間的概念線性空間的定義4在線性代數(shù)中，大家已熟悉了具體的線性空間Rn和Cn。這里要在一般集合上建立線性結(jié)構(gòu)，即加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算，使集合上有了代數(shù)結(jié)構(gòu)。線性空間上首先有了向量組的線性相關(guān)性的概念，接著建立線性空間上基、坐標(biāo)、維數(shù)的概念。這樣，可以象在Rn上那樣研究一般的線性空

2、間。 6在線性代數(shù)中，大家已熟悉了具體的線性空間Rn5 一、線性空間的概念設(shè)C是復(fù)數(shù)集合，K是C的一個(gè)非空集合，它含有0和1，且其中任意兩數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍屬于該集合，則稱K是一個(gè)數(shù)域。顯然，有理數(shù)集Q，實(shí)數(shù)集R，復(fù)數(shù)集C都是數(shù)域。分別稱為有理數(shù)域，實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域。今后用F代表數(shù)域（實(shí)數(shù)域R或復(fù)數(shù)域C）。7 一、線性空間的概念6定義2.1 設(shè)V是一個(gè)非空集合,F是一個(gè)數(shù)域(實(shí)數(shù)域R或復(fù)數(shù)域C),在集合V的元素之間定義了一種代數(shù)運(yùn)算，叫做加法；這就是說(shuō)，給出了一個(gè)法則，對(duì)于V中任意兩個(gè)元素x與y，在V中都有唯一的一個(gè)元素z與它們對(duì)應(yīng)，稱為x與y的和，記為z=x+y。在數(shù)域F與集合

3、V的元素之間還定義了一種運(yùn)算，叫做數(shù)量乘法；這就是說(shuō)，對(duì)于數(shù)域中任一數(shù)k與V中任一元素x，在V中都有唯一的一個(gè)元素y與它們對(duì)應(yīng)，稱為k與x的數(shù)量乘積，記為y=kx。如果加法與數(shù)量乘法滿足下述規(guī)則，那么稱V為數(shù)域F上的線性空間。 8定義2.1 設(shè)V是一個(gè)非空集合,F是一個(gè)數(shù)域7 (1) 加法滿足下面四條規(guī)則：x,y,zV,有 x+y=y+x; x+(y+z)=(x+y)+z; 零元素V,使x+=x=+x; x的唯一負(fù)元素-xV,使x+(-x)=. (2) 數(shù)乘滿足下面兩條規(guī)則： x,yV,F,有 (x)=()x; 1x=x.9 8 (3)數(shù)乘相對(duì)于V上加法和F上的加法相對(duì)于數(shù)乘有分配律: (+)

4、x=x+x; (x+y)=x+y.則稱V為數(shù)域F上的線性空間,其中元素稱為向量,所以線性空間也叫向量空間.R,Rn,Rnn,Rnx都是R上的線性空間.C,Cn,Cnn,Cnx都是C上向量空間.10 (3)數(shù)乘相對(duì)于V上加法和F上的加法相對(duì)于9例2.1 Rn=x=(x1,x2,xn)T|xiR,1in是R上的線性空間。證明：只要定義： x=(x1,x2, ,xn)T ， y=(y1,y2, ,yn)TRn,kR, x+y=(x1+y1,x2+y2, ,xn+yn)TRn kx=(kx1,kx2, ,kxn)TRn滿足：x=(x1,x2, ,xn)T,y=(y1,y2, ,yn)T, z=(z1,

5、z2, ,zn)TRn,k,lR（1）x+y=(x1+y1,x2+y2, ,xn+yn)T =(y1+x1,y2+x2, ,yn+xn)T =y+x11例2.1 Rn=x=(x1,x2,xn)T|x10(2)(x+y)+z=(x1+y1)+z1,(x2+y2)+z2, ,(xn+yn)+zn)T=(x1+(y1+z1),x2+(y2+z2), ,xn+(yn+zn)T=x+(y+z)(3)存在零向量=（0，0，0）T，使 x+ = +x=x(4)-x= (-x1,-x2, ,-xn)T ,使 x+(-x)=(-x)+x= (5) k(lx)=k (lx1,lx2, ,lxn)T =(kl)(x

6、1,x2, ,xn)T =(kl) x12(2)(x+y)+z11(6)1x=1 (x1,x2, ,xn)T = (1x1,1x2, ,1xn)T = (x1,x2, ,xn)T =x(7)(k+l)x=(k+l)x1,(k+l)x2, ,(k+l)xn)T =k(x1,x2, ,xn)T +l (x1,x2, ,xn)T =kx+lx(8)k(x+y)=k (x1+y1,x2+y2, ,xn+yn)T =kx+ky 13(6)1x=1 (x1,x2, ,xn)T 12例2.2 考慮Ca,b,x,yCa,b,kR,定義加法和數(shù)乘: (x+y)(t)=x(t)+y(t) (kx)(t)=kx(t

7、)由于兩個(gè)連續(xù)函數(shù)之和仍為連續(xù)函數(shù),連續(xù)函數(shù)與常數(shù)相乘仍是連續(xù)函數(shù),由此易知,Ca,b是R上的線性空間.例2.3 次數(shù)不超過(guò)n的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式集合 Cnx=p(x)=a0 xn+a1xn-1+an|aiC,0in按通常多項(xiàng)式加法和數(shù)與多項(xiàng)的乘法，構(gòu)成復(fù)數(shù)域C上的向量空間。14例2.2 考慮Ca,b,x,yCa,b,k13例2.4 元素屬于復(fù)數(shù)域C的mn矩陣集合 Cmn=A=(aij)mn|aijC按矩陣的加法和數(shù)乘構(gòu)成C上向量空間。例2.5 給定ACmn,記 R（A）=yCm|y=Ax,xCn N(A)=xCn|Ax=0按向量的加法和數(shù)乘，是C上線性空間。證明：設(shè)y1,y2R(A),則存在x1,

8、x2Cn,使 y1=Ax1,y2=Ax2, y1+y2=Ax1+Ax2=A(x1+x2) R(A) kC,ky1=kAx1=A(kx1) R(A)x1,x2N(A),則Ax1=0,Ax2=0,15例2.4 元素屬于復(fù)數(shù)域C的mn矩陣集合14 A(x1+x2)=Ax1+Ax2=0+0=0 x1+x2N(A),kC,A(kx1)=kAx1=k0=0,所以，kx1N(A).例2.6 設(shè)ACmn,V=xCn|Ax=b,b0按向量的加法和數(shù)乘不是線性空間。 這是因?yàn)?，x,yV,Ax=b,Ay=b, A(x+y)=Ax+Ay=b+bb即x+yV16 A(x1+x2)=Ax1+Ax2=0+0=15線性空間有

9、以下簡(jiǎn)單性質(zhì)：（1）線性空間V（F）有唯一的零元;xV(F),有唯一的負(fù)元-x. 實(shí)際上，若有兩個(gè)零向量和，則 +=xV(F),若有兩個(gè)負(fù)向量y1和y2,滿足 x+y1=x+y2=于是， y1-y2=,即y1=y2(2)設(shè)xV(F),kF,則有 0 x=,k=,(-1)x=-x17線性空間有以下簡(jiǎn)單性質(zhì)：16二、線性空間的基、坐標(biāo)與維數(shù)線性表示與向量組的線性相關(guān)性線性空間的基與維數(shù)、向量的坐標(biāo)基變換與坐標(biāo)變換公式18二、線性空間的基、坐標(biāo)與維數(shù)線性表示與向量組的線性相關(guān)性17 二、線性空間的基、坐標(biāo)和維數(shù)（一）線性表示與向量組的線性相關(guān)性定義2.2 設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間, x,x1,x2,

10、xmV是V中一向量組,如果存在一組數(shù)k1,k2,kmF,使 x=k1x1+k2x2+kmxm則稱x是x1,x2,xm的線性組合,或稱x可由x1,x2,xm線性表示.例如， 1=（2,-1,3,1)T,2=(4,-2,5,4)T, 3=(2,-1,4,-1)T 3=31-2即3可由1,2線性表示.19 二、線性空間的基、坐標(biāo)和維數(shù)18又如,由于20又如,由于19定義2.3 設(shè)x1,x2,xmV是一組向量,如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,kmF使 k1x1+k2x2+kmxm=,則稱向量組x1,x2,xm線性相關(guān);否則稱x1,x2,xm線性無(wú)關(guān),即若 k1x1+k2x2+kmxm=,則k1=k

11、2=km=0.設(shè)EV,若E的任一有限向量組都是線性無(wú)關(guān)的則稱E是線性無(wú)關(guān)的.定義2.4 設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間,EV, 令21定義2.3 設(shè)x1,x2,xmV是一組向量,令20稱SpanE為E生成空間,或E張成的空間22稱SpanE為E生成空間,或E張成的空間21例2.7 線性空間V（F）中的向量組x1,x2, ,xm(m1)線性相關(guān)的充分必要條件是向量組x1,x2, ,xm中至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合。證明：）設(shè)x1,x2, ,xm線性相關(guān)，則存在不全為零的一組數(shù)k1,k2, ,kmF,使 k1x1+k2x2+kmxm=不妨設(shè)k10,則 23例2.7 線性空間V（F）中的向量組x1

12、,x2, ,22)設(shè) x1=k2x2+k3x3+kmxm則 (-1)x1+k2x2+k3x3+kmxm=由于-1，k2, ,km不全為零，所以x1,x2, ,xm線性相關(guān)。例2.8 n維單位向量組e1=(1,0,0, ,0)T,e2=(0,1,0, ,0)T, ,en=(0,0,0, ,1)T線性無(wú)關(guān)。證明：若有數(shù)k1,k2, ,knR,使 k1e1+k2e2+knen=,則 (k1,k2, ,kn)T=,即 k1=k2=kn=0所以，e1,e2, ,en線性無(wú)關(guān)。24)設(shè) x1=k2x2+k3x3+kmxm23例2.9 試證：R22中的一組向量（矩陣）線性無(wú)關(guān)。證明：若有數(shù)k1,k2,k3,

13、k4R,使即所以，k1=k2=k3=k4=0,E11,E12,E21,E22線性無(wú)關(guān)。25例2.9 試證：R22中的一組向量（矩陣）線性無(wú)關(guān)。24例2.10 試證R22中的向量（矩陣）組線性相關(guān)。證明：由于 1-2+ 3=所以1，2， 3線性相關(guān)。26例2.10 試證R22中的向量（矩陣）組線性相關(guān)。25（二）線性空間的基、坐標(biāo)、維數(shù)定義2.5 設(shè)x1,x2, ,xnV是一組向量,如果滿足: (1)x1,x2, xn線性無(wú)關(guān)；（2）xV,x可由x1,x2, ,xn線性表示，則稱x1,x2, ,xn是V的一組基。設(shè)E是線性空間V的線性無(wú)關(guān)無(wú)限子集,如果 SpanE=V,則稱E是線性空間V的基.例

14、如,1,x,x2,xn是Rnx的一組基.xV,必有唯一的一組數(shù)k1,k2,knF,使 x=k1e1+k2e2+knen則稱(k1,k2,kn)是x的坐標(biāo).27（二）線性空間的基、坐標(biāo)、維數(shù)26證明：設(shè)x有兩種表示： x=a1x1+a2x2+anxn = b1x1+b2x2+bnxn則 (a1-b1) x1+(a2 b2) x2+(an bn) xn=由于x1,x2, ,xn線性無(wú)關(guān)，所以 a1=b1,a2=b2, ,an=bn例2.11 向量組e1=(1,0,0, ,0)T,e2=(0,1,0, ,0)T,en=(0,0,0, ,1)T是Rn中一組基。稱之為自然基。實(shí)際上，前面已證它是組性無(wú)關(guān)

15、的，而且x=(x1,x2, ,xn)TRn,有 x=x1e1+x2e2+xnen28證明：設(shè)x有兩種表示：27例2.12 設(shè)EijRmn(i=1,2, ,m;j=1,2, ,m)為第ij元素為1其余元素均為0的矩陣，它是Rmn的一組基，稱之為自然基。實(shí)際上，它是線性無(wú)關(guān)的。若有數(shù)kijR,使 則得即kij=0(i=1,2, ,m;j=1,2, ,m)其次，A=（aij)mnRmn有 29例2.12 設(shè)EijRmn(i=1,2, ,m;28例2.13 R上次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式集合Rnx是線性空間，1,x,x2, ,xn是一組基。定理2.1 設(shè)x1,x2, ,xn是線性空間V（F）的一組基，則當(dāng)m

16、n時(shí)，V（F）中任意m個(gè)向量的向量組是線性相關(guān)的。證明：設(shè)y1,y2, ,ym(mn)是V（F）中任一向量組，由于x1,x2, ,xn是一組基，則有30例2.13 R上次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式集合Rnx是29 yi=ai1x1+ai2x2+ainxn(i=1,2, ,m)若有數(shù)c1,c2, ,cmF,使 c1y1+c2y2+cmym則由于方程個(gè)數(shù)n小于未知數(shù)個(gè)數(shù)m，上面的方程組必有非零解(1,2, ,m)T,31 yi=ai1x1+ai2x2+ain30 1y1+2y2+mym=即y1,y2, ,ym線性相關(guān)。定理2.2 線性空間V（F）中任意兩組基 所含向量個(gè)數(shù)相等。證明：設(shè)x1,x2, ,xn

17、與y1,y2, ,ym分別為V（F）的兩組基，由上面的定理，nm.若不然，則mn,由于y1,y2, ,ym是基，所以， x1,x2, ,xn線性相關(guān)，矛盾！同樣可證：mn,從而，m=n。32 1y1+2y2+my31定義2.7 線性空間V（F）的一組基所含向量的個(gè)數(shù)稱為V（F）的維數(shù)，記作dimV(F).n維的線性空間V（F）可記作Vn（F）。例如，dim Rn=n,dim Rnx=n+1 dim Rmn=mn定理2.3 n維向量空間Vn(F)中任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組是Vn(F)的一組基。證明：yV(F),由于y,x1,x2, ,xn線性相關(guān)，則y可由x1,x2, ,xn線性表示，從而， x

18、1,x2, ,xn是一組基。33定義2.7 線性空間V（F）的一組基所含向量32（三）基變換與坐標(biāo)變換設(shè)x1,x2, ,xn與y1,y2, ,yn是線性空間Vn(F)的兩組基，則有或其中34（三）基變換與坐標(biāo)變換或其中33稱P為基x1,x2, ,xn到基y1,y2, ,yn的過(guò)渡矩陣。過(guò)渡矩陣是可逆的。實(shí)際上，由于y1,y2, ,yn線性無(wú)關(guān)，則若有數(shù)k1,k2, ,knF,使 k1y1+k2 y2+ +kn yn=必須 k1=k2=kn=0即 相當(dāng)于35稱P為基x1,x2, ,xn到基y1,y2, ,yn34只有零解。相當(dāng)于36只有零解。相當(dāng)于35設(shè)x1,x2, ,xn與y1,y2, ,yn

19、是線性空間Vn(F)的兩組基，xVn(F)在基x1,x2, ,xn與y1,y2, ,yn下的坐標(biāo)分別是即或37設(shè)x1,x2, ,xn與y1,y2, ,yn是線性空36由于x1,x2, ,xn線性無(wú)關(guān)，得坐標(biāo)變換公式38由于x1,x2, ,xn線性無(wú)關(guān)，得坐標(biāo)變換公式37例2.14 在R3中求向量x=(1,2,1)T在基x1=(1,1,1)T,x2=(1,1,-1)T,x3=(1,-1,-1)T下的坐標(biāo)。解：R3中自然基e1,e2,e3,則有39例2.14 在R3中求向量x=(1,2,1)T在基38設(shè)x在基x1,x2,x3下的坐標(biāo) 為(1, 2, 3)T,已知x在e1,e2,e3下的坐標(biāo)為（1，

20、2，1）T，則例2.15 在Rnx中，1,x,x2, ,xn與1,(x-a),(x-a)2, ,(x-a)n為兩組基，求前一組基到后一組基的過(guò)渡矩陣。解：40設(shè)x在基x1,x2,x3下的坐標(biāo) 為(1, 2, 39 1=11 x-a=-a1+1x (x-a)2=a21-2ax+1x2 (x-a)3=-a31+3a2x-3ax2+1x3 41 1=1140由1,x,x2, ,xn到1,(x-a),(x-a)2, ,(x-a)n的過(guò)渡矩陣是42由1,x,x2, ,xn到1,(x-a),(x-a)241例2.16 在R4中,求其中并求向量=(x1,x2,x3,x4)T在1, 2, 3, 4下的坐標(biāo)。解

21、：已知 e1=(1,0,0,0)T,e2=(0,1,0,0)T,e3=(0,0,1,0)T,e4=(0,0,0,1)T是一組基，且43例2.16 在R4中,求其中并求向量=(x1,x2,4244434544464547464847三、子空間子空間的定義驗(yàn)證子空間的充分必要條件子空間的基與維數(shù)49三、子空間子空間的定義48 三、子空間定義2.7 設(shè)S是線性空間V（F）的非空子集。若S中向量關(guān)于V（F）的加法和數(shù)乘也構(gòu)成F上的線性空間，則稱S是V（F）的子空間。例如，和V（F）是線性空間V（F）的兩個(gè)子空間，稱之為V（F）的平凡子空間。定理2.1 設(shè)S是線性空間V（F）的非空子集。S是V（F）的子

22、空間的充分必要條件是： (1）x,yS,有x+yS;(2)kF,xV(F),有kxS。證明：必要性顯然。來(lái)證充分性。只要驗(yàn)證滿足線性空間的條件。50 三、子空間49(1) x,yS,則x,yV(F),x+y=y+x(2) x,y,zS,則x,y,zV(F),(x+y)+z=x+(y+z)(3)取aS,=0aS(4)xS,-x=(-1) xS(5) kF,x,yS,則x,yV(F), k(x+y)=kx+ky(6) k,lF,xS,則xV(F), (k+l) x=kx+lx(7) k,lF,xS,則xV(F)k (lx)=(kl) x(8) xS,則xV(F), 1x=x51(1) x,yS,則

23、x,yV(F),x+y=y+50例2.17 設(shè)S=x1,x2, ,xrV(F),S生成的空間SpanS是V（F）的子空間。證明：SpanS顯然非空，而且 x,ySpanS,kF x=a1x1+a2x2+arxr y=b1x1+b2x2+brxr x+y=(a1+b1) x1+(a2+b2) x2+(ar+br) xrSpanS kx=(ka1)x1+(ka2)x2+(kar)xrSpanS定義2.8 設(shè)T是線性空間V(F)中的一個(gè)向量組, (1)x1,x2, ,xr線性無(wú)關(guān)；（2）xT, x,x1,x2, ,xr線性相關(guān)，52例2.17 設(shè)S=x1,x2, ,xrV(F)51則稱x1,x2,

24、,xr為T的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組；T的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組的向量個(gè)數(shù)定義為T的維數(shù)。定理2.2 n維線性空間Vn（F）的任一線性無(wú)關(guān)的向量組x1,x2, ,xr必可擴(kuò)充為Vn(F)的一組基。證明：已知x1,x2, ,xr線性無(wú)關(guān)。當(dāng)rn時(shí)， x1,x2, ,xr不可能是Vn(F)的基。至少存在一個(gè)向量xr+1Vn(F),使x1,x2, ,xr，xr+1線性無(wú) 關(guān)。若r+1=n,則x1,x2, ,xr，xr+1是Vn(F)的一組基.否則,繼續(xù)上述步驟,由于dimVn(F)=n,必有正整數(shù)l,使r+l=n,即x1,x2, ,xr，xr+1，xr+l是Vn(F)的基。53則稱x1,x2, ,xr為T的一

25、個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組；T52例2.18 N(A)=xRn|Ax=,A=(aij)mn,A的秩為r,則N（A）是n-r維子空間。證明：kF,x,yN(A),Ax=,Ay=,有 A(x+y)=Ax+Ay=+= A(kx)=kAx=k=所以，x+yN(A),kxN(A),即N（A）是Rn的子空間，由于A的秩為r,因此,齊次線性方程組Ax=有n-r個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，即N（A）是n-r維的。54例2.18 N(A)=xRn|Ax=,A=(ai53例2.19 設(shè)V1,V2是線性空間V(F)的兩個(gè)子空間,則W=V1V2是V(F)的子空間.證明:首先,V1,V2, V1V2,即V1V2非空.其次,(1)x,yV

26、1V2,則x,yV1, x+yV1,x,yV2,x+yV2,x+yV1V2;(2)kF,xV1V2,則xV1,xV2, kxV1,kxV2, kxV1V255例2.19 設(shè)V1,V2是線性空間V(F)的兩個(gè)子空間54例2.20 設(shè)V1,V2是線性空間V(F)的兩個(gè)子空間,則 W=V1+V2=x+y|xV1,yV2是V(F)的子空間,稱之為V1與V2的和空間.證明:顯然W=V1+V2非空.(1)x,yV1+V2,則存在x1,x2V1,y1,y2V2,滿足： x=x1+y1, y=x2+y2于是 x+y=(x1+y1)+(x2+y2) =(x1+x2)+(y1+y2) V1+V2(2) kF,xV

27、1+V2,則存在x1V1,y1V2,使 x =x1+y1 于是， kx=k(x1+y1)=(kx1)+(ky1) V1+V2其中kx1V1,ky1V256例2.20 設(shè)V1,V2是線性空間V(F)的兩個(gè)子空55例2.21 設(shè)1=(1,2,1,0)T, 2=(-1,1,1,1)T, 1=(2,1,0,1)T ,2=(1,-1,3,7)T求V1=Span1, 2,V2=Span1,2的和與交的維數(shù)和它們的基。解：因?yàn)?V1+V2= Span1, 2+Span1,2 =Span1, 2 ,1,2向量組1, 2 ,1,2的秩為3，且1, 2 ,1是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，所以 dim(V1+V2)=3,1

28、, 2 ,1是V1+V2的一組基。57例2.21 設(shè)1=(1,2,1,0)T, 2=(-56下面求V1V2的基。設(shè)V1V2，則有k1,k2,l1,l2R,使 =k11+k22=l11+l22即 k11+k22-l11-l22 = 其基礎(chǔ)解系是(1,-4,3,-1)T,即 k1=1,k2=-4,l1=3,l2=-1, =1-42=31-2=(5,-2,-3,-4)T58下面求V1V2的基。設(shè)V1V2，則有其基礎(chǔ)解系是57故 dim(V1V2)=1,而 =(5,-2,-3,-4)T是V1V2的一個(gè)基。定理2.3 向量空間V中兩個(gè)向量組 1,2,s和1,2, ,t張成相同子空間的充分必要條件是這兩個(gè)

29、向量組和等價(jià)，即這兩個(gè)向量組可相互線性表示。證明：）設(shè) Span1,2,s=Span1,2, ,t59故 dim(V1V2)=1,定理2.3 58則每一個(gè)i(i=1,2, ,s)作為Span1,2, ,t中向量，都可由1,2, ,t線性表示；同樣，每一個(gè)j(j=1,2, ,t)作為Span1,2,s中向量,都可由1,2,s線性表示；所以，這兩個(gè)向量組等價(jià)。）設(shè)這兩個(gè)向量組等價(jià)。 Span1,2,s中每個(gè)向量都是1,2,s的線性組合，從而都可由1,2, ,t線性表示；即 Span1,2,sSpan1,2, ,t同理 Span1,2, ,t Span1,2,s所以， Span1,2,s=Span1

30、,2, ,t60則每一個(gè)i(i=1,2, ,s)作為Span1,59定理2.4 線性空間V中向量組1,2,s張成的子空間Span1,2,s的維數(shù)等于向量組1,2,s的秩.證明:設(shè)1,2,s的秩為r,并設(shè)為它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，則1,2,s與等價(jià)，因此Span1,2,s中每個(gè)向量都可由線性表示，即Span1,2,s的維數(shù)為r。61定理2.4 線性空間V中向量組1,2,s張成的60四、維數(shù)定理維數(shù)定理62四、維數(shù)定理維數(shù)定理61 四、維數(shù)定理定理2.5 設(shè)S1和S2是線性空間Vn（F）的兩個(gè)子空間，則有 dim(S1+S2)=dimS1+dimS2-dim(S1S2)證明：設(shè)dim S1=n1,

31、dim S2=n2,dim(S1S2)=m,要證： dim(S1+S2)=n1+n2-m.取S1S2的一組基x1,x2, ,xm,并分別擴(kuò)充為S1和S2的基： 可以證明63 四、維數(shù)定理62現(xiàn)在證明：線性無(wú)關(guān)，從而證明了本定理。設(shè)有數(shù)令于是，xS1且xS2,從而xS1S2,于是可令64現(xiàn)在證明：線性無(wú)關(guān)，從而證明了本定理。令于是，xS1且63所以，由于是基，得到而且，x=,于是由于是基，得到于是線性無(wú)關(guān)。65所以，由于是基，得到而且，x=,于是由于是基，得到于是64五、子空間的直和子空間的和空間與直和的定義兩個(gè)子空間的直和的等價(jià)條件66五、子空間的直和子空間的和空間與直和的定義65 五、子空間

32、的直和定義2.9 設(shè)S1和S2是線性空間V（F）的兩個(gè)子空間，若和空間S1 +S2中每一個(gè)向量x的分解式x=x1+x2(x1S1,x2S2)唯一，則稱S1+S2為S1與S2的直和，記作S1S2。例2.22 設(shè)R4中的三個(gè)子空間 V1=(a,b,0,0)T|a,bR V2=(0,0,c,0)T|cR V3=(0,d,e,0)T|d,eR則T=V1+V3不是直和，因?yàn)?67 五、子空間的直和66 (1,1,1,0)T=(1,2,0,0)T+(0,-1,1,0)T =(1,0,0,0)T+(0,1,1,0)T但S=V1+V2是直和.這是因?yàn)閡S, u=(a,b,0,0)T+(0,0,c,0)T=(a,b,c,0)T若還有另一分解式 u=(a1,b1,0,0)T+(0,0,c1,0)T=(a1,b1,c1,0)T