2023屆一輪復(fù)習(xí)北師大版 垂直關(guān)系 作業(yè)

1、 課時(shí)分層作業(yè)(四十三)垂直關(guān)系一、選擇題1已知直線l平面，直線m平面，若，則下列結(jié)論正確的是()Al或lBlmCmDlmA直線l平面，則l或l，A正確，故選A2如圖，在四面體DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDEC因?yàn)锳BCB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC平面BDE又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE3在下列四個(gè)正方體中，能得出ABCD的是

2、()ABCDA作出AB在CD所在平面的射影，當(dāng)射影垂直于CD時(shí)，就有ABCD，經(jīng)檢驗(yàn)知選A4(2021南寧模擬)在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PAAB2，則直線PB與平面PAC所成角為()Aeq f(,6)Beq f(,4)Ceq f(,3)Deq f(,2)A連接BD，交AC于點(diǎn)O因?yàn)镻A平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BDAC，BDPA又因?yàn)镻AACA，所以BD平面PAC，故BO平面PAC連接OP，則BPO即為直線PB與平面PAC所成角又因?yàn)镻AAB2，所以PB2eq r(2)，BOeq r(2)所以sinBPOeq f(BO,PB)eq f(1,

3、2)，所以BPOeq f(,6)故選A5在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則()AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1 DA1EACC如圖，A1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，選項(xiàng)B，D錯(cuò)誤；A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C，且B1CBC1，A1EBC1，故選項(xiàng)C正確；(證明：由條件易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC，BC1平面CEA1B1又A1E平面CEA1B1，A1EBC1)A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，而D1E不與DC1垂直，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤故選C6如圖所示，在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，B

4、AD90將ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成三棱錐ABCD，則在三棱錐ABCD中，下列結(jié)論正確的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABCD在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，則CDAB又ADAB，ADCDD，AD平面ADC，CD平面ADC，故AB平面ADC又AB平面ABC，平面ADC平面ABC二、填空題7如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，若該長方體的體積為8eq r(2)，則直線AC1與平面BB1C1C所

5、成的角為_30連接BC1(圖略)，由AB平面BB1C1C知AC1B就是直線AC1與平面BB1C1C所成的角由22AA18eq r(2)得AA12eq r(2)，BC1eq r(BC2CCoal(2,1)2eq r(3)，在RtAC1B中，tanAC1Beq f(AB,BC1)eq f(2,2r(3)eq f(r(3),3)，AC1B308四面體PABC中，PAPBPC，底面ABC為等腰直角三角形，ACBC，O為AB中點(diǎn)，請從以下平面中選出兩個(gè)相互垂直的平面_(只填序號(hào))平面PAB；平面ABC；平面PAC；平面PBC；平面POC(答案不唯一)四面體PABC中，PAPBPC，底面ABC為等腰直角三

6、角形，ACBC，O為AB中點(diǎn)， COAB，POAB，COPOO，AB平面POCAB平面ABC， 平面POC平面ABC，兩個(gè)相互垂直的平面為9在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，則點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離是_eq f(2,3)如圖，AB1D1中，AB1AD1eq r(5)，B1D1eq r(2)，AB1D1的邊B1D1上的高為eq r(r(5)2blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)eq sup12(2)eq f(3r(2),2)，Seq sdo6(AB1D1)eq f(1,2)eq r(2)eq f(3r(2),2)eq f(3,2)，設(shè)A1到平面AB1D

7、1的距離為h；則有Seq sdo6(AB1D1)hSeq sdo6(A1B1D1)AA1，即eq f(3,2)heq f(1,2)2，解得heq f(2,3)三、解答題10如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點(diǎn)證明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE證明(1)在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD又ACCD，PAACA，PA，AC平面PAC，CD平面PAC而AE平面PAC，CDAE(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPAE是PC的中點(diǎn)，AEPC由(1)知AECD，且PCCDC，PC，CD

8、平面PCD，AE平面PCD，而PD平面PCD，AEPDPA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD又ABAEA，AB，AE平面ABE，PD平面ABE11(2021茂名一模)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，BCAC，AB2DC2，AA1eq r(3)(1)求證：平面A1DC平面ABB1A1；(2)求點(diǎn)A到平面A1DC的距離解(1)證明：在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，BCAC，CD平面ABC，CDAB，CDAA1，ABAA1A，CD平面ABB1A1，CD平

9、面A1DC，平面A1DC平面ABB1A1(2)由題意，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，BCAC，AB2DC2，AA1eq r(3)設(shè)點(diǎn)A到平面A1DC的距離為d，Veq sdo6(A1ACD)Veq sdo6(AA1CD)，eq f(1,3)SACDAA1eq f(1,3)Seq sdo6(DCA1)d，eq f(1,3)eq f(1,2)11eq r(3)eq f(1,3)eq f(1,2)12d，解得deq f(r(3),2)，點(diǎn)A到平面A1DC的距離為eq f(r(3),2)1(2021武漢模擬)如圖所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，則點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H必在()A

10、直線AB上B直線BC上C直線AC上DABC的內(nèi)部A連接AC1(圖略)，因?yàn)锳CAB，ACBC1，ABBC1B，所以AC平面ABC1，又AC平面ABC，所以平面ABC1平面ABC，所以點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上，故選A2已知圓錐的頂點(diǎn)為P，母線PA，PB所成角的余弦值為eq f(3,4)，PA與圓錐底面所成角為60，若PAB的面積為eq r(7)，則該圓錐的體積為_eq f(2r(6),3)作示意圖如圖所示，設(shè)底面半徑為r，PA與圓錐底面所成角為60，則PAO60，則POeq r(3)r，PAPB2r，又PA，PB所成角的余弦值為eq f(3,4)，則sinAPBeq r

11、(1blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)eq sup12(2)eq f(r(7),4)，則SPABeq f(1,2)PAPBsinAPBeq f(1,2)2r2req f(r(7),4)eq r(7)，解得req r(2)，故圓錐的體積為eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(r(2)eq sup12(2)eq r(6)eq f(2r(6),3)3(2021鄭州模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，底面四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)E在線段PC上，PA平面EBD(1)證明：點(diǎn)E為線段PC的中點(diǎn)；(2)已知PA平面ABCD，ABC60，點(diǎn)P到平面EBD的距離為1，四棱錐PA

12、BCD的體積為2eq r(3)，求PA解(1)證明：連接AC，與BD相交于點(diǎn)O，連接EO，則經(jīng)過PA的平面PAC與平面EBD交線為EO因?yàn)镻A平面EBD，所以PAEO因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，所以EO是PAC的中位線，于是E為線段PC的中點(diǎn)(2)因?yàn)镻A平面EBD，所以點(diǎn)A到平面EBD的距離等于點(diǎn)P到平面EBD的距離等于1因?yàn)镻A平面ABCD，所以EO平面ABCD，所以平面EBD平面ABCD，平面EBD平面ABCDBD因?yàn)锳OBD，所以AO平面EBD，因此AO1因?yàn)锳BC60，所以四邊形ABCD是邊長為2的菱形，面積為22sin 602eq r(3)，所以四棱錐PABCD的

13、體積為VPABCDeq f(1,3)2eq r(3)PA，由eq f(1,3)2eq r(3)PA2eq r(3)，得PA31(2019全國卷)已知ACB90，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC2，點(diǎn)P到ACB兩邊AC，BC的距離均為eq r(3)，那么P到平面ABC的距離為_eq r(2)如圖，過點(diǎn)P作PO平面ABC于O，則PO為P到平面ABC的距離再過O作OEAC于E，OFBC于F，連接PC，PE，PF，則PEAC，PFBC又PEPFeq r(3)，所以O(shè)EOF，所以CO為ACB的平分線，即ACO45在RtPEC中，PC2，PEeq r(3)，所以CE1，所以O(shè)E1，所以POeq r(PE2OE2

14、)eq r(r(3)212)eq r(2)2(2021浙江省諸暨中學(xué)月考)九章算術(shù)中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑如圖，在陽馬PABCD中，側(cè)棱PD底面ABCD，且PDCD，過棱PC的中點(diǎn)E，作EFPB交PB于點(diǎn)F，連接DE，DF，BD，BE(1)證明：PB平面DEF試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論)；若不是，說明理由；(2)若平面DEF與平面ABCD所成二面角的大小為eq f(,3)，求eq f(DC,BC)的值解(1)證明：因?yàn)镻D底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD為長方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD而DE平面PCD，所以BCDE又因?yàn)镻DCD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DEPC而PCBCC，所以DE平面PBC而PB平面PBC，所以PBDE又PBEF，DEEFE，所以PB平面DEF由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為DEB，DEF，EFB，DFB(2)如圖，在平面PBC內(nèi)，延長BC與FE交于點(diǎn)G，則DG是平面DEF與平面ABCD 的交線由(1)知，PB平面DEF，所以PBDG又因?yàn)镻D底面ABCD，所以PDDG而PDPBP，