近五年（2016-2020）全國卷Ⅰ理科數學《圓錐曲線》高考真題匯編【含答案】

1、2016-2020年全國卷理科數學圓錐曲線高考真題試卷匯編一、填空題。1.（2020全國1卷15題）已知F為雙曲線的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為_.二、選擇題。2.（2019全國1卷10題）已知橢圓的焦點為，過的直線與交于，兩點.若，則的方程為（ ）A. B. C. D.3.（2018全國1卷8題）設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點（2，0）且斜率為23的直線與C交于M，N兩點，則FMFN=（ ）。A. 5 B. 6 C. 7 D. 84.（2018全國1卷11題）已知雙曲線C：x23y2=1，O為坐標原點，F為C的右焦點，過F的

2、直線與C的兩條漸近線的交點分別為M、N.若OMN為直角三角形，則|MN|=（ ）。A. 32 B. 3 C. 23 D. 45.（2017全國1卷10題）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）A16B14C12D106.（2016全國1卷5題）已知方程EQ F(x2,m2+n)EQ F(y2,3m2n)=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是（ ）A.(1,3) B.(1,EQ R(3) C.(0,3) D.(0,EQ R(3)7.（2016全國1

3、卷10題）以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點.已知|AB|=，|DE|=，則C的焦點到準線的距離為（ ）A.2 B.4 C.6 D.8三、解答題。8.（2020全國1卷20題）已知A、B分別為橢圓E：（a1）的左、右頂點，G為E的上頂點，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.9.（2019全國1卷19題）已知拋物線的焦點為，斜率為的直線與的交點為，與軸的交點為.（1）若，求的方程；（2）若，求.10.（2018全國1卷19題） 設橢圓C:x22+y2=1的右焦點為F，過F的直線l與C交

4、于A,B兩點，點M的坐標為(2,0).（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；（2）設O為坐標原點，證明：OMA=OMB.11.（2017全國1卷20題）已知橢圓C：（ab0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點.12.（2016全國1卷20題）設圓的圓心為A，直線l過點B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.（I）證明為定值，并寫出點E的軌跡方程；（ = 2 * ROMAN II

5、）設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.答案一、填空題。1.（2020全國1卷15題）已知F為雙曲線的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為_.2【詳解】依題可得，而，即，變形得，化簡可得，解得或（舍去）故二、選擇題。2.（2019全國1卷10題）已知橢圓的焦點為，過的直線與交于，兩點.若，則的方程為（ ）A. B. C. D.B【詳解】由橢圓的焦點為，可知，又，可設，則，根據橢圓的定義可知，得，所以，可知，根據相似可得代入橢圓的標準方程，得，橢圓的方程為.3

6、.（2018全國1卷8題）設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點（2，0）且斜率為23的直線與C交于M，N兩點，則FMFN=（ ）。A. 5 B. 6 C. 7 D. 8D【詳解】分析：首先根據題中的條件，利用點斜式寫出直線的方程，涉及到直線與拋物線相交，聯(lián)立方程組，消元化簡，求得兩點M(1,2),N(4,4)，再利用所給的拋物線的方程，寫出其焦點坐標，之后應用向量坐標公式，求得FM=(0,2),FN=(3,4)，最后應用向量數量積坐標公式求得結果.詳解：根據題意，過點（2，0）且斜率為23的直線方程為y=23(x+2)，與拋物線方程聯(lián)立y=23(x+2)y2=4x，消元整理得：y26y+8=

7、0，解得M(1,2),N(4,4)，又F(1,0)，所以FM=(0,2),FN=(3,4)，從而可以求得FMFN=03+24=8，故選D.4.（2018全國1卷11題）已知雙曲線C：x23y2=1，O為坐標原點，F為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M、N.若OMN為直角三角形，則|MN|=（ ）。A. 32 B. 3 C. 23 D. 4B【詳解】根據題意，可知其漸近線的斜率為33，且右焦點為F(2,0)，從而得到FON=30，所以直線MN的傾斜角為60或120，根據雙曲線的對稱性，設其傾斜角為60，可以得出直線MN的方程為y=3(x2)，分別與兩條漸近線y=33x和y=33

8、x聯(lián)立，求得M(3,3),N(32,32)，所以MN=(332)2+(3+32)2=3，故選B.5.（2017全國1卷10題）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為A16B14C12D10A【詳解】設傾斜角為作垂直準線，垂直軸易知同理，又與垂直，即的傾斜角為而，即，當取等號即最小值為，故選A6.（2016全國1卷5題）已知方程EQ F(x2,m2+n)EQ F(y2,3m2n)=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是A.(1,3) B.(1,EQ R(3

9、) C.(0,3) D.(0,EQ R(3)A【詳解】由題意知：雙曲線的焦點在軸上，所以，解得：，因為方程表示雙曲線，所以，解得，所以的取值范圍是，故選A7.（2016全國1卷10題）以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點.已知|AB|=，|DE|=，則C的焦點到準線的距離為A.2 B.4 C.6 D.8B試題分析：如圖：設拋物線方程為，圓的半徑為r,交軸于點，則，即點縱坐標為，則點橫坐標為，即，由勾股定理知，即，解得，即的焦點到準線的距離為4，故選B.三、解答題。8.（2020全國1卷20題）已知A、B分別為橢圓E：（a1）的左、右頂點，G為E的上頂點，P為直線x

10、=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.（1）；（2）證明詳見解析.【詳解】（1）依據題意作出如下圖象：由橢圓方程可得：， ，橢圓方程為：（2）證明：設，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或將代入直線可得：所以點的坐標為.同理可得：點的坐標為直線的方程為：，整理可得：整理得：故直線過定點9.（2019全國1卷19題）已知拋物線的焦點為，斜率為的直線與的交點為，與軸的交點為.若，求的方程；若，求.（1）； （2）.【詳解】（1）設直線的方程為，設，聯(lián)立直線與拋物線的方程：消去化簡整理得，依題意可

11、知，即，故，得，滿足，故直線的方程為，即.（2）聯(lián)立方程組消去化簡整理得，可知，則，得，故可知滿足，.10.（2018全國1卷19題） 設橢圓C:x22+y2=1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A,B兩點，點M的坐標為(2,0).（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；（2）設O為坐標原點，證明：OMA=OMB.(1) AM的方程為y=-22x+2或y=22x-2；(2)證明見解析.【詳解】（1）由已知得F(1,0)，l的方程為x=1.由已知可得，點A的坐標為(1,22)或(1,-22).所以AM的方程為y=-22x+2或y=22x-2.（2）當l與x軸重合時，OMA=OMB=0.當l與x

12、軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以OMA=OMB.當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為y=k(x-1)(k0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，則x12,x2b0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點.； l過定點（2，）【詳解】（1）由于，兩點關于y軸對稱，故由題設知C經過，兩點.又由知，C不經過點P1，所以點P2在C上.因此解得故C的方程為.（2）設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設l：x=t，由題設知，且，可得A，B的坐標分別為（t，），（t，）.則，得，不符合題設.從而可設l：（）.將代入得.由題設可知.設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.而.由題設，故.即.解得.當且僅當時，于是l：，即，所以l過定點（2，）.12.（2016全國1卷20題）設圓的圓心為A，直線l過點B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.（I）證明為定值，并寫出點E的軌跡方程；（ = 2