高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 第3章專題17 直線與圓錐曲線之探索性問(wèn)題?？碱}型專題練習(xí)

1、直線與圓錐曲線之探索性問(wèn)題1、已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8.（1）求的離心率及方程；（2）試問(wèn)：是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）,； （2）存在點(diǎn)，且.【解析】（1）由題意可知，則，又的周長(zhǎng)為8，所以，即，則，.故的方程為.（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得為定值.若直線的斜率不存在，直線的方程為，則.若直線的斜率存在，設(shè)的方程為，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立，得，根據(jù)韋達(dá)定理可得：，由于，則 因?yàn)闉槎ㄖ担?，解得，故存在點(diǎn)，且.2、設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相切于點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（2

2、）問(wèn)是否存在直線，使得成立，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，所以可設(shè)直線的方程為，則由得，得，.（2）假設(shè)存在直線，使得成立，不妨設(shè)：，：，則由得，得，由得，得，得，由得到，兩邊平方得，即，得.3、已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為該橢圓的一條垂直于軸的動(dòng)弦，直線與軸交于點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為.（1）證明：點(diǎn)恒在橢圓上.（2）設(shè)直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）存在，【解析】（1）證明：由題意知，設(shè)，則.直線的方

3、程為，直線的方程為，聯(lián)立可得，即的坐標(biāo)為.因?yàn)?，所以點(diǎn)恒在橢圓上.（2）解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不符合題意.不妨設(shè)直線的方程為，由對(duì)稱性可知，若平面內(nèi)存在定點(diǎn)，使得恒成立，則一定在軸上，故設(shè)，由可得.因?yàn)橹本€與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，所以.又因?yàn)椋?，?所以對(duì)于任意的滿足的恒成立，所以解得.故在平面內(nèi)存在定點(diǎn)，使得恒成立.4、已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是，且軸，.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在斜率為的直線與以線段為直徑的圓相交于，兩點(diǎn)，與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）存在， 或【解析】（1）設(shè)，

4、由題意，得因?yàn)榻獾茫瑒t，又點(diǎn)在橢圓上，所以，解得.所以橢圓E的方程為；（2）假設(shè)存在斜率為的直線，設(shè)為，由（1）知，所以以線段為直徑的圓為.由題意，圓心到直線的距離，得.，由消去y，整理得.由題意，解得，又，所以.設(shè)，則，若，則整理得，解得，或.又，所以，即.故存在符合條件的直線，其方程為，或.5、橢圓：中，的面積為1，（）求橢圓的方程；（）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，、是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，直線、分別交于、，是否存在點(diǎn)，使，若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（）（）存在，的橫坐標(biāo)為或或【解析】（）由題意可得，的面積為，又，可得，解得，則橢圓的方程為；（）假設(shè)存在點(diǎn)，使，設(shè)，與軸交于，過(guò)

5、作軸的垂線交軸于，又，由，可得，即，可得，則，即，可得，或，又，則或，故存在，且的橫坐標(biāo)為或或6、已知橢圓,直線不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為（）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（）若過(guò)點(diǎn)，延長(zhǎng)線段與交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)的斜率，若不能，說(shuō)明理由【答案】（）詳見(jiàn)解析；（）能，或【解析】 (1)設(shè)直線，由得，直線的斜率，即即直線的斜率與的斜率的乘積為定值（2）四邊形能為平行四邊形直線過(guò)點(diǎn)，不過(guò)原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是，由 ()得的方程為設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為由得，即將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得，因此四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即解得

6、，當(dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí)，四邊形為平行四邊形7、已知橢圓E:的一個(gè)焦點(diǎn)為,長(zhǎng)軸與短軸的比為2:1.直線與橢圓E交于PQ兩點(diǎn),其中為直線的斜率.(1)求橢圓E的方程;(2)若以線段PQ為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,問(wèn):是否存在一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的定圓O,不論直線的斜率取何值,定圓O恒與直線相切?如果存在,求出圓O的方程及實(shí)數(shù)m的取值范圍;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1) (2)存在,.的取值范圍是【解析】 (1)由已知得:解得:橢圓E的方程為 (2)假設(shè)存在定圓O,不論直線的斜率k取何值時(shí),定圓O恒與直線相切.這時(shí)只需證明坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為定值即可.設(shè)直線OP的方程為:點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,聯(lián)立方程

7、組以線段PQ為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,直線OQ的方程為:在式中以換t,得又由知:設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為d,則有又當(dāng)直線OP與軸重合時(shí),此時(shí)由坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為定值知,所以存在定圓O,不論直線的斜率k取何值時(shí),定圓O恒與直線相切,定圓O的方程為:.直線與軸交點(diǎn)為,且點(diǎn)不可能在圓O內(nèi),又當(dāng)k=0時(shí),直線與定圓O切于點(diǎn),所以的取值范圍是8、設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且橢圓過(guò)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)、，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的最大值，若不存在說(shuō)明理由.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)，且，解得答案.（2）設(shè)切線方程為，根據(jù)垂直得到，故，得到，考慮和和斜率不存在三種情況，分別計(jì)算得到答案.【詳解】（1）根據(jù)題意：，且，解得，故標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）假設(shè)存