內(nèi)蒙古大學(xué)通信原理課件第3章隨機信號分析

1、第三章 隨機信號分析本章主要內(nèi)容 隨機信號與噪聲的特性 隨機過程通過線性系統(tǒng)的分析方法3.1 引言通信過程就是信號和噪聲通過系統(tǒng)的過程。統(tǒng)計學(xué)上：隨機過程。通信中信號特點：具有不可預(yù)知性隨機信號。通信中噪聲特點：具有不確定性隨機噪聲。3.2 隨機過程概述3.1 概述 隨機過程是由全部實現(xiàn)構(gòu)成的總體，每個實現(xiàn)都是確定的時間函數(shù)，而隨機性就體現(xiàn)在出現(xiàn)哪一個實現(xiàn)是不確定的。ttn(t)tn(t)n(t) 基本特征： 為時間的函數(shù)； 在時刻t1全體樣本的取值 是一個不含t 變化的隨機變量。可見，隨機過程具有隨機變量和時間函數(shù)的特點。（1）分布函數(shù)設(shè)隨機過程 ，t1時刻的 是隨機變量，則（t）的統(tǒng)計特性

2、用以下特征表述。隨機過程的統(tǒng)計特性是用其概率分布和數(shù)字特征來表述的。顯然，隨即過程的一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)僅僅描述了隨機過程在各個孤立時刻的統(tǒng)計特性。一維分布函數(shù)：一維概率密度函數(shù)：F1(x1,t1)=P(t1) x1二維概率密度函數(shù)：二維分布函數(shù):F2(x1, x2 ；t1 ,t2)=P(t1) x1, (t2) x2 n維概率密度函數(shù)：n維分布函數(shù):Fn(x1, x2 xn; t1 t2 tn)=P(t1) x1 (tn) xn 為了反映隨機過程在不同時刻取值間的內(nèi)在聯(lián)系，引入：顯然,n越大，對隨機過程的描述越充分，但問題的復(fù)雜性也就越大。（2）數(shù)字特征a. 數(shù)學(xué)期望（統(tǒng)計平均）表

3、示隨機過程的n個樣本函數(shù)曲線的擺動中心。b. 方差表示隨機過程在時刻t對于均值a(t)的偏離程度。二者關(guān)系為c. 相關(guān)和協(xié)方差函數(shù)衡量隨機過程在任意兩個時刻獲得的隨機變量之間的關(guān)聯(lián)程度。3.2 平穩(wěn)隨機過程指其統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化，在通信領(lǐng)域中占有重要地位。一維分布與t無關(guān)：f1(x,t)=f1(x)二維分布只與有關(guān)：f2(x1, x2; t1, t2) = f2(x1, x2; t1+ , t2+ ) （1） 狹義平穩(wěn) fn(x1,x2, ,xn; t1,t2, ,tn)= fn(x1,x2, ,xn; t1+,t2+, ,tn +)說明當(dāng)取樣點在時間軸上作任意平移時，隨機過程的所有

4、有限維分布函數(shù)是不變的。（2） 廣義平穩(wěn)E(t)=a, D(t)=2, R(t1 ,t1+ )=R()（3） 各態(tài)歷經(jīng)性 用平穩(wěn)隨機過程中的任一實現(xiàn)x(t)的數(shù)字特征表示隨機過程的全部數(shù)字特征，即可用時間平均取代統(tǒng)計平均。平均方差自相關(guān)注意：具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機過程必定是平穩(wěn)的隨機過程，但平穩(wěn)隨機過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系統(tǒng)中遇到的隨機信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。3.3 平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度1 相關(guān)函數(shù)性質(zhì) R（0）=E2(t)=S (t)平均功率可見用相關(guān)函數(shù)可以表示平穩(wěn)隨機過程(t)的幾乎所有的數(shù)字特征。 R（）= E2(t) (t)直流功率 |R（）| R（

5、0） 有界 R（）= R（-） 偶函數(shù) R(0) R（）=2 方差 (t)交流功率2 頻譜特性對于平穩(wěn)隨機過程，其自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間存在傅立葉變換關(guān)系。P() R()隨機過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表示的。(t)平均功率功率譜密度P() 的性質(zhì)： P() 0， 非負性； P(-) = P()，偶函數(shù)性； 所以，定義單邊功率譜密度P0() 為：例：某隨機相位余弦波 ，其中A和 均為常數(shù)， 是在 內(nèi)均分布的隨機變量。（1）求(t)的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度；（2）討論(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。解： （1） (t)是否平穩(wěn)？所以 (t)是廣義平穩(wěn)隨機過程，即有P() R()（2）求(t)

6、的時間平均。3.4 高斯過程（正態(tài)隨機過程）通信系統(tǒng)中的噪聲一般均可看成是高斯過程。我們只討論一維分布的高斯過程。一維正態(tài)分布：a均值，2方差 f(x) x a標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布： f(x) x a f(x)的性質(zhì)： （1）對稱 x=a直線 （2）單調(diào)性（-，a） （a，+） （3）（4）a變化，f（x）左右平移；變化， f（x）高低、寬窄變化。 幾個特殊函數(shù)形式概率積分函數(shù)Q函數(shù) 互補誤差函數(shù) erf(0)=0, erf()=1, erf(-x)=-erf(x)誤差函數(shù) erfc(0)=1, erf()=0, erf(-x)=2-erfc(x)正態(tài)分布函數(shù)其中為高斯隨機變量。當(dāng)xa時，當(dāng)xa時，

7、用特殊函數(shù)表示正態(tài)函數(shù)3.5 窄帶隨機過程 隨機過程通過以fc為中心的窄帶系統(tǒng)輸出，其頻譜限制在某一中心頻率fc附近很窄的頻帶上，且fc0.(1) 頻域S(f)f0fc-fc(f)(f)(2) 時域：頻率近似為fc，包絡(luò)和相位緩慢變化的正弦波。(t)=a (t) cosct+(t)隨機過程表示其中 a (t) 0包絡(luò)函數(shù)， c中心頻率， (t)隨機相位函數(shù)(t)= c(t) cosct s(t) sinct隨機過程表示其中 c(t) = a (t) cos (t)(t)的同相分量 s(t) = a (t) sin (t)(t)的正交分量 a2= 2c+2s=arctg(s/ c)討論平穩(wěn)窄帶隨

8、機過程(t)的 c(t) 、 s(t) 和a (t)、 (t)的統(tǒng)計特性。對于一個均值為零、方差為2窄帶平穩(wěn)隨機過程：（1） c(t) 和 s(t)同樣是平穩(wěn)高斯過程，在同一時刻上得到的c、 s不相 關(guān)或統(tǒng)計獨立。且有 Ec(t) = Es(t) =0, 2= 2c = 2s （2） a (t)的一維分布是瑞利分布， (t)的一維分布是均勻分布，就一 維分布而言， a 和統(tǒng)計獨立。瑞利分布均勻分布3.6 正弦波加窄帶高斯過程給定時，zc(t), zs(t)為平穩(wěn)隨機過程，均值不為0，方差相同。 同一時刻，zc(t), zs(t)統(tǒng)計獨立。表示1信號與窄帶噪聲的混合波形信道接收機BPF噪聲信號表

9、示2包絡(luò)概率密度 - 廣義瑞利(萊斯)分布Io(x)-零階修正貝塞爾函數(shù)。兩種極限情況：（1）信號很小，即A0，則r(t)中只存在窄帶高斯噪聲，接近瑞利分布；（2）信號很大，則f(z)近似為高斯分布，即3.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲3.7.1 白噪聲：功率譜密度在整個頻域內(nèi)均勻分布。自相關(guān)函數(shù)可見，白噪聲只有在=0，才相關(guān)，而它在任意兩個時刻上的隨機變量都是互不相關(guān)的。雙邊功率譜密度單邊功率譜密度高斯白噪聲：白噪聲取值的概率分布服從高斯分布。通信系統(tǒng)中作為信道中的噪聲模型。3.7.2 帶限白噪聲：白噪聲通過帶限系統(tǒng)后，且其譜密度具有白噪聲特性。1. 低通白噪聲：限制在（-f0，f0）的白噪聲。

10、2. 帶通白噪聲若 ，則稱為窄帶高斯白噪聲，有2.7 隨機過程通過線性系統(tǒng)建立在確知信號通過線性系統(tǒng)的分析原理基礎(chǔ)上的 。h(t)若系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的，則當(dāng)輸入有界，且系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的，則有1、0(t)的數(shù)學(xué)期望h(t)平穩(wěn)隨機過程可以將vi(t)看成是輸入隨機過程的一個樣本，vo(t)看成是輸出隨機過程的一個樣本，于是有輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)期望與直流傳遞函數(shù)H(0)的乘積。2、0(t)的自相關(guān)函數(shù)Ro(t1,t1+) o(t)的自相關(guān)函數(shù)只依賴時間間隔而與時間起點t1無關(guān)?？梢?，若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。4、0(t)的分布高斯過程經(jīng)過線性變換后的過程仍為高斯的，但其數(shù)字特征已發(fā)生改變。3、0(t)的功率譜密度