模擬退火算法在貸款組合優(yōu)化決策中的應(yīng)用

1、模擬退火火算法在在貸款組組合優(yōu)化化決策中中的應(yīng)用用劉則毅 劉劉燦（天津大大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)系，天天津 33000072）摘要 針針對(duì)貸款款組合優(yōu)優(yōu)化決策策模型的的求解問(wèn)問(wèn)題，本本文提出出了一種種改進(jìn)的的模擬退退火算法法。數(shù)值值計(jì)算的的結(jié)果表表明，該該算法具具有很強(qiáng)強(qiáng)的適用用性。關(guān)鍵詞 貸款組組合 模擬退退火全局局優(yōu)化 隨機(jī)機(jī)搜索1 引引言風(fēng)險(xiǎn)貸款款組合配配給決策策，是在在綜合考考慮貸款款收益和和風(fēng)險(xiǎn)的的前提下下，從眾眾多的貸貸款對(duì)象象中選擇擇一組合合適的貸貸款對(duì)象象的過(guò)程程。文獻(xiàn)11中建建立了基基于單位位風(fēng)險(xiǎn)收收益最大大原則的的貸款組組合優(yōu)化化決策模模型。該該問(wèn)題的的求解過(guò)過(guò)程在規(guī)規(guī)模較小小時(shí)是簡(jiǎn)簡(jiǎn)單

2、易行行的，但但隨著問(wèn)問(wèn)題規(guī)模模的增大大，其計(jì)計(jì)算量隨隨之呈指指數(shù)型增增長(zhǎng)。因因此，需需要設(shè)計(jì)計(jì)出一種種兼顧解解的質(zhì)量量以及運(yùn)運(yùn)行時(shí)間間的較好好算法。模擬退火火算法是是80年代代初期發(fā)發(fā)展起來(lái)來(lái)的一種種求解大大規(guī)模組組合優(yōu)化化問(wèn)題的的隨機(jī)性性方法。它以優(yōu)優(yōu)化問(wèn)題題的求解解與物理理系統(tǒng)退退火過(guò)程程的相似似性為基基礎(chǔ)，利利用Meetroopollis算算法并適適當(dāng)?shù)目乜刂茰囟榷鹊南陆到颠^(guò)程實(shí)實(shí)現(xiàn)模擬擬退火，從而達(dá)達(dá)到求解解全局優(yōu)優(yōu)化問(wèn)題題的目的的。它具具有描述述簡(jiǎn)單、使用靈靈活、運(yùn)運(yùn)用廣泛泛、運(yùn)行行效率高高和較少少受初始始條件限限制等優(yōu)優(yōu)點(diǎn)。模模擬退火火算法在在搜索策策略上與與傳統(tǒng)的的隨機(jī)搜搜索方法

3、法不同，它不僅僅引入了了適當(dāng)?shù)牡碾S機(jī)因因素，而而且還引引入了物物理系統(tǒng)統(tǒng)退火過(guò)過(guò)程的自自然機(jī)理理。這種種自然機(jī)機(jī)理的引引入使模模擬退火火算法在在迭代過(guò)過(guò)程中不不僅接受受使目標(biāo)標(biāo)函數(shù)值值變“好”的試探探點(diǎn)，而而且還能能夠以一一定的概概率接受受使目標(biāo)標(biāo)函數(shù)值值變“差”的試探探點(diǎn)，接接受概率率隨著溫溫度的下下降逐漸漸減小。模擬退退火算法法的這種種搜索策策略有利利于避免免搜索過(guò)過(guò)程因陷陷入局部部最優(yōu)解解而無(wú)法法自拔的的弊端，有利于于提高求求得全局局最優(yōu)解解的可靠靠性。本文提出出了一種種求解上上述模型型的改進(jìn)進(jìn)模擬退退火算法法，數(shù)據(jù)據(jù)結(jié)果表表明該算算法計(jì)算算效率高高，穩(wěn)定定性好。2 模模型本模型的的建立

4、基基于以下下三個(gè)原原則：（1）單單位風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)收益最最大原則則通過(guò)計(jì)計(jì)算組合合投資的的平均收收益與組組合風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)之比來(lái)來(lái)判斷組組合方案案的優(yōu)劣劣，比值值大的組組合方案案代表其其單位風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)所獲獲得的收收益也大大。（2）貸貸款剩余余資源最最少原則則如果僅僅依據(jù)單單位風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)收益最最大原則則來(lái)決策策，就可可能出現(xiàn)現(xiàn)只有很很少幾個(gè)個(gè)項(xiàng)目被被選中的的情況，這樣會(huì)會(huì)造成分分配后的的剩余資資金過(guò)多多。因此此，在貸貸款組合合優(yōu)化決決策中，應(yīng)在每每筆單項(xiàng)項(xiàng)貸款可可行的基基礎(chǔ)上，增加一一個(gè)最低低貸款額額度Lb的約束束條件，以使剩剩余資金金處于銀銀行可以以接受的的水平。（3）可可比性原原則貸款款項(xiàng)目的的使用年年限或壽壽命不

5、盡盡相同，若采用用凈現(xiàn)值值（NPPV）作作為評(píng)價(jià)價(jià)指標(biāo)，則不具具有可比比性。為為使評(píng)價(jià)價(jià)指標(biāo)具具有可比比性，應(yīng)應(yīng)采用總總凈現(xiàn)值值進(jìn)行評(píng)評(píng)價(jià)。設(shè)為貸貸款組合合的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差，用用來(lái)衡量量貸款組組合的總總風(fēng)險(xiǎn)；m為申請(qǐng)請(qǐng)貸款企企業(yè)的個(gè)個(gè)數(shù)；TTNPVVi，TNPPVj分別為為第i個(gè)企業(yè)業(yè)和第jj個(gè)企業(yè)業(yè)新建項(xiàng)項(xiàng)目的總總凈現(xiàn)值值；Xi =11為0-11變量，Xi =00為第i個(gè)貸款款企業(yè)未未被選中中，Xi =11為第i個(gè)貸款款企業(yè)被被選中；covv（TNPPViXi，TNPPVjXj）為第第i個(gè)項(xiàng)目目總凈現(xiàn)現(xiàn)值與第第j個(gè)項(xiàng)目目總凈現(xiàn)現(xiàn)值的斜斜方差，即二者者的組合合風(fēng)險(xiǎn)；當(dāng)Xi =00時(shí)，第第i個(gè)貸款款企

6、業(yè)項(xiàng)項(xiàng)目未被被選中，其與第第j個(gè)貸款款企業(yè)項(xiàng)項(xiàng)目的協(xié)協(xié)方差為為0。則貸貸款組合合的總風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)為= covv（TNPPViXi，TNPPVjXj）= Xi Xjcovv（TNPPVi，TNPPVj）貸款組合合的總效效益為T(mén)TNPVV= TTNPVViXi根據(jù)上述述原則，設(shè)W為貸款款的單位位風(fēng)險(xiǎn)收收益，則則決策模模型目標(biāo)標(biāo)函數(shù)為為maxxW=TTNPVV/。設(shè)L為銀銀行貸款款總額，Li為i第個(gè)企企業(yè)新建建項(xiàng)目所所需貸款款額，LLa為銀行行中長(zhǎng)期期貸款的的可用頭頭寸，LLb為銀行行中長(zhǎng)期期貸款組組合的最最低配給給額。根根據(jù)上述述原則，資金約約束為L(zhǎng)bLLLa，L=LiXi綜合上述述內(nèi)容，可得到到貸款風(fēng)

7、風(fēng)險(xiǎn)組合合優(yōu)化決決策模型型如下：obj maxxW=TTNPVV/s.t. LiXiLaLiXiiLb（）其中TNPVV= TNPPViXi= Xi Xjcovv（TNPPVi，TNPPVj）Xi=i =11m3 改改進(jìn)的模模擬退火火算法上述組合合優(yōu)化問(wèn)問(wèn)題屬于于NP完全全問(wèn)題，該問(wèn)題題的求解解需要問(wèn)問(wèn)題規(guī)模模的指數(shù)數(shù)階時(shí)間間。當(dāng)有有m個(gè)企企業(yè)申請(qǐng)請(qǐng)貸款時(shí)時(shí)，即問(wèn)問(wèn)題規(guī)模模為m時(shí)時(shí)有2mm個(gè)解（含不可可行解），找出出最優(yōu)解解需要進(jìn)進(jìn)行2mm-1次次比較運(yùn)運(yùn)算。用用運(yùn)算能能力為11Mfllopss(每秒秒一百萬(wàn)萬(wàn)次浮點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)算)的計(jì)算算機(jī)進(jìn)行行求解，在m=10時(shí)時(shí)只需11ms，而而當(dāng)m=60時(shí)時(shí)，

8、需用用3666世紀(jì)！因此，需要找找出兼顧顧解的質(zhì)質(zhì)量以及及運(yùn)算時(shí)時(shí)間的較較好算法法。模擬擬退火算算法是一一種解大大規(guī)模組組合優(yōu)化化問(wèn)題，特別是是NP完全全問(wèn)題的的有效近近似算法法。它源源于對(duì)固固體退火火過(guò)程的的模擬；采用MMetrropooliss接受準(zhǔn)準(zhǔn)則；并并用一種種稱為冷冷卻進(jìn)度度表的參參數(shù)控制制算法進(jìn)進(jìn)程，使使算法在在多項(xiàng)式式時(shí)間里里給出一一個(gè)近似似最優(yōu)解解。模擬退火火算法的的一般形形式是：從選定定的初始始解開(kāi)始始，在借借助于控控制參數(shù)數(shù)t遞減時(shí)時(shí)產(chǎn)生的的一系列列Mappkobb鏈中，利用一一個(gè)新解解產(chǎn)生裝裝置和接接受準(zhǔn)則則，重復(fù)復(fù)進(jìn)行包包括“產(chǎn)生新新解計(jì)算目目標(biāo)函數(shù)數(shù)差判斷是是否接受

9、受新解接受受（或舍舍棄）新新解”這四個(gè)個(gè)任務(wù)的的試驗(yàn)，不斷對(duì)對(duì)當(dāng)前解解迭代，從而達(dá)達(dá)到使目目標(biāo)函數(shù)數(shù)最優(yōu)的的執(zhí)行過(guò)過(guò)程。針針對(duì)模型型（），對(duì)對(duì)模擬退退火過(guò)程程中的關(guān)關(guān)鍵步驟驟說(shuō)明如如下：（1）新新解產(chǎn)生生裝置。在1m之間間隨機(jī)選選取i和j，當(dāng)前前解中若若第i個(gè)和第第j個(gè)企業(yè)業(yè)獲得貸貸款狀態(tài)態(tài)相同則則改變第第i個(gè)企業(yè)業(yè)的貸款款狀態(tài)；若不同同則交換換其狀態(tài)態(tài)。即（2）關(guān)關(guān)于初始始點(diǎn)的調(diào)調(diào)整。由由于模型型約束條條件中上上下限的的限制嚴(yán)嚴(yán)格，對(duì)對(duì)于一個(gè)個(gè)離可行行域比較較遠(yuǎn)的初初始點(diǎn)（例如取取X0=(00, ,0)），通過(guò)過(guò)上述新新解產(chǎn)生生裝置可可能無(wú)法法在初始始點(diǎn)的“附近”找到可可行解。因此，需進(jìn)行行

10、一個(gè)快快速調(diào)整整的過(guò)程程。即若若LLb（貸款款總額未未達(dá)到最最低限額額）則依依次選取取未獲貸貸款企業(yè)業(yè)，改變變其貸款款狀況使使之獲得得貸款，重復(fù)這這一過(guò)程程直到符符合條件件。若貸貸款超額額則依次次取消某某些企業(yè)業(yè)的貸款款使之符符合條件件。（3）接接受準(zhǔn)則則。采取取擴(kuò)充的的Mettroppoliis接受受準(zhǔn)則判判斷是否否接受新新解。若若新解可可行且優(yōu)優(yōu)于當(dāng)前前解則接接受；否否則按eexp(W/t)或0的的概率接接受新解解。即P=（4）停停止準(zhǔn)則則。當(dāng)控控制參數(shù)數(shù)t遞減減至設(shè)定定值時(shí)停止止算法。根據(jù)模擬擬退火思思想設(shè)計(jì)計(jì)適合模模型（）的算算法如下下： 步驟1 產(chǎn)生生初始解解X0，其中中=（x1,

11、xxm）| xxi0,1為可能能解集合合，xi代表第第i個(gè)企業(yè)業(yè)是否獲獲得貸款款的狀態(tài)態(tài)。計(jì)算算相應(yīng)的的目標(biāo)函函數(shù)值WW0；給出出控制參參數(shù)初值值t0, Maapkoob鏈長(zhǎng)長(zhǎng)度N以以及停止止參數(shù)KK和。步驟2 判斷斷初始解解的可行行性。若若不可行行則快速速調(diào)整，否則轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)步驟33。步驟3 產(chǎn)生生新解并并計(jì)算新新解與當(dāng)當(dāng)前解的的目標(biāo)函函數(shù)值之之差W。然后后由接受受準(zhǔn)則計(jì)計(jì)算P(W, tt)，取?。?,1）上上服從均均勻分布布的隨機(jī)機(jī)數(shù)，若P(W, tt)接受新新解，否否則放棄棄新解。步驟4 累計(jì)計(jì)重排次次數(shù)n。若nN轉(zhuǎn)步步驟3，否則轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)步驟55。步驟5 判斷斷停止準(zhǔn)準(zhǔn)則是否否滿足。若不滿滿足則令

12、令t=00.9tt,n=0轉(zhuǎn)步步驟3，否則停停止算法法輸出當(dāng)當(dāng)前解。由于模擬擬退火算算法的隨隨機(jī)性，終止解解可能不不是整個(gè)個(gè)過(guò)程所所遇到的的解中最最優(yōu)的。即使是是最優(yōu)的的，雖然然可證明明算法對(duì)對(duì)整體最最優(yōu)解的的漸進(jìn)收收斂性，但終止止解的可可接受性性也不能能不遭到到懷疑。另外，當(dāng)終止止解在最最優(yōu)解的的附近時(shí)時(shí)，算法法本身不不能迅速速逼近或或達(dá)到它它。因此此，對(duì)上上述算法法進(jìn)行如如下改進(jìn)進(jìn)：（1）設(shè)設(shè)置記憶憶器。設(shè)設(shè)變量XX*和WW*分別別用于記記憶當(dāng)前前遇到的的最優(yōu)解解及目標(biāo)標(biāo)函數(shù)值值。算法法開(kāi)始時(shí)時(shí)令X*和W*分別等等于初始始解及其其目標(biāo)函函數(shù)值；以后每每接受一一個(gè)新解解時(shí)，就就將當(dāng)前前解的目

13、目標(biāo)函數(shù)數(shù)值與WW*作比比較，若若優(yōu)于WW*就用用當(dāng)前解解替換XX*和WW*。最最后算法法結(jié)束時(shí)時(shí)，將所所得最優(yōu)優(yōu)解與記記憶器中中的解比比較，取取較優(yōu)的的一個(gè)作作為當(dāng)前前最優(yōu)解解。（2）算算法最后后鏈接一一個(gè)局部部搜索過(guò)過(guò)程。以以上步所所得當(dāng)前前最優(yōu)點(diǎn)點(diǎn)為起點(diǎn)點(diǎn)，用新新解產(chǎn)生生裝置產(chǎn)產(chǎn)生新解解，僅當(dāng)當(dāng)優(yōu)于當(dāng)當(dāng)前解時(shí)時(shí)接受。重復(fù)若若干次后后終止算算法。經(jīng)過(guò)上述述改進(jìn)后后的模擬擬退火算算法具有有較好的的穩(wěn)定性性，可以以獲得更更好的近近似解甚甚至整體體最優(yōu)解解。4 實(shí)實(shí)例分析析某銀行新新建項(xiàng)目目的貸款款頭寸LLa為3000萬(wàn)元元，貸款款最低完完成任務(wù)務(wù)Lb為2770萬(wàn)元元。現(xiàn)有有十個(gè)企企業(yè)申請(qǐng)請(qǐng)基建

14、貸貸款。有有關(guān)信息息如表一一、表二二所示。現(xiàn)在要要求確定定銀行的的貸款組組合決策策，以決決定對(duì)哪哪些企業(yè)業(yè)發(fā)放貸貸款。表一 貸款組組合備選選方案項(xiàng) 目投 資352839.9931.555626.225632124.5511.22TNPVVi47.11845.22225.44072.88622.44520.77796.77643.00143.44222.442表二 總凈現(xiàn)現(xiàn)值TNNPV的的協(xié)方差差矩陣ccov（TNPPVi，TNPPVj）123456789101600.00400.0012000.000500.0015000.000980.0013000.000700.00640.00400.0

15、02400.00266.67800.00333.3310000.000653.33866.67466.67426.67266.67312000.000800.0026000.000966.6731000.00021000.00023000.00014333.33314133.333746.674500.00333.33966.67422.2212333.333793.3311333.333577.78511.11342.22515000.00010000.00031000.00012333.33338000.00025200.00031000.00017666.67716666.677973.

16、336980.00653.3321000.000793.3325200.00016988.67719133.33311666.67711388.677616.00713000.000866.6723000.00011333.33331000.00019133.33332666.67714666.67711866.677946.678700.00466.6714333.333577.7817666.67711666.67714666.677822.22768.89457.789640.00426.6714133.333511.1116666.67711388.67711866.677768.89

17、771.56391.1110400.00266.67746.67342.22973.33616.00946.67457.78391.11280.89運(yùn)用MAATLAAB軟件件，可以以根據(jù)上上述算法法編制相相應(yīng)程序序?qū)υ搯?wèn)問(wèn)題進(jìn)行行求解。其中相相關(guān)參數(shù)數(shù)的設(shè)置置為：XX0=(00,0,0,00,0,0,00,0,0,00)，tt0=1，N=55,=0.002。在在計(jì)算機(jī)機(jī)上運(yùn)行行后得到到最優(yōu)解解X*=(1,1,00,1,1,00,1,1,11,1)。結(jié)合合這一實(shí)實(shí)例對(duì)算算法的主主要性能能分析如如下：（1）按按照上述述參數(shù)設(shè)設(shè)置，算算法運(yùn)行行中總共共比較了了不到三三百個(gè)方方案（包包括不可可行解），

18、而對(duì)對(duì)m=100的模型型共有110244個(gè)方案案可供選選擇。由由此可見(jiàn)見(jiàn)這一算算法極大大的提高高了計(jì)算算效率，節(jié)省了了計(jì)算時(shí)時(shí)間。（2）將將程序連連續(xù)運(yùn)行行10次次，其中中有9次次獲得了了理想的的結(jié)果（即整體體最優(yōu)解解），因因而算法法的穩(wěn)定定性能是是非常好好的。進(jìn)進(jìn)一步分分析可知知，有五五次運(yùn)行行是在常常規(guī)算法法階段就就得到了了最優(yōu)解解，還有有兩次是是在記憶憶器中得得到的最最優(yōu)解，另有兩兩次是在在最后的的局部搜搜索中才才得到理理想結(jié)果果。由此此可見(jiàn)，對(duì)原常常規(guī)算法法進(jìn)行改改進(jìn)是必必要的，也是可可行的，這一改改進(jìn)保證證了算法法的穩(wěn)定定性。5 結(jié)結(jié)論本文針對(duì)對(duì)貸款組組合優(yōu)化化決策模模型的求求解問(wèn)題題，提出出了一種種改進(jìn)的的模擬退退火算法法。數(shù)值值計(jì)算的的結(jié)果表表明，該該算法具具有很強(qiáng)強(qiáng)的適用用性。 將模擬擬退火算算法運(yùn)用用于貸款款組合優(yōu)優(yōu)化決策策模型的的求解是是完全可可行的。參考文獻(xiàn)獻(xiàn)1 遲遲國(guó)泰、秦學(xué)志志、朱戰(zhàn)戰(zhàn)宇 基基于單位位風(fēng)險(xiǎn)收收益最大大原則的的貸款組組合優(yōu)化化決策模模型. 控制與與決策，20000，44：46694472。2 康康立山、謝云、尤矢勇勇、羅祖祖華. 非數(shù)值值并行算算法模擬退退火算法法. 北京：科學(xué)出出版社，19998。3 王王強(qiáng)。模模擬退火火算法的的改進(jìn)及及其應(yīng)用用. 應(yīng)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)，19993，4：33923977。An SSimu