16第十六章虛位移原理

1、I虛位移關(guān)系的建立1.幾何法：定常約束下 用dr 代替 rrA幾何學(xué) 或 運(yùn)動(dòng)學(xué) 知識(shí)AOrB度： k 65 1取廣義坐標(biāo)：Bdr d tv dr v d tr OA 幾何學(xué)A微小實(shí)位移 rA OA B I OA運(yùn)動(dòng)學(xué) BAIAII在同一瞬時(shí)（位置），各點(diǎn)之間的虛位移關(guān)系等同于各點(diǎn)之間的(角)速度的關(guān)系。虛位移方向：運(yùn)動(dòng)方向12.虛位移與實(shí)位移的區(qū)別與聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)可以有虛位移，但沒有實(shí)位移。即：實(shí)位移與力有關(guān)，而虛位移只與約束有關(guān)。虛位移是約束允許的微小位移，與時(shí)間無關(guān)； rA 實(shí)位移是真實(shí)發(fā)生的位移，可以是微小值，dr也可以是有限值，而且與時(shí)間有關(guān)。虛位移不唯一，而實(shí)位移是唯一的。在定常系統(tǒng)中

2、，微小的實(shí)位移一定是虛位移之一。在非定常系統(tǒng)中，微小的實(shí)位移不再一定是虛位移之一。r2 W drr2 WrWr1dr1(三).虛位移1.虛位移與實(shí)位移虛位移：質(zhì)點(diǎn)(系)在給定瞬時(shí)為約束所容許的微小位移drrArrMAOBrA B rB虛位移不唯一虛位移可以是線位移，也可以是角位移。實(shí)位移：在一定時(shí)間間隔內(nèi)，系統(tǒng)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的位移。所謂 真實(shí)運(yùn)動(dòng) 是指既滿足運(yùn)動(dòng)微分方程和初始條件，又滿足約束方程的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)。因此，在任意位置，質(zhì)點(diǎn)和系統(tǒng)的實(shí)位移是唯一的。(二).度與廣義坐標(biāo)（用于表示質(zhì)點(diǎn)系位置）度：獨(dú)立坐標(biāo)的個(gè)數(shù)平面內(nèi)質(zhì)點(diǎn)系： k 2n s,k 3n s,二個(gè)約束方程數(shù)n：質(zhì)點(diǎn)數(shù)s：完整約束方

3、程數(shù)x 2 + y 2 = a 211廣義坐標(biāo)：獨(dú)立參數(shù)( x x )2 + ( y y )2 = b22121完整約束下 q1 ,k 二個(gè)廣義坐標(biāo)：xi = xi ( q1 ,k ) 1. q = , q = axy = y (.q )11 22 ， 1ii2k2. q = , q = y ，A(x1、y1)11 22zi = zi ( q1 ,k ) 3. q = x , q = y ， b11 222ri = ri ( q1 ,k )4. 等。yi = 1,2, ,n不唯一B(x2、y2)唯一性2個(gè)度與時(shí)間的關(guān)系3.定常約束與非定常約束非定常幾何約束（轉(zhuǎn)化）f ( x , y , z z

4、 ,t ) = 0 ,vt繩不松弛j 1 1 1nF非定常運(yùn)動(dòng)約束f j ( x1 , y1 , z1 x n , yn , zn ,t ) = 0( j = 1,2, s )x 2 + y2 = ( l vt )20約束：質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的事先給定的幾何學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)上的限制條件vt意義更廣：也限制速度或與時(shí)間有關(guān) F主要 ：雙面的、定常的、完整約束的第十六章 虛位移原理一、基本概念：y(一).約束：及其分類約束方程繩限制內(nèi)容 1.完整約束與非完整約束z轉(zhuǎn)化(桿)f ( x , y , z x , y , z ) = 0j 1 1 1n n n( j = 1,2, s1 )xf ( x

5、, y , z x , y , z ,rj 1 1 1n n nx2 + y2 + z 2 l 2x1 , y1 , z1 x n , yn , zn ),( j = 1,2, s )z2幾何約束與運(yùn)動(dòng)約束(除外：能積分的)r vv r = 0 ,M純滾動(dòng)x r = 0 ,yxf ( x, y, z ) = 0限制程度 2.雙面(側(cè))約束與單面(側(cè))約束2例1 已知 OA=L，求系A(chǔ) 900統(tǒng)在圖示位置平衡時(shí)，C MC2 （約束轉(zhuǎn)化）1m gm g 力偶矩M與力F的關(guān)系12BFO（不計(jì)摩擦）m3 g 基本步驟：具有雙面、定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系確定系統(tǒng)是否滿足原理的應(yīng)用條件分析并表示主動(dòng)力作用點(diǎn)

6、的虛位移 建立關(guān)系n 列出虛功方程Fi ri 0 并求解i 1n （2）充分性 命題：Fi ri 0 則質(zhì)點(diǎn)系平衡。i1反證法：質(zhì)點(diǎn)系不平衡，則上式不成立。設(shè)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)不平衡： FRi 0 Wi FRi dri 0( Fi F 0n質(zhì)點(diǎn)系( Fi ri F) 0i 1n n 不平衡質(zhì)點(diǎn)F 0 Fi ri 0i1i1所以，上式成立，質(zhì)點(diǎn)系必定平衡。二、虛位移原理（虛功原理）具有雙面、定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系， 在給定位置平衡的充要條件是：所有主動(dòng)力在質(zhì)點(diǎn)系任何虛位移中的之和等于零。 F r 0nWii代數(shù)形式 Fi ricos i 0i1n形式 (Fxixi Fyiyi Fzizi ) 0i 1證

7、明： （1）必要性 命題：如質(zhì)點(diǎn)系平衡，則上式成立。第i個(gè)質(zhì)點(diǎn) Fi FNi 0 （Fi F 0n n F r n F 0質(zhì)點(diǎn)系(Fi F 0 iii1ni1n i1 Fi ri 0 F 0i1i 1(四). 虛功作用于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系上的力在虛位移上所作的功。 W F rFm主動(dòng)力的虛功：計(jì)算方法與力的一樣。r理想約束：約束反力在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中 n F 0所作之和等于零。i 1ri 0 即約束處無虛位移。 如 固定端約束，鉸鏈支座；F 即約束力與虛位移相垂直。如 光滑接觸面約束；FNi 0 即約束點(diǎn)上約束力的合力為零。 如 鉸鏈連接；n F 0即虛功之和即為零。i 1如 連接兩質(zhì)點(diǎn)的無重剛

8、性桿。2.法： 廣義坐標(biāo)的變分（普遍方法）n個(gè)質(zhì)點(diǎn)度為k取廣義坐標(biāo)： q1 ,kri ri (2 qk ) 唯一確定變分：r k i12k j（微分）j 1度：2取廣義坐標(biāo)： 1、2（i = 1,n）xA a sin 1xA a cos 111axyA a cos1yA a sin11 1 AxB a sin1 b sin2廣義坐標(biāo)的變分xB a cos11 b cos 22 2 b By a cos b cos yB12廣義虛位移yB a sin 11 b sin 22O幾何法PC rC1P2lCDC l lC = 60 r rr1 P P 2 rC lDC1B C2A1.5lkB r rB

9、0 5l rMAFFAF2 A rB BF1Fk k(ll0 )rC 2rArDrC令：rArB rA 3rC rBrDlrB 2 5lrC1rC rC2rA 0.5lrA 3rC13虛位移虛功方程虛位移原理：機(jī)構(gòu)主動(dòng)力靜定結(jié)構(gòu)約束力用虛位移原理求約束反力：解除相應(yīng)約束，代以相應(yīng)反力，視為主動(dòng)力，并加入虛功。兩種方法比較：虛功方程的形式不同（代數(shù)形式與形式）虛功正負(fù) 幾何法：力在虛位移上投影與虛位移的方向關(guān)系在坐標(biāo)方向投影與坐標(biāo)的方向關(guān)系建立虛位移之間關(guān)系的方法不同：幾何法：正確分析虛位移，利用幾何關(guān)系或運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系法：給出點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)用變分方法解題時(shí)要求不同：幾何法：畫虛位移圖（解題過程出現(xiàn)的

10、虛位移）法：建立坐標(biāo)， 選廣義坐標(biāo)（上題中選 ）“虛位移關(guān)系的建立” 是解題的關(guān)鍵使用范圍不同：幾何法：容易從幾何和運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系中分析虛位移關(guān)系法：容易計(jì)算力作用點(diǎn)的坐標(biāo)（廣義坐標(biāo)表示）小結(jié) ：虛位移原理具有雙面、定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在給定位置平衡的充要條件是：所有主動(dòng)力在質(zhì)點(diǎn)系任何虛位移中的之和等于零。 W n F r 0 n (F x F y F z ) 0iiWxi iyi izi ii1i1虛位移：質(zhì)點(diǎn)系在給定瞬時(shí)為約束所容許的微小的位移解題步驟：幾何法：法：確定度數(shù)，選廣義坐標(biāo)。 1.確定度數(shù)，選廣義坐標(biāo)。給虛位移，畫虛位移圖。2.建立坐標(biāo)。列虛功方程。3.列虛功方程。找虛位移之間

11、關(guān)系，解方程。 4.取相關(guān)點(diǎn)相關(guān)坐標(biāo)、變分，解方程。解：F = k = 2l sink法 yPFxA F xB PyC = 0,CxA = l sin , xA = l cosx = l + l sin , x = l cos = xlFlBBA有 : P y 2Fx = 0ABcBl Fklyc = 2l cos , ,yc = 2l sin ,Ox( 4lsin cos k + 2sin P ) = 0,l 0, 得 : 2lk cos = P , = arccos P .（廣義坐標(biāo) ）2lkP49 習(xí)題：1、2(幾何法) 非理想約束：約束力視為主動(dòng)力P50 習(xí)題：3、4(法) (解除約束

12、) （彈性力及摩擦力）例3 圖示平面緩沖機(jī)構(gòu)，各桿的重量和摩擦不記，彈簧原長為l，剛性系數(shù)為k。求：平衡時(shí)P與之間關(guān)系。解：1.幾何法 F r F r 0y坐標(biāo)A AB BFr l cos r l sin AAB(FAl cos FBl sin ) 0 rA 0 (FAl cos FBl sin ) 0廣義虛位移則: : FA tan FB xFBO 虛功的正負(fù)rB2.法 FAyA FBxB 0 xB l cos xB l sin yA lsinyA lcos 0 (FAl cos FBl sin ) 0則: : FA tanFB例2 圖示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)，連桿A、B長為l，桿重和摩擦力不計(jì)，求：在

13、圖示位置平衡時(shí)主動(dòng)力FA和FB之間的關(guān)系。 r A Ar r A ABB AB設(shè)一虛位移 速度關(guān)系rCC2幾何法C11M rm1 gC 2 m g 2BF虛位移分析O rBm3 g 解：rA L rB W 0FrB M 0FL M 0( FL M ) 0 0FL M 0M FL4解： 1.求FDy位移分析： 從約束程度較高處開始 rFE F1 BFGH r rG F2aE r rC rABCDDA2a B2a C2aDFDy對(duì)具有轉(zhuǎn)動(dòng)中心的剛體，可用力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的矩所做的虛功來計(jì)算。 F1a A F2 aD FyD 2aD 0 D = A D 0FDy 1.5kNE F1FGHaF2ABCDa

14、2a2a2D處解除約束DD FDxDDFDy例5 拱架結(jié)構(gòu)，F(xiàn)1=2kN，F(xiàn)2=1kN。求：支架D、C處反力。虛位移表示運(yùn)動(dòng)分析 虛位移關(guān)系注：（1）分布力用合力替代：僅適用于作用在同一剛體上的分布力。（2）解除約束是，僅僅解除與所求反力相應(yīng)的這一部分約束。上題：若計(jì)算 A 處垂直反力，應(yīng)將 A 處支座改為兩根水平鏈桿 雙鏈桿（允許 A 處垂直移動(dòng)，但仍限止水平移動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)）AFAyA解：將固定端A變成固定鉸鏈, 將相應(yīng)約束力偶視為主動(dòng)力偶。給出虛位移（）位移分析：從約束程度較高處開始n aaaFi ri 0Ci 1F1r1 F2r2 M A 0rC確定虛位移的關(guān)系 r 1 r13 CM rC

15、r2 r2 2a( F 2a 2aF M ) 01 32Ar2 0 M2 )F2Dr1F1MAAB例4 結(jié)構(gòu)及其受力，求：A端的約束力偶。aaaAC 分析DF解1除MAM相FAx AB應(yīng)約MAF束AyFAMA2AAFAy例4 結(jié)構(gòu)及其受力，求：A端的約束力偶。5位移分析例6 圖示桁架，各桿長度均為虛位移關(guān)系?15kNl。求：內(nèi)力FDE、FBC。D10kNE幾何法ABC解： 2.法 PyD + FyD FyB = 0By = a sin y = a cos FD21D21 1yDyB = a sin 2yB = a cos2aPxC = 2a cos 2 = 2cos12A21Csin = 1

16、sin x2 2 112代入: 1 = 45, , 2 = 60 = 1 sin45 F = 2.37P22 sin601例6A 已知AB=BC=CA=a，AD=DC= a ，求：BD桿的內(nèi)力。2解： 1.幾何法位移分析FrB cos 60 FrD cos 45 + PrD cos 45 = 0r cos 30 = r cos 60B rBBCFr = r cos 45DDCr 0P rDC6045 rCF = 2.37PAC例6 圖示桁架，已知AB=BC=CA=a，AD=DC= a ，求：BD桿的內(nèi)力。2用虛位移原理求二力桿內(nèi)力： 機(jī)構(gòu) 主動(dòng)力截?cái)嘞鄳?yīng)桿件，代以相應(yīng)內(nèi)力（一對(duì)），視為主動(dòng)力，

17、并加入虛功。3.求FCyF E 1BF rG r HFGFa rE yC2 rB r D DAABCc2a2a FCy2aF1a A F2aD FCyyC 0rE 2a A 2a B rF rG rC 2 a D A Dyc a AF1a A F2a A a AFCy 0FCy 3kN2.求FDx位移分析： 從約束程度較高處開始DF rFE 1 BFGH rG Fa rEC r2rBDA ABCDF2a2a2aDx對(duì)具有轉(zhuǎn)動(dòng)中心的剛體，可用力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的矩所做的虛功來計(jì)算。 F1a A F2aD 2aFDxD 0D AFDx 1.5kN6(二)以廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件度數(shù)k W j 0 q

18、 j 0 Q j 0 ( j=1,k )j 1n ri 以廣義力表示的廣義力計(jì)算： Qj ( Fi q )質(zhì)點(diǎn)系平衡條件i1j法nxyzj ix qiy qiz qQ Fi Fi Fi 表達(dá)式i1jjjn幾何法k W (F x F y F z ) W j xi iyi izi ij1i1加“鎖”取一組除 q j 0， 其余廣義坐標(biāo)變分均為零的虛位移。 Wjn 則 Wj jQj q Wj Fi riji1具有雙側(cè)、定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在給定位置上保持平衡的必要與充分條件是：所有與廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義力均等于零。三、廣義力及以廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件(一)廣義力ri ri (2 qk )r k

19、 ri qi1 2k qjj 1j F r n F k ri q k ( n F Wii i j iji1j 1 q jj 1 i1( i=1,n； j=1,k )n rik令： Fi q Qj W ji1jj1Qj為對(duì)應(yīng)于廣義虛位移 q j的力， 稱為廣義力nxyz表達(dá)式： Q F i F i F i ( j=1,k )jixiyizi1q jq jq j法： PyC1 PyC 2 FxB M1 0虛位移原理y l cos y l sin xC1 21C121 1My l cos l cos C1C 21 221y l sin l sin PC 21 1 22 2ACx l sin l si

20、n 2B122x l cos l cos yPB FB1 122( P 3 l sin Fl cos M ) (P l sin Fl cos ) 0 21112222因: 1 0, 2 0 F 1 P tanM 1 Pl(cos tan 3sin )222121例7 均質(zhì)桿，為l。求：圖示雙擺平衡時(shí)的力F和力偶M。解：度：2 取廣義坐標(biāo)： 1、 2M 幾何法1. 令q1 =1 0，q2=2=0 加“鎖”W M P( l sin )1 r11211PA桿AB移動(dòng) P(l sin 1)1 Fl cos11 0 A M P( l sin ) P(l sin ) Fl cos 02rB2111P B

21、F2. 令q2 =2 0，q1 =1=0MW P( l sin ) Fl cos 022222 2PP( l sin ) Fl cos 0A2222 rF 1 P tan M 1 Pl (cos tan 3sin )2B222121P B F幾何法：求FBC10kN D15kNI 轉(zhuǎn)動(dòng)中心EECP51 習(xí)題：1、2rEAP52 習(xí)題：3、4ABCFBC FCB xC10 3 l 15 3 l F IC 02A2ACBECIC cos 30 EC lIC 2l IC l3EI AE 2l cos 30 3l23lrE 3l A EC3A ECAE3EIFCB 8.99kN解： 幾何法：求FDE

22、x15kNDD FDE FED xE對(duì)具有轉(zhuǎn)動(dòng)中心的剛體，10kN r rE可用力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的矩所做的DE y AEC虛功來計(jì)算。AC 3 ll B yB2A2C力矩作虛功10 3 l 15 l F3 l 3 l 02A2CDE 2A2C EDyB l A lC A C(10 3 l 15 l F3 l 3 lF ) 022DE 22EDAFDE 13.66kN7四、場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件及平衡穩(wěn)定性(一)場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件（保守系統(tǒng)）有： F = V , F = V , F = Vixxiyyizziii代入： Q (F xi F yi F zi )njix qiy qiz qi1jjj (

23、 V xi V yi V zi ) V ,xi q jyi q jzi q jq j則場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件為：Q j 0Q V 0即V 0jqqjj(2)令： 0 虛位移關(guān)系如圖虛位移原理： T x Fm r2 0r 1 x T x F 1 l x 023m 3對(duì)應(yīng)x的廣義力： Q T F 1 l r x rxm 3CE11T令 Qx 0 T Fm 3 l 6 qmlF q lq lm 2 m而 T k1 mFr6kFm21彈簧被壓縮注意：如何求兩個(gè)或多個(gè)度問題的廣義力。如何求分布力的虛功。解：度數(shù)2 取廣義坐標(biāo)：、xx x(1)令： x 0 虛位移關(guān)系如圖1 l幾何法虛位移原理： M Fr

24、0 211 1 rr l M F l 0 rED1 221 rC對(duì)應(yīng)的廣義力： M F 2 l令 Q 0M F 1 l2MFFm r2而 M k Fl r22k1 rB2例3 OB=BC=l ，CD=DE，在該處系統(tǒng)平衡，此時(shí)三根桿相互垂直。E處彈簧的剛度系數(shù)為k1，O處螺線彈簧剛度系數(shù)為k2，求平衡時(shí)水平彈簧的變形和螺線彈簧的變形。 n F xi F yi F zi 法： Qj ix qiy qiz q廣義坐標(biāo)： 1、 2i1jjjQ P yC1 P yC 2 F xB M 1Mx1 1 1 1 1C1Q P yC1 P yC 2 F xB M 112PA2222C 2 Q P 3 l si

25、n Fl cos M 021211yPBQ P l sin Fl cos 0lF2222 yC1 cos112l得： F 2 P tan 2yC 2 l cos 1 2 cos2M 1 Pl(cos tan 3sin )x l sin l sin 2121B12例2 均質(zhì)桿為l，求圖示雙擺平衡時(shí)的力F和力偶M。解：度：2 取廣義坐標(biāo)：1、21. 令q1 = 1 0，q2 = 2 = 0幾何法MW M P( l sin )W11211P1 rAQ1 1 P(l sin ) Fl cos A111 1r1l2B M P( sin 1) P(l sin 1) Fl cos 1 0 P B2F2. 令q2 = 2 0，q1 = 1 = 0W P( l sin ) Fl cos M2222 2 Wl 2PQ2 2 P( sin 2 ) Fl cos 2 022A F 1 P tan M 1 Pl (cos tan 3sin ) 22 rB222121 P B F廣義力表示的平衡條件y解：度：1 選為廣義坐標(biāo)5F 原理： y y y y L cos1234不L 21234 計(jì)法y1 sin 摩x 4L sin 2擦52W2W2W2Wxx5 4L cos W ( Fixxi Fiyyi ) 0(4cos ) 0