基本不等式4-完整版PPT

1、基本不等式(2)若a、bR，則a2+b22ab，（當且僅當a=b時，等號成立）如果a0，b0，則：aba+b2當且僅當a=b時，等號成立幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)例1：（1）用籬笆圍一個面積為100 m2矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？分析：矩形菜園的面積是確定的，長和寬沒有確定如果長和寬確定了，籬笆的長也就確定了，因此我們要解決的問題是：當面積確定時，長和寬取什么值時籬笆的長最短？解：設(shè)矩形菜園的長為x m，寬為y m，則xy=100，籬笆的長為2(x+y) mxyx+y2由可得x+y21002(x+y)40等號當且僅當x=y時成立，此時x=y=10因此，這

2、個矩形的長、寬都為10 m時，所用籬笆最短，最短籬笆是40 m例1：（1）用籬笆圍一個面積為100 m2矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？結(jié)論1：兩個正數(shù)積為定值，則和有最小值探究1：正實數(shù)a，b若積ab是定值P，當且僅當_時，和a+b有最小值為_a=b2P試一試: 已知直角三角形的面積等于50，兩條直角邊各為多少時，兩條直角邊的和最小，最小值是多少？例1：（2）用一段長為36 m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形菜園的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？分析：矩形菜園的周長是確定的，長和寬沒有確定如果長和寬確定了，矩形菜園的面積也就確定了，

3、因此我們要解決的問題是：當周長確定時，長和寬取什么值時籬笆圍成的面積最大？解：設(shè)矩形菜園的長為x m，寬為y m，則2(x+y)=36， x+y=18，矩形菜園的面積為xy m2由可得xy81等號當且僅當x=y時成立，此時x=y=9因此，這個矩形的長、寬都為9 m時，菜園的面積最大，最大面積是81 mxyx+y2=9182例1：（2）用一段長為36 m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形菜園的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？結(jié)論2：兩個正數(shù)和為定值，則積有最大值探究2：正實數(shù)a，b若和a+b是定值S，當且僅當_時，積ab有最大值為_a=bS2()2試一試：用20 cm長的鐵絲折

4、成一個面積最大的矩形，應當怎樣折?注意：在使用“和為常數(shù)，積有最大值”和“積為常數(shù)，和有最小值”這兩個結(jié)論時，應驗證三點：“一正、二定、三相等”后才能取最值當條件不完全具備時，應創(chuàng)造條件 例2某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800 m3，深為3 m，如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低總造價是多少元？分析：水池呈長方體形，它的高是3 m，底面的長與寬沒有確定如果底面的長與寬確定了，水池總造價也就確定了因此應當考察底面的長與寬取什么值時水池的總造價最低解：設(shè)底面的長為x m，寬為y m，水池總造價為z元根據(jù)題意有z=150

5、(48003)+120(23x+23y)=240000+720(x+y)由容積4800m3，可得3xy=4800因此xy=1600由基本不等式與不等式的性質(zhì)，可得即所以，將水池的地面設(shè)計成邊長為40 m的正方形時總造價最低，最低總造價是297600元當x=y，即x=y=40時，等號成立240000+720(x+y)240000+7202xyz297600z240000+720216001某單位建造一間背面靠墻的小房，地面面積為12 m2，房屋正面每平方米的造價為1200元，房屋側(cè)面每平方米的造價為800元，屋頂?shù)脑靸r為5800元如果墻高3 m，且不計房屋背面和地面的費用，問怎樣設(shè)計房屋能使總造

6、價最低？最低造價是多少？分析：房屋呈長方體形，它的高是3 m，底面的長與寬沒有確定如果底面的長與寬確定了，房屋總造價也就確定了因此我們應當考察底面的長與寬取什么值時房屋的總造價最低總造價最低為34600元解：設(shè)正面的長為x m，側(cè)面的寬為 m，房屋的總造價為y元根據(jù)題意有12xy=12003x+80032+580012x當3600 x= ，即x=4時，總造價最低124800 x=3600 x+5800124800 x23600 x+5800=34600124800 x2某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200m2的三級污水處理池（平面圖如下圖）如果池四周圍墻建造單價為400元/m2，中間兩道隔

7、墻建造單價為248元/m2，池底建造單價為80元/m2，水池所有墻的厚度忽略不計，試設(shè)計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價分析：設(shè)污水處理池的長為x m，總造價為y元，（1）建立x 的函數(shù) y ； （2）求y的最值解：設(shè)污水處理池的長為x m，總造價為y元，則答：池長18m，寬 m時，造價最低，為30400元1009當且僅當800 x= ，即x=18時，取等號259200 xy=400(2x+2)+248(2)+80200200 x200 x+16000800 x259200 x2=800 x+ +16000.259200 x3現(xiàn)有一批貨物用輪船從上海洋山水港運往青島，已知該船航

8、行的最大速度為45海里/小時，上海至青島的航行距離約為500海里，每小時運輸成本由燃料費用和其余費用組成輪船每小時的燃料費用與輪船速度的平方成正比（比例系數(shù)為0.6），其余費用每小時960元（1）把全程運輸成本y(元)表示為速度x(海里/小時)的函數(shù)；（2）為了使全程運輸成本最小，輪船應以多大速度行駛？解：（1）由題意，每小時燃料費用為0.6x2(0 x45)，全程所用的時間為小時500 x則全程運輸成本y=0.6x2+960=300(x+ )，x(0，45500 x500 x1600 x故所求的函數(shù)y=300(x+ )，x(0，451600 x（2）y=300(x+ )3002=240001

9、600 xx1600 x1600 x當且僅當x= ，即x=40時取等號成立故當輪船速度為40海里/小時時，所需成本最小4某單位為了職工的住房問題，計劃征用一塊土地蓋一幢總建筑面積為30000m2的宿舍樓(每層的建筑面積相同)已知土地的征用費為2250元/m2，土地的征用面積為第一層的1.5倍經(jīng)工程技術(shù)人員核算，第一層的建筑費用為400元/m2，以后每增高一層，該層建筑費用就增加30元/m2試設(shè)計這幢宿舍樓的樓高層數(shù)，使總費用最少，并求出其最少費用(總費用為建筑費用和征地費用之和)解：設(shè)樓高為n層，總費用為y萬元，則征地面積為(m2)，征地費用為2250萬元，各樓層建筑費用和為400n+30萬元

10、總費用為1.53n1.530000n3nn(n-1)2y=400n+30+2250n(n-1)21.53n=15(3n+77)15(23n+77)=2505675n675n當且僅當3n=，即n=15時等號成立675n這幢宿舍樓樓高層數(shù)為15時，總費用最少，為2505萬元5甲、乙兩車從A地沿同一路線到達B地，甲車一半時間的速度為a，另一半時間的速度為b；乙車用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若ab，則兩車到達B地的情況是( ) (A)甲車先到達B地 (B)乙車先到達B地 (C)同時到達 (D)不能判定 A6某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2與到車站的距離成正比，如果在距離車站10公里處建倉庫，這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站() (A) 5公里(B) 4公里(C) 3公里(D) 2公里 C某食品廠定期購買面粉已知該廠每天需用面粉6 t，每噸面粉的價格為1800元，面粉的保管等其它費用為平均每噸每天3元，購面粉每次需支付運費900元（1）求該廠多少天購買一