廣東省高一數(shù)學(xué)第二章 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 必修4

1、平面向量的數(shù)量積2.4.1 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義2.4.2 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角2021/8/8 星期日1定義： 一般地，實(shí)數(shù)與向量a 的積是一個向量，記作a，它的長度和方向規(guī)定如下：(1) |a|=| |a|(2) 當(dāng)0時,a 的方向與a方向相同； 當(dāng)0時,a 的方向與a方向相反； 特別地，當(dāng)=0或a=0時, a=02021/8/8 星期日2運(yùn)算律： 設(shè)a,b為任意向量，,為任意實(shí)數(shù)，則有： (a)=() a (+) a=a+a (a+b)=a+b2021/8/8 星期日3已知兩個非零向量a和b，作OA=a， OB=b，則AOB= （0 180）叫做向量a與b的夾角

2、。OBA向量的夾角當(dāng)0時，a與b同向；OAB當(dāng)180時，a與b反向；OABB當(dāng)90時，稱a與b垂直， 記為ab.OAab2021/8/8 星期日4 我們學(xué)過功的概念，即一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s（如圖）FS力F所做的功W可用下式計(jì)算 W=|F| |S|cos 其中是F與S的夾角 從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念。2021/8/8 星期日5 已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，我們把數(shù)量|a| |b|cos叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作ab ab=|a| |b| cos定規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0。 |a| cos（|b| cos）叫做向量a在b方向上（向量b在

3、a方向上）的投影。注意：向量的數(shù)量積是一個數(shù)量。2021/8/8 星期日6 向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候?yàn)檎裁磿r候?yàn)樨?fù)？思考：ab=|a| |b| cos當(dāng)0 90時ab為正；當(dāng)90 180時ab為負(fù)。當(dāng) =90時ab為零。2021/8/8 星期日7重要性質(zhì):設(shè)是非零向量，方向相同的單位向量，的夾角，則特別地OAB abB12021/8/8 星期日8解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2）= 10例1 已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角=120，求ab。例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求ab。解： |a| =2, |b|=2, =

4、45 ab=|a| |b|cos= 22cos45 = 22021/8/8 星期日9ab的幾何意義：OAB|b|cos abB1等于的長度與的乘積。2021/8/8 星期日10練習(xí)：1若a =0，則對任一向量b ，有a b=02若a 0，則對任一非零向量b ,有a b03若a 0，a b =0，則b=04若a b=0，則a b中至少有一個為05若a0，a b= b c，則a=c6若a b = a c ,則bc,當(dāng)且僅當(dāng)a=0 時成立7對任意向量 a 有2021/8/8 星期日11二、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：數(shù)量積的運(yùn)算律：其中，是任意三個向量，注：2021/8/8 星期日12 則 (a +

5、b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的數(shù)量分別是OM、MN、 ON, 證明運(yùn)算律(3)2021/8/8 星期日13例 3：求證：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.證明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.2021/8/8 星期日14例 3：求證：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.證明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.2021/8/8 星期日15例4、的夾角為解:2021/8/8 星期日162021/8/8 星期日17作業(yè)：2021/8/8 星期日183、用向量方法證明：直徑所對的圓周角為直角。ABCO如圖所示，已知O，AB為直徑，C為O上