高中數(shù)學(xué)第一講不等式和絕對(duì)值不等式二1.絕對(duì)值三角不等式教案(含解析)新人教A版選修4

1、1,絕對(duì)值三角不等式絕對(duì)值三角不等式(1)定理1：如果a,b是實(shí)數(shù)，則|a+bIIa|+|bI,當(dāng)且僅當(dāng)ab-0時(shí)，等號(hào)成立.幾何解釋?zhuān)河孟蛄縜,b分別替換a,bo當(dāng)a與b不共線(xiàn)時(shí)，有|a+b|a|+|b|,其幾何意義為：三角形的兩邊之和大于第三邊.若a,b共線(xiàn)，當(dāng)a與b同向日寸，|a+bI=|a|+|b|,當(dāng)a與b反向時(shí),Ia+b|aI+Ib|.由于定理1與三角形之間的這種聯(lián)系，故稱(chēng)此不等式為絕對(duì)值三角不等式.定理1的推廣：如果a,b是實(shí)數(shù)，則|a|b|ab|a|+|b|.(2)定理2：如果a,b,c是實(shí)數(shù)，那么|a-c|a-b|+|b-c|.當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)40時(shí)，等號(hào)成立.幾何解

2、釋?zhuān)涸跀?shù)軸上，a,b,c所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A,C之間時(shí)，|ac|m|ab|+|b-c|.當(dāng)點(diǎn)B不在點(diǎn)A,C之間時(shí)：點(diǎn)B在A或C上時(shí)，|ac|三|ab|+|bc|;點(diǎn)B不在A,C上時(shí),|a-c|1a-b|+|b-c|.應(yīng)用：利用該定理可以確定絕對(duì)值函數(shù)的值域和最值.含絕對(duì)值不等式的判斷與證明例1已知|A-a|錯(cuò)誤！，|B-b|錯(cuò)誤！，|C-c|錯(cuò)誤！。求證：|(A+B+C)-(a+b+c)|錯(cuò)誤!證明|(A+B+Q(a+b+c)|=|(A-a)+(B-b)+(C-c)|w|(Aa)+(Bb)|+|Cc|0|Aa|+|Bb|+|Cc|o因?yàn)閨A-a|錯(cuò)誤！，|Bb|錯(cuò)誤!,|C

3、-c|錯(cuò)誤！,所以|A-a|+|Bb|+|C-c|錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=s.方法規(guī)稼小結(jié)J含絕對(duì)值不等式的證明題兩種類(lèi)型及解法(1)比較簡(jiǎn)單的不等式，往往可通過(guò)平方法、換元法去掉絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的不等式證明，或利用絕對(duì)值三角不等式|Ia|-|b|ab|a|+|b|,通過(guò)適當(dāng)?shù)奶?、拆?xiàng)證明；(2)綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對(duì)值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來(lái)證明.;也像臬制/二1.以下四個(gè)命題：若a,beR,則|a+b|-2|a|a-b|;若|a一b|1，則|a|b|+1;若|x|3,則錯(cuò)誤！錯(cuò)誤?。蝗鬉B0,則lg錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！(l

4、g|A|+lg|B|). TOC o 1-5 h z 其中正確的命題有()A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)解析：選A|a+b|=|(b-a)+2a|a|b|,；|a|b|+1,正確；v|y|3，.二錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！。又.IxI2,.錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！，正確；錯(cuò)誤！2=錯(cuò)誤！(IA2+IB|2+2|A|BI)錯(cuò)誤！(2|A|B+2|A|B|)=|AlB|,2lg錯(cuò)誤！lg|A|B|。1g錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！(1g|A|+1g|B|),正確.2.已知a,beR且aw0,求證：錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤！一錯(cuò)誤！。證明：若|a|b|,左邊=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！.V錯(cuò)誤！W錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤！W錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！W錯(cuò)誤！.左

5、邊，錯(cuò)誤！=右邊.若Ia|b|,左邊0,右邊0,.原不等式顯然成立.若|a|=|b|,原不等式顯然成立.綜上可知原不等式成立.絕對(duì)值二角不等式的USII應(yīng)用例2(1)求函數(shù)y=|x3|x+1|的最大值和最小值.a的取值范圍.(2)如果關(guān)于x的不等式|x3|+|x4|a的取值范圍.思路點(diǎn)撥利用絕對(duì)值三角不等式或函數(shù)思想方法可求解.解(1)法一：|x-3|一|x+1|I(x-3)(x+1)|=4,40|x3|x+1|04.ymax=4,ymin=-4o法二：把函數(shù)看作分段函數(shù).y=|x3|一|x+1|=錯(cuò)誤！4&y&4.ymax4,ymin4o(2)只要a不大于|x3|+|x-4|的最小值，則|x

6、-3|+|x-4|x-3+4x|=1,當(dāng)且僅當(dāng)(x-3)(4-x)0,即3&x04時(shí)等號(hào)成立.當(dāng)3&x&4時(shí)，|x3|+|x4取得最小值1。；a的取值范圍為(8,1.方法規(guī)律，小靖1(1)利用絕對(duì)值不等式求函數(shù)最值，要注意利用絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造絕對(duì)值不等式的形式.(2)求最值時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，它也是解題的關(guān)鍵.JI我做親制M“I3.若a,beR,且|a|3,|b|02,則|a+b|的最大值是,最小值是解析：|a|-|b|a+b|a|+|b|,1=320|a+b|(x+1)-(x-5)|=6,當(dāng)且僅當(dāng)一1&x05時(shí)，等號(hào)成立，所以f(x)的最小值等于6,即a=6.若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等

7、式|x+1|x2|a包成立，求a的取值范圍.解：a|x+1|x-2|對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，a(|x+1|x2|)min.|x+1|x-2|(x+1)(x-2)|=3,30|x+1|x2|03。(|x+1|Ix2|mmin=3.a3.即a的取值范圍為(一oo,-3).對(duì)于|a|-|b|a+b|0時(shí)，右邊等號(hào)成立；當(dāng)a+b0時(shí)，左邊等號(hào)成立解析：選B當(dāng)a,b異號(hào)且|a|b|時(shí)左邊等號(hào)才成立，故A不正確；顯然B正確；當(dāng)a+b=0時(shí)，右邊等號(hào)不成立，C不正確;D顯然不正確. TOC o 1-5 h z .若|a-c|b,則下列不等式不成立的是()A.|a|Ib|+Ic|B.|cI|c|a|D.b|a|-|

8、c|解析：選D|a-cIb,令a=1,c=2,b=3。貝U|a|=1,|b|+|c|=5,|a|c|-|a|成立.故b|a|c|不成立.不等式錯(cuò)誤！1成立的充要條件是()A.a,b都不為零B.ab0C.ab為非負(fù)數(shù)D.a,b中至少有一個(gè)不為零解析：選B錯(cuò)誤！1?|a+b|a|+|b|?a2+b2+2aba2+b2+2|ab|?ab|ab|?ab0.4.|xa|m且|ya|m是|x-y|2ni(x,y,a,meR)的()A.充分不必要條彳B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選A/1x-a|nr|ya|m.|x-a|+|y-a|2m又【(xa)(ya)Iw|xa|十|ya|

9、,Ix-y|2m,但反過(guò)來(lái)不一定成立，如取x=3,y=1,a=2,2。5,|3-1|2.5,|1(2)|2。5,|x-y|2m不一定有|xa|m且|ya|m,故“|xa|m且|ya|vM是“|x-y|a-1|,則只需要|a-1|3,解得2a0,則下面四個(gè)不等式：|a+b|a|；|a+b|b|;|a+b|a|-|bI中，正確的有.解析：:ab0,a,b同號(hào).|a+b|=|a|+|b|.:正確.答案：7,下列四個(gè)不等式：logx10+lgx2(x1)；|a-b|2(abw0);|x-1|+|x-2|1,其中恒成立的是.(填序號(hào))解析：logx10+lgx=錯(cuò)誤！+lgx2,正確；ab2,正確；由|

10、x1|+|x-2|的幾何意義知|x-1|+|x2|41恒成立，也正確，綜上可知正確.答案：.設(shè)a,beR,o,|a|錯(cuò)誤！，Ib|錯(cuò)誤！s.求證:|4a+3b|3s.證明：.|a|錯(cuò)誤！，|b|錯(cuò)誤！g,|4a+3bI|4a|+|3b|=4|a|+3|b|4錯(cuò)誤！十3錯(cuò)誤！=3e。.已知函數(shù)f(x)=ax2+xa(11),且|a|01,求證：|f(x)|錯(cuò)誤!.證明：:一1&X01,.Ix|01,又|a|W1,2If(x)|=|a(x1)+x|2la(x-1)|+|x|2|x-4+3-x|=1,當(dāng)且僅當(dāng)3&X&4時(shí)取等號(hào)，ymin=1o(2)由(1)知y1。要使yva有解，；al0即a的取值范

11、圍為(1,十).(3)要使ya恒成立，只要y的最小值即可.3max1o尊敬的讀者:本文由我和我的同事在百忙中收集整編出來(lái)，本文檔在發(fā)布之前我們對(duì)內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，但是難免會(huì)有不盡如人意之處，如有疏漏之處請(qǐng)指正，希望本文能為您解開(kāi)疑惑，引發(fā)思考。文中部分文字受到網(wǎng)友的關(guān)懷和支持，在此表示感謝！在往后的日子希望與大家共同進(jìn)步，成長(zhǎng)。ThisarticleiscollectedandcompiledbymycolleaguesandIinourbusyschedule.Weproofreadthecontentcarefullybeforethereleaseofthisarticle,butitisinevitablethattherewillbesomeunsatisfactorypoints.Ifthereareomi