浙江專用2022版高中數學第二章點、直線、平面之間的位置關系2.22.2.3直線與平面平行的性質2.2.4平面與平面平行的性質學案新人教A版必修2

1、（浙江專用）2021版高中數學第二章點、直線、平面之間的位置關系2.22.2.3直線與平面平行的性質2.2.4平面與平面平行的性質學案新人教A版必修2PAGE PAGE 252.2.3直線與平面平行的性質2.2.4目標定位1.證明并掌握直線與平面平行、平面與平面平行的性質定理.2.能應用文字語言、符號語言、圖形語言準確描述直線與平面平行，兩平面平行的性質定理.3.能用兩個性質定理，證明一些空間線面平行關系的簡單問題.自 主 預 習線面平行的性質定理面面平行的性質定理文字一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平

2、行符號eq blc rc(avs4alco1(a,a,b)abeq blc rc(avs4alco1(,a,b)ab圖形作用線面平行線線平行面面平行線線平行即 時 自 測1.判斷題(1)一條直線如果和一個平面平行，它就和這個平面內的無數條直線平行.()(2)如果直線a平面，直線b，則a與b平行.()(3)兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面.()(4)過直線外一點，有且只有一個平面和已知直線平行.()提示(2)a與b平行或異面.(4)過直線外一點可以作一條直線與已知直線平行，但過直線外一點可以作無數個平面與已知直線平行.2.如圖所示，過正方體ABCDA1B1C1D1的棱B

3、B1作一平面交平面CDD1C1于EE1，則BB1與EEA.平行 B.相交 C.異面 D.不確定解析BB1平面CDD1C1，平面BB1E1E平面CDD1C1E1E，BB1平面BB1E1E，由線面平行的性質定理知，BB1EE答案A3.若平面平面，直線a，點B，則在內過點B的所有直線中()A.不一定存在與a平行的直線B.只有兩條與a平行C.存在無數多條直線與a平行D.存在唯一一條直線與a平行解析設點B與直線a確定一平面為，b，ab.答案D4.已知直線l平面，l平面，m，則直線l，m的位置關系是_.解析由直線與平面平行的性質定理知lm.答案平行類型一線面平行性質定理的應用【例1】 求證：如果一條直線和

4、兩個相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行.解已知直線a，l，平面，滿足l，a，a.求證：al.證明：如圖所示，過a作平面交平面于b，a，ab.同樣過a作平面交平面于c，a，ac.則bc.又b，c，b.又b，l，bl.又ab，al.規(guī)律方法在空間平行關系中，交替使用線線平行、線面平行的判定定理與性質定理是解決此類問題的關鍵.【訓練1】 若兩個相交平面分別過兩條平行直線，則它們的交線和這兩條平行直線平行.解已知：ab，a，b，l.求證：abl.證明：如圖所示，ab，b，a，a，又a，l，al，又ab，abl.類型二面面平行性質定理的應用【例2】 已知AB、CD是夾在兩個平行平面、之間的線段

5、，M、N分別為AB、CD的中點，求證：MN平面.證明(1)若AB、CD在同一平面內，則平面ABDC與、的交線為BD、AC.，ACBD.又M、N為AB、CD的中點，MNBD.又BD平面，MN平面，MN平面.(2)若AB、CD異面，如圖，過A作AECD交于E，取AE中點P，連接MP、PN、BE、ED.AECD.AE、CD確定平面AEDC.則平面AEDC與、的交線分別為ED、AC，EDAC.又P、N分別為AE、CD的中點，PNED，又ED平面，PN平面，PN平面.同理可證MPBE，又MP平面，BE平面，MP平面，AB、CD異面，MP、NP相交.平面MPN平面.又MN平面MPN，MN平面.規(guī)律方法1.

6、利用面面平行的性質定理證明線線平行的關鍵是把要證明的直線看作是平面的交線，往往需要有三個平面，即有兩平面平行，再構造第三個面與兩平行平面都相交.2.面面平行線線平行，體現(xiàn)了轉化思想與判定定理的交替使用，可實現(xiàn)線線、線面及面面平行的相互轉化.【訓練2】 如圖，已知，點P是平面、外的一點(不在與之間)，直線PB、PD分別與、相交于點A、B和C、D.(1)求證：ACBD；(2)已知PA4 cm，AB5 cm，PC3 cm，求(1)證明PBPDP，直線PB和PD確定一個平面，則AC，BD.又，ACBD.(2)解由(1)得ACBD，eq f(PA,AB)eq f(PC,CD)，eq f(4,5)eq f

7、(3,CD)，CDeq f(15,4)(cm)，PDPCCDeq f(27,4)(cm).類型三平行關系的綜合應用(互動探究)【例3】 如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：GH平面PAD.思路探究探究點一證明平行關系的基本思路是什么？提示證明平行關系時，應綜合應用線線平行、線面平行及面面平行之間的相互轉化.探究點二解本題的關鍵是什么？提示關鍵是連接AC交BD于O，結合PC中點M，利用中位線，進行平行轉化，進而作出判斷.證明如圖所示，連接AC交BD于點O，連接MO.ABCD是平行四邊形，O是A

8、C的中點，又M是PC的中點，PAMO，而AP平面BDM，OM平面BDM，PA平面BMD，又PA平面PAHG，平面PAHG平面BMDGH，PAGH.又PA平面PAD，GH平面PAD，GH平面PAD.規(guī)律方法1.本題證明線面平行，利用了線面平行的性質定理和判定定理進行轉化，即線線平行線面平行線線平行線面平行.2.在將線面平行轉化為線線平行時，注意觀察圖形中是否是性質定理中符合條件的平面.【訓練3】 在長方體ABCDA1B1C1D1，E為棱DD1上的點，試確定點E的位置，使B1D平面A1C1解如圖，連接B1D1，設A1C1B1D1M，連接ME若B1D平面A1C1E，則B1D平行于過B1D的平面與平面

9、A1C1由于B1D平面B1DD1，平面B1DD1平面A1C1EME，所以B1DME又因為M為B1D1的中點，所以E為DD1的中點.課堂小結1.三種平行關系可以任意轉化，其相互轉化關系如圖所示：2.證明線與線、線與面的平行關系的一般規(guī)律是：“由已知想性質，由求證想判定”，是分析和解決問題的一般思維方法，而作輔助線和輔助面往往是溝通已知和未知的有效手段.1.已知：b，a，a，則a與b的位置關系是()A.ab B.abC.a，b相交但不垂直 D.a，b異面解析利用結論：若一直線與兩個相交平面平行則此直線與交線平行.答案A2.已知a，b表示直線，、表示平面，下列推理正確的是()A.a，babB.a，a

10、bb且bC.a，b，a，bD.，a，bab解析由面面平行的性質定理知D正確.答案D3.過兩平行平面，外的點P的兩條直線AB與CD，它們分別交于A，C兩點，交于B，D兩點，若PA6，AC9，PB8，則BD的長為_.解析兩條直線AB與CD相交于P點，所以可以確定一個平面，此平面與兩平行平面，的交線ACBD，所以eq f(PA,PB)eq f(AC,BD)，又PA6，AC9，PB8，故BD12.答案124.如圖，已知E，F(xiàn)分別是長方體ABCDA1B1C1D1的棱A1B1、CC1的中點，過D1、E、F作平面D1EGF交BB1于G.求證：EGD1證明在長方體ABCDA1B1C1D1中，因為平面ABB1A

11、1平面DCC1D1，平面D1EGF平面ABB1A1EG，平面D1EGF平面DCC1D1D1F，EG基 礎 過 關1.a，b，則a與b位置關系是()A.平行 B.異面C.相交 D.平行或異面或相交解析如圖(1)，(2)，(3)所示，a與b的關系分別是平行、異面或相交.答案D2.已知直線l平面，P，那么過點P且平行于l的直線()A.只有一條，不在平面內B.只有一條，在平面內C.有兩條，不一定都在平面內D.有無數條，不一定都在平面內解析如圖所示，l平面，P，直線l與點P確定一個平面，m，Pm，lm且m是唯一的.答案B3.如圖，四棱錐PABCD中，M，N分別為AC，PC上的點，且MN平面PAD，則()

12、A.MNPDB.MNPAC.MNADD.以上均有可能解析MN平面PAD，MN平面PAC，平面PAD平面PACPA，MNPA.答案B4.過正方體ABCDA1B1C1D1的三個頂點A1、C1、B的平面與底面ABCD所在平面的交線為l，則l與A1C1解析由面面平行的性質可知第三平面與兩平行平面的交線是平行的.答案平行5.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，點E為AD的中點，點F在CD上.若EF平面AB1C，則線段解析在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2AC2eq r(2).又E為AD的中點，EF平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC平面AB1CAC，EFAC，F(xiàn)為DC的中點，E

13、Feq f(1,2)ACeq r(2).答案eq r(2)6.如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，過A1，B，C1的平面與平面ABC的交線為l，試判斷l(xiāng)與直線A1C1的位置關系解lA1C證明在三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC，A1C1平面ABC，ACA1C1平面ABC又A1C1平面A1BC1，且平面A1BC1平面ABClA1C1l7.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，且CMDN，求證：MN平面AA1B1證明如圖，作MPBB1交BC于點P，連接NP.MPBB1，eq f(CM,MB1)eq f(CP,PB).BDB1C，DNCM，B1MBN，eq

14、 f(CM,MB1)eq f(DN,NB)，eq f(CP,PB)eq f(DN,NB)，NPCDAB.NP平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，NP平面AA1B1B.MPBB1，MP平面AA1B1B，BB1平面AA1B1B，MP平面AA1B1B.又MP平面MNP，NP平面MNP，MPNPP，平面MNP平面AA1B1B.MN平面MNP，MN平面AA1B1B.能 力 提 升8.下列說法正確的是()A.平行于同一條直線的兩個平面平行B.平行于同一個平面的兩個平面平行C.一個平面內有三個不共線的點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行D.若三直線a，b，c兩兩平行，則在過直線a的平面中，有且只有

15、一個平面與b，c均平行解析平行于同一條直線的兩個平面可以平行也可以相交，所以A錯；B正確；C中沒有指明這三個點在平面的同側還是異側，不正確；D不正確，因為過直線a的平面中，只要b，c不在其平面內，則與b，c均平行.答案B9.過平面外的直線l，作一組平面與相交，如果所得的交線為a，b，c，則這些交線的位置關系為()A.都平行B.都相交且一定交于同一點C.都相交但不一定交于同一點D.都平行或交于同一點解析l，l或l與相交.(1)若l，則由線面平行的性質可知la，lb，lc，a，b，c，這些交線都平行.(2)若l與相交，不妨設lA，則Al，又由題意可知Aa，Ab，Ac，這些交線交于同一點A.綜上可知

16、D正確.答案D10.如圖，P是ABC所在平面外一點，平面平面ABC，分別交線段PA、PB、PC于A、B、C，若PAAA23，則eq f(SABC,SABC)_.解析由平面平面ABC，得ABAB，BCBC，ACAC，由等角定理得ABCABC，BCABCA，CABCAB，從而ABCABC，PABPAB，eq f(SABC,SABC)eq blc(rc)(avs4alco1(f(AB,AB)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(PA,PA)eq sup12(2)eq f(4,25).答案eq f(4,25)11.如圖所示，已知P是ABCD所在平面外一點，M、N分別是AB

17、、PC的中點，平面PAD平面PBCl.(1)求證：lBC；(2)MN與平面PAD是否平行？試證明你的結論.法一(1)證明因為BCAD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.又因為平面PBC平面PADl，所以BCl.(2)解平行.證明如下：取PD的中點E，連接AE，NE，可以證得NEAM且NEAM.可知四邊形AMNE為平行四邊形.所以MNAE，又因為MN平面APD，AE平面APD，所以MN平面APD.法二(1)證明由ADBC，AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD平面PBC.又因為平面PBC平面PADl，所以lAD，lBC.(2)解平行.證明如下：設Q是CD的中點，連接NQ，MQ，則MQAD，NQPD，而MQNQQ，所以平面MNQ平面PAD.MN平面MNQ，所以MN平面PAD.探 究 創(chuàng) 新12.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，A1B1的中點是P，過點A1作與截面PBC1平行的截面