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1、江蘇省南京市2016 屆高三學情調(diào)研考試數(shù)學2015.09注意事項：1本試卷共4 頁，包括填空題（第1 題 第 14 題）、解答題（第15 題 第 20 題）兩部分本試卷滿分為160 分，考試時間為120 分鐘2答題前，請務必將自己的姓名、學校、班級寫在答題紙上試題的答案寫在答題紙上對應題目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后，交回答題紙參考公式樣本數(shù)據(jù) x1 2n21ni2 ，其中1n inni 1i 1錐體的體積公式：1V Sh，其中 S 為錐體的底面積， h 為錐體的高3一、填空題 （本大題共 14 小題，每小題 5 分，共 70 分不需要寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上）1已知集合A 1

2、， 0， 1， 2 ， B x|x2 1 0 ，則 A B2已知復數(shù)z 滿足： z(1 i) 2 4i，其中 i 為虛數(shù)單位，則復數(shù)z 的模為 某射擊選手連續(xù)射擊 5 槍命中的環(huán)數(shù)分別為： 9.7， 9.9， 10.1，10.2， 10.1，則這組數(shù)據(jù)的方差為4從 2 個紅球， 2 個黃球， 1 個白球中隨機取出兩個球，則兩球顏色不同的概率是5已知向量 a (1， 2)， b ( m， 4)，且 a (2a b) ，則實數(shù) m 的值為6如圖，它是一個算法的流程圖，最后輸出的k 值為 開始k 1yS 03k k1 1OSS2k3xS 20Y 3N輸出 k（第 7 題圖）結(jié)束（第 6 題圖）高三數(shù)

3、學試卷第1頁（共 13 頁）7如圖，它是函數(shù) f(x) Asin( x )(A 0， 0， 0，2) )圖象的一部分， 則 f (0)的值為228已知雙曲線 x2 y2 1 (a 0， b 0)的一條漸近線的方程為2x y 0，則該雙曲線的離心率為ab9直三棱柱 ABC A1 B1C1 的各條棱長均為2， E 為棱 CC1 的中點，則三棱錐 A1 B1C1E 的體積為10對于直線 l，m，平面 ，m ，則“ l m”是“ l ”成立的條件（在“充分不必要” 、_“必要不充分” 、“充要”、“既不充分又不必要”中選填一個）111已知函數(shù) f(x) 3x3 x2 2ax 1，若函數(shù) f(x)在(1

4、，2)上有極值， 則實數(shù) a 的取值范圍為12已知平行四邊形ABCD 中，AD 2， BAD 60若 E 為 DC 中點，且 AE BD 1，則 BD BE的值為_13已知等比數(shù)列 a 的公比 q 1，其前 n 項和為 S 若 S 2S 1，則 S 的最小值為nn42614在平面直角坐標系xOy 中， A，B 為 x 軸正半軸上的兩個動點，P（異于原點O）為 y 軸上的一個定點若以AB 為直徑的圓與圓x2( y 2)2 1 相外切，且APB 的大小恒為定值，則線段OP的長為二、解答題 （本大題共6 小題，共90 分解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）1

5、5（本小題滿分 14 分）在 ABC 中，角 A， B，C 所對的邊分別為a， b，c，且 acosB bcosA（ 1）求 b的值；a1（ 2）若 sinA，求 sin(C ) 的值34高三數(shù)學試卷第2頁（共 13 頁）16（本小題滿分14 分）如圖，在四棱錐PABCD 中，底面ABCD 為平行四邊形，E 為側(cè)棱 PA 的中點（ 1）求證： PC / 平面 BDE ；CB（ 2）若 PC PA， PD AD，求證：平面BDE 平面 PABDAEP（第 16 題圖）17（本小題滿分 14 分）某市對城市路網(wǎng)進行改造，擬在原有a 個標段（注：一個標段是指一定長度的機動車道）的基礎上，新建 x 個

6、標段和 n 個道路交叉口，其中 n 與 x 滿足 n ax 5已知新建一個標段的造價為m萬元，新建一個道路交叉口的造價是新建一個標段的造價的k 倍（ 1）寫出新建道路交叉口的總造價y（萬元）與 x 的函數(shù)關系式；（ 2）設 P 是新建標段的總造價與新建道路交叉口的總造價之比若新建的標段數(shù)是原有標段數(shù)的120%，且 k 3問： P 能否大于 20，說明理由18（本小題滿分16 分）222，一條準線方程為 x = 2過橢圓的上頂點已知橢圓 x2 y2 1(ab0)的離心率 eA 作一條與ab2x 軸、 y 軸都不垂直的直線交橢圓于另一點P， P 關于 x 軸的對稱點為 Q（ 1）求橢圓的方程；（

7、2）若直線 AP， AQ 與 x 軸交點的橫坐標分別為m， n，求證： mn 為常數(shù)，并求出此常數(shù)yAQOxP（第 18 題圖）高三數(shù)學試卷第3頁（共 13 頁）19（本小題滿分16 分）已知函數(shù)f(x) ex， g(x) x b， b R 1）若函數(shù) f(x) 的圖象與函數(shù) g(x) 的圖象相切，求 b 的值；2）設 T(x) f(x) ag(x)， a R，求函數(shù) T(x)的單調(diào)增區(qū)間；3）設 h( x)|g(x)| f(x)，b 1若存在 x1， x2 0， 1，使 |h(x1 ) h(x2)| 1 成立，求 b 的取值范圍20（本小題滿分16 分）已知等差數(shù)列 an 的前 n 項和為

8、Sn，且 2a5 a3 13， S4 16（ 1）求數(shù)列 an 的前 n 項和 Sn；n（ 2）設 Tn ( 1)iai ，若對一切正整數(shù)n，不等式 Tn an 1( 1)n 1an 2n 1 恒成立，求實數(shù)i=1的取值范圍；3）是否存在正整數(shù) m， n(n m 2)，使得 S2， Sm S2， Sn Sm 成等比數(shù)列？若存在，求出所有的 m， n；若不存在，說明理由高三數(shù)學試卷第4頁（共 13 頁）南京市2016 屆高三學情調(diào)研考試數(shù)學參考答案及評分標準2015.09說明：1本解答給出的解法供參考如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制訂相應的評分細則2對計算題，當

9、考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分3解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)4只給整數(shù)分數(shù)，填空題不給中間分數(shù)一、填空題：本大題共14 小題，每小題 5 分，共 70 分41 22 103 0.0324 55 23236 5728 59 310必要不充分11 (3， 4)12 3132 3 314 32二、解答題：本大題共6 小題，共90 分15 解：（ 1）由 acosB bcosA，得 sinAcosB sinBcosA，3 分即

10、sin(A B)0因為 A， B(0， )，所以 A B (， )，所以 A B 0，b 16 分所以 a b，即 a122（ 2）因為 sinA 3，且 A 為銳角，所以cosA3 8 分42， 10 分所以 sinCsin( 2A) sin2A 2sinAcosA 9cosCcos(2A) cos2A 1 2sin2A 712 分9 8 7 214 分所以 sin(C)sinCcos cosCsin 1844416 證明 ：（ 1）連結(jié) AC，交 BD 于 O，連結(jié) OE因為 ABCD 是平行四邊形，所以OA OC2 分因為 E 為側(cè)棱 PA 的中點，所以 OE PC4 分因為 PC /

11、平面 BDE ， OE 平面 BDE ，所以 PC /平面 BDE 6 分高三數(shù)學試卷第5頁（共 13 頁）（ 2）因為 E 為 PA 中點， PD AD，所以 PADE 8 分因為 PCPA，OEPC，所以 PAOE 因為 OE平面 BDE ，DE平面 BDE ， OEDE E，CB所以 PA平面 BDE 12 分O因為 PA平面 PAB，所以平面 BDE 平面 PAB14 分DAEP17 解：（ 1）依題意得y mkn mk(ax 5)， x N* 4 分（ 2）方法一依題意 x 0.2a6 分所以 P mxx0.2a5)a8 分yk(ax5)k (0.2 a2k(a2 25)a1125

12、1 1 13 分3(a2 25)2530203(a a )3 (2a a )答： P 不可能大于1 14 分20方法二依題意 x 0.2a6 分所以 P mxx0.2a5)a8 分yk(ax 5)k (0.2 a2k(a2 25)假設 P1，得 ka2 20a 25k 010 分20因為 k3，所以 100(4 k2) 0，不等式 ka2 20a 25k0 無解13 分答： P 不可能大于1 14 分2018 解： 因為 c2， a2= 2，a2c所以 a2， c 1，所以 ba2 c2故橢圓的方程為x24 分 y212解法一設 P 點坐標為 (x ， y )，則 Q 點坐標為 (x ， y

13、)1111APy1 1 y1 1，所以直線 AP 的方程為 y y1 1x 1因為 k 011x1xxx令 y = 0 ，解得 m18 分y1 1.1 11 11 1AQ y y，所以直線AQ 的方程為 y yx 1因為 k x1 0 x1x1高三數(shù)學試卷第6頁（共 13 頁）x112 分令 y 0，解得 ny1 1 x1x12所以 mnx114 分y1 1 12y11 y1x2222x122x1又因為 (x1， y1)在橢圓 2 + y=1上，所以 2+ y1= 1 ，即 1y1=，22所以x1 2，即 mn 21y1所以 mn 為常數(shù)，且常數(shù)為216分解法二 設直線 AP 的斜率為 k(k

14、 0)，則 AP 的方程為 y = kx +1，令 y = 0 ，得 m 16 分ky = kx + 1，聯(lián)立方程組x2+ y2 1，2消去 y，得 (1 2k2)x2 4kx 0，解得 xA 0， xP =4k8 分2 ，1 + 2k1 2k2所以 yP kxP 11 2k2，4k1 2k2則 Q 點的坐標為 ( 1 + 2k2， 1 2k2)10 分1 2k2 1所以 kAQ1 2k21 ，故直線 AQ 的方程為 y 1 x 14k2k2k 1 + 2k2令 y 0，得 n 2k，14 分所以 mn ( k )( 2k) 2所以 mn 為常數(shù)，常數(shù)為216 分19 解： (1) 設切點為

15、(t， et)，因為函數(shù) f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象相切，所以 et 1，且 et tb，解得 b 12 分2) T(x) ex a(x b)， T(x) ex a當 a0時， T(x) 0 恒成立4 分當 a0時，由 T(x) 0，得 x ln( a)6 分所以，當 a0 時，函數(shù)T(x)的單調(diào)增區(qū)間為(， )；高三數(shù)學試卷第7頁（共 13 頁）當 a 0 時，函數(shù) T(x)的單調(diào)增區(qū)間為 (ln( a)， ) 8 分（ 3) h(x) |g(x)| f(x)(x b) ex， x b，x (x b) e ， x b.當 xb 時， h(x) (x b1) ex 0，所以 h(x)在

16、 (b， )上為增函數(shù)；當 xb 時， h(x) ( xb 1) ex，因為 b 1 x b 時， h(x) ( xb 1) ex0，所以 h( x)在 (b 1， b)上是減函數(shù)；因為 xb 1 時， h(x) ( x b 1) ex 0，所以 h(x)在 (， b 1)上是增函數(shù)10 分 當 b 0時， h(x)在 (0，1)上為增函數(shù)所以 h(x)max h(1) (1 b)e， h( x)min h(0) b由 h(x) max h(x) min 1，得 b 1，所以 b012 分當 0 b e時，e1因為 bx 1 時， h(x) (x b 1) ex 0，所以 h(x)在 (b，

17、1)上是增函數(shù)，因為 0 x b 時， h(x) (x b 1) ex 0，所以 h(x)在 (0， b)上是減函數(shù)所以 h(x)max h(1) (1 b)e， h(x)min h(b) 0e 1由 h(x) max h( x) min 1，得 b e 因為 0be ，所以 0b e 114 分e 1e當e b 1 時，e 1同理可得， h( x)在 (0，b) 上是減函數(shù)，在 (b， 1)上是增函數(shù)所以 h(x)max h(0) b， h(x)min h(b) 0因為 b1，所以 h(x)max h( x)min 1 不成立綜上， b 的取值范圍為 (，e 1e )16 分20 解： (1

18、)設數(shù)列 a 的公差為 dn因為 2a5a3 13， S4 16，2(a 4d) (a 2d) 13，所以11解得 a1 1， d 2，2 分14a 6d 16所以 an 2n 1， Sn n24 分(2)當 n 為偶數(shù)時，設n 2k，k N *，則 T2k( a2 a1 ) (a4 a3) (a2 k a2k 1) 2k 5 分代入不等式 Tn an 1 ( 1)n 1an 2n1，得 2k 4k，從而 4k2k設 f(k) 4kk 1kk，則 f(k 1) f(k)4 4 4 (3k 1)2k2(k+1)2k2k(k 1)因為 kN * ，所以 f(k 1) f( k) 0，所以 f(k)

19、 是遞增的，所以 f( k)min 2，所以 27 分高三數(shù)學試卷第8頁（共 13 頁）當 n 為奇數(shù)時，設 n 2k 1， kN *，則 T2k 1 T2k (1)2 ka2k 2k (4k1) 1 2k8 分代入不等式 Tn an 1 ( 1)n 1an 2n1 ，得 (1 2k) (2k1)4k，從而 4k因為 kN * ，所以 4k 的最大值為 4，所以 4綜上， 的取值范圍為 4 210 分(3)假設存在正整數(shù)m， n(n m 2)，使得 S2， Sm S2， Sn Sm 成等比數(shù)列，則 (SmS2)2 S2 (Sn Sm)，即 (m2 4)2 4(n2 m2)，所以 4n2(m2

20、2)2 12，即 4n2 (m2 2)2 12，12 分即 (2n m2 2)(2n m22) 1214 分因為 n m2，所以 n 4， m3，所以 2n m2 2 15因為 2n m22 是整數(shù)，所以等式 (2n m22)(2 nm2 2) 12 不成立，故不存在正整數(shù) m， n(n m2)，使得 S2m2nm16 分，S S ，S S 成等比數(shù)列 高三數(shù)學試卷第9頁（共 13 頁）高三數(shù)學試卷第10頁（共 13 頁）南京市 2016 屆高三學情調(diào)研考試數(shù)學附加題參考答案及評分標準2015.0921【選做題】 在 A 、B 、C、 D 四小題中只能選做2 題，每小題10 分，共 20 分A

21、 選修 4 1：幾何證明選講證明： 連接 BD，因為直線 AE 與圓 O 相切，所以 EAD ABD4 分又因為 AB CD， 所以 BAD ADE ，所以 EAD DBA 8 分EDAD從而 DA BA ，所以 AD2 ABED 10 分B選修 4 2：矩陣與變換a233a 252 分解：依題意得b 11 3b 1 1， 3a 25，a1，所以3b 1 1，解得b0所以A126 分0 1因為 det(A)128 分 1 (1) 0 2 1，0 11210 分所以 A1 10C選修 4 4：坐標系與參數(shù)方程解：圓 C 的普通方程為 (x m) 2 y2 42 分直線 l 的極坐標方程化為( 2

22、22 cos2 sin) 2，22即 2 x 2 y2，化簡得 x y 2 04 分因為圓 C 的圓心為 C(m， 0)，半徑為2，圓心 C 到直線 l 的距離 d|m 2 |，2所以 d |m2 | 2，8 分2解得2 22 m 2 2 210分D選修 4 5：不等式選講解：由柯西不等式得 (x2 y2 z2)(1 2 5212) (1 x 5y 1 z)2 6 分因為 x5y z 9，所以 x2 y2 z2 3，8 分當且僅當 x 1，y5， z 1時取等號333高三數(shù)學試卷第11頁（共 13 頁）所以 x2 y2 z2 的最小值為310 分【必做題】第 22 題、第 23 題，每題 10 分，共20 分2