正余弦定理專題練習(xí)含答案

1、正余弦定理專題2020.3一、選擇題1、在ABC, a=1, B=45 , Smb(=2,則 ABC外接圓的直徑為 TOC o 1-5 h z ()A.4=B.60C.5/2D.6 ;【解析】選C.因?yàn)橛扇切蔚拿娣e公式得：S=acsin B= -x 1 xcx=2,所以 c=4Z 又因?yàn)?a=1, cos B=上， 2222根據(jù)余弦定理得：b2=1+32-8=25,解得b=5.所以 ABC勺外接圓的直徑為. = =5,二SitlB 正層2、在ABC4角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,如果c/a,B=30 ,那么角C等于()A.120B.105C.90D.75【解析】選A.因?yàn)閏=

2、v用a,所以sin C= v3sin A=&sin(180-30 -C)=V3sin(30+C)= ? i -sinC + 二 ,即 sin C=- V3cos C.所以 tan C=-/T 又 0 C3,則x對角的余弦值r- x,解得,x5.22-9-x2-3z若x3,則3對角的余弦值2x2xy 3,解得1x7想.故x的取值范圍是(1 ,相)U (vH 5).所以 S=absin C=|x4x.二、填空題5、在ABC4 已知 A=60 , tan B= 2 , a=2,貝U c=【解析】因?yàn)閠an B=V2 ,所以sin B=, cos B=?.又因?yàn)锳=60 , 所以sin C=sin18

3、0-(A+B)=sin(120-B)i %fi=sin 120 cos B-cos 120 sin B= -+.由正弦定理，得即c=05舐也血sinA即c=05舐也血sinA6、在ABCt 角 A, B, C的對邊分別為 a, b, c.若(a2+c2-b2)tanB=v虧ac,則角B的度數(shù)為.【解析】由余弦定理，得2accos B tan B=/5ac,整理，得sin B=, 所以B=60或120 .答案：60或1207、 ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別是a, b, c且滿足acos B-bcosA=c,貝UzABC勺形1大為.【解析】根據(jù)正弦定理，得a=2Rsin A, b=2Rsi

4、n B, C=2Rsin C（其 中R是 ABC#接圓的半徑）， 代入 acos B-bcos A=c 得2Rsin Acos B-2Rsin Bcos A=2Rsin C ,所以 sin Acos B-sin Bcos A=sin （A+B）,所以 sin Acos B-sin Bcos A=sin Acos B+sin Bcos A ,所以 2sin Bcos A=0 ,又因?yàn)閟in B #0,所以cos A=0 ,又AS （0 ,兀），所以A=,所以該三角形為直角三角形.答案：直角三角形8、在 ABC中，若 3b=2*asin B, cos A=cos C,則 ABC的形狀 為.【解析】

5、由正弦定理知b=2R sin B, a=2R sin A,則3b=23a - sinB可化為：3sin B=2 雷sin A sin B.因?yàn)?0 B180 ,所以 sin B# 0,所以 sin A=r,所以 A=60 或 120 ,又 cos A=cosC,所以A=C所以A=60 ,所以 ABC等邊三角形.答案：等邊三角形9、在ABC, a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C所對的邊長，a=行, bK2, 1+2cos(B+C)=0,則邊 BC上的高為【解析】由 1+2cos(B+C)=0和 B+C=jt -A,得 1-2cos A=0所以 cos A=, l.sin A= 一.再由正弦定

6、理，得sin B=再由正弦定理，得sin B=bsinA v區(qū)由ba知BA所以B不是最大角，B從而 cos B=-，_=.由上述結(jié)果知sin C=sin(A+B)= -yxl y + g)=；，設(shè)邊BC上的高、. _ V3+1為 h,貝U有 h=bsin C=.答案：10、在銳角三角形ABC中，a, b, c所對的角分別為A, B, C, A=2B 則7的取值范圍是.【解析】在銳角三角形ABC中，A, B, C90 ,(B 90)Bn)2B 901即 j 所以 30 B45 .I18O0-3B 90、由正弦定理知：M：=：.=2cos B (2 , vl),故?的取值范圍是(2 3).答案：(

7、V2, a知 BA.所以 B=60 或 120 .(1)當(dāng) B=60 時，C=180 -A-B= 180 -30 -60 =90 .在 RtzABOt C=90 , a=b=6, c=4vQ,所以 ac=2x3 X4V3=24.(2)當(dāng) B=120 時，C=180 -A-B= 180 -30 -120 =30 ,所以 A=Q 則有 a=c=2,13.所以 ac=2vQx2、反=12.12、ABC勺內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b, c.向量n=(a,y1b)與 n=(cos A , sin B) 平行.求A.若 a=V7, b=2,求 sin C.【解析】(1)因?yàn)閙/1 n,所以as

8、in B- V3bcos A=0.由正弦定理，得sin Asin B- 逐sin Bcos A=0 ,又因?yàn)?sin B #0,從而 tan A= V3 .由于0Ab,知AB所以cos B=.4- ，一 ，直、 - .- . K 3V21故 sin C=sin(A+B)=sin(B+ )=sin Bcos 一+cos Bsin -= WWW1 -J- * TOC o 1-5 h z , M爐13、在ABC,求證：(1)=.產(chǎn) stnCacosB sinB=.【證明】（1）由余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A , 于是/匕八 八/ MhE 八 A=1- - 2cos A=1- 2cos

9、 AcsmCs t n啟+3)-2 CsAs i nBinC；三sinCa2+t-b(2)方法areosB a-c(2)方法b-c COSA番b-c COSAZa2-(a2-hc2-2)勤 sinB如.方法二a-ccJ 方法二a-ccJ sinA-inCcBJ-C C05S 也甘-J-C C05S 也甘-E 1 帥CCOSAsin(BnCcosB sinBcosC sinB- - _ .：.14、在ABOt 已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 且 2cos Asin B=sin C ,確定 ABC勺形狀.【解析】由正弦定理得5inB 【解析】由正弦定理得5inB b，由 2cos As

10、in B=sin C由 2cos Asin B=sin CstnC c，有 cos A=TT-又由余弦定理得cos A=frz+c2-a又由余弦定理得cos A=frz+c2-a2ic 所以2b 7bc,即 c2=b2+c2-a2,所以a2=b2,所以a=b.又因?yàn)?a+b+c)(a+b-c)=3ab ,所以(a+b) 2-c2=3ab,所以 4b2-c2=3b2,即 b2=c2.所以 b=c,所以 a=b=c.15、所以ABC等邊三角形.已知a, b, c分別為 ABCE個內(nèi)角A,B, C的對邊,cqsB b 2c + = B, C的對邊,(1)求角A的大小.若a=2, 人84勺面積為應(yīng)，求

11、邊b, c.r sS b 2匚寸一-e/口 8sB sinB IsinC【斛析】(1)由而二及正弦無理伶嬴;5， 得，sin Acos B+cos Asin B=2sin Ccos A,即 sin(A+B)=2sin CcosA.因?yàn)?sin(A+B)=sin(兀-C)=sin C ,且 sin C ?0,所以，cos A行.又0A兀，所以，A=. J-1JI1耳 g 因?yàn)锳BC勺面積 S=bcsin A= -bcsin=,3 ,所以，bc=4.由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos A, 22=b2+c2-2bccos三所以，b2+c2 =8,J聯(lián)立解得，b=c=2.16、在ABC+,角A, B, C的對邊分別為a, b, c,且 a2-(b-c) 2=(2- /3)bc ,sin Asin B=cosBC邊上的中線 AM的長為.求角A和角B的大小.(2)求 ABC勺周長.【解析】(1)由 a2-(b-c) 2=(2-3)bc ,得 a2-b2-c2=-q&bc所以 cos A=-t-=.又0A兀，所以A三 62 一由 sin Asin B=cos ;，得sin B=；,即 sin B=1+cos C ,則 cos C0,即 C 為鈍角.所以B為銳角，且B+C當(dāng)， O則 si