2022屆江西省南昌、南昌二十等四校高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知函數(shù)，若函數(shù)的極大值點從小到大依次記為，并記相應(yīng)的極大值為，則的值為（ ）ABCD2算數(shù)書竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍.其中記載

2、有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長與高，計算其體積的近似公式.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為（ ）ABCD3已知四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD4已知函數(shù)f（x）sin2x+sin2（x），則f（x）的最小值為（ ）ABCD5已知函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）ABCD6已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為，則（ ）A3BCD7設(shè)且，則下列不等式成立的是（ ）ABCD8在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=

3、i對應(yīng)的點為Z，將向量繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（ ）ABCD9已知集合，則全集則下列結(jié)論正確的是( )ABCD10在四面體中，為正三角形，邊長為6，則四面體的體積為（ ）ABC24D11已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，則函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)為（ ）A9B10C18D2012已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，P為C上一點，PQ垂直l于點Q，M，N分別為PQ，PF的中點，MN與x軸相交于點R，若NRF=60，則|FR|等于_.14點到直線的距離為_15已知實

4、數(shù) 滿足，則的最大值為_.16如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為_. 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x-(I)求f(x)的最小正周期；(II)若(6,)且f(18（12分）某公園準備在一圓形水池里設(shè)置兩個觀景噴泉，觀景噴泉的示意圖如圖所示，兩點為噴泉，圓心為的中點，其中米，半徑米，市民可位于水池邊緣任意一點處觀賞（1）若當(dāng)時，求此時的值；（2）設(shè)，且（i）試將表示為的函數(shù)，并求出的取值范圍；（ii）若同時要求市民在水池邊緣任意一點處觀賞噴泉時，觀賞角度的最大值不小于，試求兩處噴泉間距離的最小值

5、19（12分）對于正整數(shù)，如果個整數(shù)滿足，且，則稱數(shù)組為的一個“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為.()寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;()對于給定的整數(shù)，設(shè)是的一個“正整數(shù)分拆”，且，求的最大值;()對所有的正整數(shù)，證明:;并求出使得等號成立的的值.(注:對于的兩個“正整數(shù)分拆”與，當(dāng)且僅當(dāng)且時，稱這兩個“正整數(shù)分拆”是相同的.)20（12分）如圖，在矩形中，點分別是線段的中點，分別將沿折起，沿折起，使得重合于點，連結(jié).（）求證：平面平面；（）求直線與平面所成角的正弦值.21（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，如果方程有兩個不

6、等實根，求實數(shù)t的取值范圍，并證明.22（10分）如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，為正三角形，且平面平面，、分別為、的中點.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】對此分段函數(shù)的第一部分進行求導(dǎo)分析可知，當(dāng)時有極大值，而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán)，而值域則是每一次前面兩個單位長度定義域的值域的2倍，故此得到極大值點的通項公式，且相應(yīng)極大值，分組求和即得【詳解】當(dāng)時，顯然當(dāng)時有，經(jīng)單調(diào)性分析知為的第一個極值點又時，均為其極值點函數(shù)不能在端點處取得極值，對應(yīng)極值，故選

7、：C【點睛】本題考查基本函數(shù)極值的求解，從函數(shù)表達式中抽離出相應(yīng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列，最后分組求和，要求學(xué)生對數(shù)列和函數(shù)的熟悉程度高，為中檔題2C【解析】將圓錐的體積用兩種方式表達，即，解出即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則，又，故，所以，.故選：C.【點睛】本題利用古代數(shù)學(xué)問題考查圓錐體積計算的實際應(yīng)用，考查學(xué)生的運算求解能力、創(chuàng)新能力.3B【解析】由題意建立空間直角坐標系，表示出各點坐標后，利用即可得解.【詳解】平面，底面是邊長為2的正方形，如圖建立空間直角坐標系，由題意：，為的中點，.，異面直線與所成角的余弦值為即為.故選：B.【點睛】本題考查了空間向量的應(yīng)用，考查了空間想象能力，

8、屬于基礎(chǔ)題.4A【解析】先通過降冪公式和輔助角法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再求最值.【詳解】已知函數(shù)f（x）sin2x+sin2（x），=，=，因為，所以f（x）的最小值為.故選：A【點睛】本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.5A【解析】先求出函數(shù)在處的切線方程，在同一直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可.【詳解】當(dāng)時，所以函數(shù)在處的切線方程為：，令，它與橫軸的交點坐標為.在同一直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象如下圖的所示：利用數(shù)形結(jié)合思想可知：不等式對任意的恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是.故選：A【點睛】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒

9、成立問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.6D【解析】由雙曲線方程可得漸近線方程，根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率，由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程可知：，漸近線方程為：，一條漸近線的傾斜角為，解得：.故選：.【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是明確直線傾斜角與斜率的關(guān)系；易錯點是忽略方程表示雙曲線對于的范圍的要求.7A【解析】 項，由得到，則，故項正確；項，當(dāng)時，該不等式不成立，故項錯誤；項，當(dāng)，時，即不等式不成立，故項錯誤；項，當(dāng)，時，即不等式不成立，故項錯誤綜上所述，故選8A【解析】由復(fù)數(shù)z求得點Z的坐標，得到向量的坐標，逆時針旋轉(zhuǎn)，得到向量的坐標，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)

10、可求.【詳解】解：復(fù)數(shù)z=i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面中對應(yīng)點Z（0，1），(0，1)，將繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，設(shè)(a，b)，則，即，又，解得：，對應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選：A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.9D【解析】化簡集合，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，化簡集合，按照集合交集、并集、補集定義，逐項判斷，即可求出結(jié)論.【詳解】由，則，故，由知，因此，故選:D【點睛】本題考查集合運算以及集合間的關(guān)系，求解不等式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10A【解析】推導(dǎo)出，分別取的中點,連結(jié)，則，推導(dǎo)出，從而，進而四面體的體積為，由此能求出結(jié)果.【詳解】解： 在四面體中，為等邊三角形，邊長為6，分別取

11、的中點，連結(jié)，則，且，平面，平面，四面體的體積為：.故答案為：.【點睛】本題考查四面體體積的求法，考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力.11B【解析】由已知可得函數(shù)f（x）的周期與對稱軸，函數(shù)F（x）f（x）在區(qū)間上零點的個數(shù)等價于函數(shù)f（x）與g（x）圖象在上交點的個數(shù)，作出函數(shù)f（x）與g（x）的圖象如圖，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】函數(shù)F（x）f（x）在區(qū)間上零點的個數(shù)等價于函數(shù)f（x）與g（x）圖象在上交點的個數(shù)，由f（x）f （2x），得函數(shù)f（x）圖象關(guān)于x1對稱，f（x）為偶函數(shù)，取xx+2，可得f（x+2）f（x）f（x），得函數(shù)周期為2.又當(dāng)x

12、0，1時，f（x）x，且f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x1，0時，f（x）x，g（x），作出函數(shù)f（x）與g（x）的圖象如圖：由圖可知，兩函數(shù)圖象共10個交點，即函數(shù)F（x）f（x）在區(qū)間上零點的個數(shù)為10.故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題.12D【解析】與中間值1比較，可用換底公式化為同底數(shù)對數(shù)，再比較大小【詳解】，又，即，故選：D.【點睛】本題考查冪和對數(shù)的大小比較，解題時能化為同底的化為同底數(shù)冪比較，或化為同底數(shù)對數(shù)比較，若是不同類型的數(shù)，可借助中間值如0，1等比較二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。132【解

13、析】由題意知：，.由NRF=60，可得為等邊三角形，MFPQ，可得F為HR的中點，即求.【詳解】不妨設(shè)點P在第一象限，如圖所示，連接MF，QF.拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，P為C上一點，.M，N分別為PQ，PF的中點，PQ垂直l于點Q，PQ/OR，NRF=60，為等邊三角形，MFPQ，易知四邊形和四邊形都是平行四邊形，F(xiàn)為HR的中點，故答案為：2.【點睛】本題主要考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.142【解析】直接根據(jù)點到直線的距離公式即可求出。【詳解】依據(jù)點到直線的距離公式，點到直線的距離為?！军c睛】本題主要考查點到直線的距離公式的應(yīng)用。15【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，將

14、目標函數(shù)看作點與可行域的點所構(gòu)成的直線的斜率，當(dāng)直線過時，直線的斜率取得最大值，代入點A的坐標可得答案.【詳解】畫出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖所示，由得點，目標函數(shù)表示點與可行域的點所構(gòu)成的直線的斜率，當(dāng)直線過時，直線的斜率取得最大值，此時的最大值為.故答案為：. 【點睛】本題考查求目標函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于明確目標函數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.16【解析】由題意可知半球的半徑與正四棱錐的高相等，可得正四棱錐的棱與半徑的關(guān)系，進而可寫出半球的半徑與四棱錐體積的關(guān)系，進而求得結(jié)果.【詳解】設(shè)所給半球的半徑為，則四棱錐的高，則，由四棱錐的體積，半球的體積為：.【方法點睛】涉及球與棱柱、棱

15、錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點（一般為接、切點）或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17 (I)；(II)-【解析】(I)化簡得到fx(II) f(2)=2sin【詳解】(I) f(x)=2sin2x+(II) f(2)=2sin(6,)，故+故+12sin(2+【點睛】本題考查了三角函數(shù)的周期，三角恒等變換，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.18 (1)；

16、(2)(i)，；(ii).【解析】（1）在中，由正弦定理可得所求；（2）（i）由余弦定理得，兩式相加可得所求解析式（ii）在中，由余弦定理可得，根據(jù)的最大值不小于可得關(guān)于的不等式，解不等式可得所求【詳解】（1）在中，由正弦定理得，所以，即（2）（i）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又所以，即又，解得，所以所求關(guān)系式為，（ii）當(dāng)觀賞角度的最大時，取得最小值在中，由余弦定理可得，因為的最大值不小于，所以，解得，經(jīng)驗證知，所以即兩處噴泉間距離的最小值為【點睛】本題考查解三角形在實際中的應(yīng)用，解題時要注意把條件轉(zhuǎn)化為三角形的邊或角，然后借助正余弦定理進行求解解題時要注意三角形邊角關(guān)系的運用，

17、同時還要注意所得結(jié)果要符合實際意義19 () ，；() 為偶數(shù)時，為奇數(shù)時，；()證明見解析，【解析】()根據(jù)題意直接寫出答案.()討論當(dāng)為偶數(shù)時，最大為，當(dāng)為奇數(shù)時，最大為，得到答案.() 討論當(dāng)為奇數(shù)時，至少存在一個全為1的拆分，故，當(dāng)為偶數(shù)時， 根據(jù)對應(yīng)關(guān)系得到，再計算，得到答案.【詳解】()整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為：，.()當(dāng)為偶數(shù)時，時，最大為；當(dāng)為奇數(shù)時，時，最大為；綜上所述：為偶數(shù)，最大為，為奇數(shù)時，最大為.()當(dāng)為奇數(shù)時，至少存在一個全為1的拆分，故；當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)是每個數(shù)均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”，則它至少對應(yīng)了和的均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：.當(dāng)時，偶數(shù)“正整

18、數(shù)分拆”為，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，；當(dāng)時，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，故；當(dāng)時，對于偶數(shù)“正整數(shù)分拆”，除了各項不全為的奇數(shù)拆分外，至少多出一項各項均為的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：使成立的為：或.【點睛】本土考查了數(shù)列的新定義問題，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.20（）詳見解析；（）.【解析】（）根據(jù)，可得平面，故而平面平面（）過作于，則可證平面，故為所求角，在中利用余弦定理計算，再計算【詳解】解：（）因為，平面，平面所以平面，又平面，所以平面平面；（）過作于，則由平面，且平面知，所以平面，從而是直線與平面所成角.因為， 所以，從而.【點睛】本題考查了面面垂直的判定，考查直線與平面所成角的計算，屬于中檔題21（1）當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），證明見解析.【解析】（1）求出，對分類討論