貝葉斯公式和全概率課件

1、貝葉斯公式和全概率貝葉斯公式和全概率1.5.1 全概率公式 引例：設(shè)甲盒有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，乙盒有4個(gè)白球，1個(gè)紅球，現(xiàn)從甲盒任取2球放入乙盒，再?gòu)囊液腥稳?球，求從乙盒取出2個(gè)紅球的概率 影響從乙盒中取2個(gè)紅球概率的關(guān)鍵因素是什么？ 解 設(shè)A1從甲盒取出個(gè)紅球; A2 從甲盒取出個(gè)白球; A3從甲盒取出1個(gè)白球1個(gè)紅球 ；B=從乙盒取出個(gè)紅球;則 A1, A2, A3 兩兩互斥，且A1A2A3 , 所以 B=B(A1A2A3)B A1B A2BA3B, P(B)=P(A1BA2BA3B)=P(A1B)P(A2B)P(A3B) = P(A1 )P(B| A1)P(A2)P(B| A2)P(A

2、3)P(B|A3)思考：這種解法是否可一般化？1.5.1 全概率公式 引例：設(shè)甲盒有3個(gè)白球，2個(gè)紅 定義1 設(shè)事件1，2，n為樣本空間的一組事件。 如果(1) Ai Aj= （ij）;則稱(chēng)1，2，n為樣本空間的一個(gè)劃分。 1. 完備事件組（樣本空間的一個(gè)劃分）(2)A1A2A3An 例如上例中的 1從甲盒取出個(gè)白球， 2從甲盒取出個(gè)紅球， 3從甲盒取出1個(gè)白球1個(gè)紅球，就構(gòu)成了一個(gè)完備事件組。 1.5.1 全概率公式 定義1 設(shè)事件1，2，n為樣本空間的一 2. 全概率公式 定理 設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為，設(shè)事件A1，A2，An為樣本空間的一個(gè)劃分，且P(i)0 (i =1,2, ,n) 則對(duì)任意

3、事件B，有A1A2A3AnB 證明 因?yàn)锳i Aj = （ij）按概率的可加性及乘法公式有 2. 全概率公式 定理 設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為 例 設(shè)袋中有12個(gè)乒乓球，9個(gè)新球，3個(gè)舊球第一次比賽取3球，比賽后放回，第二次比賽再任取3球，求第二次比賽取得3個(gè)新球的概率 3. 全概率公式的應(yīng)用 如果試驗(yàn)E有兩個(gè)相關(guān)的試驗(yàn)E1，E2復(fù)合而成，E1有若干種可能的結(jié)果，E2在E1的基礎(chǔ)上也有若干種可能的結(jié)果，如果求和E2的結(jié)果有關(guān)事件的概率，可以用全概率公式試驗(yàn)E的幾種可能的結(jié)果就構(gòu)成了完備事件組 解 Ai=第一次比賽恰取出i個(gè)新球（i=0, 1, 2, 3 )； B=求第二次比賽取得3個(gè)新球顯然A0, A

4、1, A2, A3構(gòu)成一個(gè)完備事件組，由全概率公式得： 例 設(shè)袋中有12個(gè)乒乓球，9個(gè)新球，3個(gè)舊球第一 例1 播種用的一等小麥種子中混有2%的二等種子，1.5%的三等種子, 1%的四等種子, 用一等、二等、三等、四等種子長(zhǎng)出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5,0.15,0.1、0.05,求這批種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率。 解 設(shè)從這批種子中任選一顆是一等、二等、三等、四等種子的事件分別為B1,B2,B3,B4，則它們構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分， 用A表示在這批種子中任選一顆，且這顆種子所結(jié)的穗含有50粒以上麥粒的事件，則由全概率公式 例1 播種用的一等小麥種子中混有2%的二等種子，

5、1 練習(xí)1 有朋自遠(yuǎn)方來(lái)，乘火車(chē)、船、汽車(chē)、飛機(jī)來(lái)的概率分別為0.3，0.2，0.1，0.4，遲到的概率分別為0.25，0.3，0.1，0；求他遲到的概率 解 設(shè)A1他乘火車(chē)來(lái)，A2他乘船來(lái)，A3他乘汽車(chē)來(lái)， A4他乘飛機(jī)來(lái)，B他遲到。易見(jiàn)：A1, A2, A3, A4構(gòu)成一個(gè)完備事件組，由全概率公式得=0.30.25 0.0.3 0.0.1 0.40=0.145。 練習(xí)1 有朋自遠(yuǎn)方來(lái)，乘火車(chē)、船、汽車(chē)、飛機(jī)來(lái)的概率 練習(xí)2 兩臺(tái)機(jī)床加工同樣的零件，第一臺(tái)的廢品率為0.04，第二臺(tái)的廢品率為0.07，加工出來(lái)的零件混放，并設(shè)第一臺(tái)加工的零件是第二臺(tái)加工零件的2倍，現(xiàn)任取一零件，問(wèn)是合格品的概

6、率為多少？ 解 令B=取到的零件為合格品，Ai=零件為第i臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)品, i=1, 2. 此時(shí), 全部的零件構(gòu)成樣本空間，A1, A2構(gòu)成的一個(gè)劃分。由全概率公式得: 練習(xí)2 兩臺(tái)機(jī)床加工同樣的零件，第一臺(tái)的廢品率為01.5.2 貝葉斯公式 1. 引例 設(shè)甲盒有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，乙盒有4個(gè)白球，1個(gè)紅球，現(xiàn)從甲盒任取2球放入乙盒，再?gòu)囊液腥稳汕?，?(1)從乙盒取出2個(gè)紅球的概率; (2)已知從乙盒取出2個(gè)紅球，求從甲盒取出兩個(gè)紅球的概率。 解 (1)設(shè)A1=從甲盒取出2個(gè)紅球，A2=從甲盒取出2個(gè)白球； A3從甲盒取出1個(gè)白球1個(gè)紅球 ；B=從乙盒取出2個(gè)紅球；則A1, A2, A3 兩

7、兩互斥，且A1+A2+A3=, 所以 P(B)= P(A1)P(B|A1 )+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)(2) P(A1|B)1.5.2 貝葉斯公式 1. 引例 設(shè)甲盒有3個(gè)白球 2. 貝葉斯公式 定理 設(shè)A1，A2，An為樣本空間的一個(gè)劃分，且P(Ai)0（i=1,2,n），則對(duì)于任何一事件B ( P(B)0), 有于是 （j=1，2，n）。事實(shí)上，由條件概率的定義及全概率公式 2. 貝葉斯公式 定理 設(shè)A1，A2，A3. 貝葉斯公式的應(yīng)用 (1) 如果試驗(yàn)E有兩個(gè)相關(guān)的試驗(yàn)E1，E2復(fù)合而成，E1有若干種可能的結(jié)果，E2在E1的基礎(chǔ)上也有若干種可能的結(jié)果，如果已知和

8、E2的結(jié)果有關(guān)某事件發(fā)生了，求和試驗(yàn)E1的結(jié)果有關(guān)事件的概率，可以用貝葉斯公式試驗(yàn)E1的幾種可能的結(jié)果就構(gòu)成了完備事件組。 (2) 如果把樣本空間的一個(gè)劃分A1, A2, , An看作是導(dǎo)致事件B發(fā)生的各種原因，如果B發(fā)生了，求P(Aj|B)可以用貝葉斯公式。 3. 貝葉斯公式的應(yīng)用 (1) 如果試驗(yàn)E有兩個(gè)相 例2 一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試，第一次及格的概率為p，若第一次及格則第二次及格的概率也為p；若第一次不及格則第二次及格的概率為p/2若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率 于是，由全概率公式得 由貝葉斯公式得 解 記Ai=該學(xué)生第i次考試及格，i=1,2顯然 為樣本空間的

9、一個(gè)劃分，且已知 例2 一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試，第一次及格 例3 某醫(yī)院對(duì)某種疾病有一種看起來(lái)很有效的檢驗(yàn)方法，97%的患者檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，95%的未患病者檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，設(shè)該病的發(fā)病率為0.4%現(xiàn)有某人的檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，問(wèn)他確實(shí)患病的概率是多少？ 得到由貝葉斯公式得 解 記B為檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性，則 為檢驗(yàn)結(jié)果是陰性，A表示患有該病，則 為未患該病由題意 例3 某醫(yī)院對(duì)某種疾病有一種看起來(lái)很有效的檢驗(yàn)方法 例4 對(duì)以往數(shù)據(jù)分析的結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為90%，而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí)，其合格率為30%。每天早上機(jī)器開(kāi)動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為75%，試求某日早上第一件產(chǎn)品是合格時(shí)，機(jī)器調(diào)整得良好的概率。 解 設(shè)A1=機(jī)器調(diào)整良好, A2=機(jī)器調(diào)整不好, B=產(chǎn)品合格，已知P(A1)