江蘇省泰州市2020-2021學(xué)年高二第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理科)試題

1、【市級聯(lián)考】江蘇省泰州市2020-2021學(xué)年高二第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理科)試題學(xué)校:姓名：班級：考號：一、填空題TOC o 1-5 h z命題：“若a=0,則ab=0”的逆否命題是.已知復(fù)數(shù)z=2-i(1是虛數(shù)單位)，則#=.3已知橢圓+=1,則橢圓的焦點坐標(biāo)是25164.“(x+2)(x1)0”是“3vx0.b0)的離心率為頂，則一的值為a*lra直線1過點(0,1),且與曲線y=f(x)相切于點(a,3),若=則實數(shù)a的值是.在實數(shù)中：要證明實數(shù)，b相等，可以利用a0,且f(2)=|,則不等式(x+l)f(x2+1)1的解集為.觀察下列等式：討出,|冷+右=+赤=+右,按此規(guī)律,11.

2、若定義在R上的函數(shù)f(x)=|x3-3x2+m|有三個不同的單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)m的取值范掏是12已知橢圓。話唸過點P(。的直線】與橢圓C交于A,B兩點,若A是線段PB的中點，則點A的坐標(biāo)為22113.已知橢圓C：卡+詈=i(ab0)的右焦點為F(2,0),f關(guān)于直線y=，x的對稱點Q在橢圓C上，則b二.若函數(shù)y=+7x-2x2在(1,+S)上的最大值為8,則實數(shù)a的值為X二、解答題已知p：復(fù)數(shù)(a-l)+(a-4)i所對應(yīng)的點在復(fù)平面的第四彖限內(nèi)(其中aeR),q：VxeR,x2+2V3x+a0(其中aER).如果“P或q”為真，求實數(shù)a的取值范風(fēng)如果“p且q”為真，求實數(shù)a的取值范|制.已

3、知拋物線C1；y2=2px一點M(3,m)(m0)到其焦點的距離為6,雙曲線C?:尋話=l(b0)的左焦點為A,雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直.求拋物線G的方程；求雙曲線C?的方程.(1)己知f(x)=J5T,xw0,+8),如X,x2e0,+oo),且XHX2,求證：(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)nwN*時，32n+1+2n+2能被7整除.如圖，以兩條互相垂直的公路所在直線分別為X軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，公路附近有一居民區(qū)EFG和一風(fēng)景區(qū)，其中OE=1(單位：百米)，NOEF=45，風(fēng)景1(3)區(qū)的部分邊界為曲線c,曲線c的方程為y=-x0)的右準(zhǔn)線方程為ab-x=4，右頂點為A(2,0)

4、.求橢圓c的方程：若M,N是橢圓C上不同于A的兩點，點P是線段MN的中點.如圖1，若aOPA為等腰直角三角形且直角頂點P在x軸上方，求直線MN的方程：如圖2所示，點Q是線段NA的中點，若AM丄AN且/OPQ的角平分線與x軸垂直，求直線AM的斜率.20.己知函數(shù)f(x)=xliix,g(x)=ex,h(x)=kx+ex-*(kwR),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間：求證：g(x)f(x)+l；若f(x)+g(x)h(x)恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.參考答案若abH0,則a工0【解析】【分析】根據(jù)原命題和其逆否命題的形式，即可得到結(jié)杲.【詳解】否定前提：。=0=。工0否定結(jié)論

5、：ab=O=ab0前提和結(jié)論都需要否定，然后調(diào)換位置本題正確結(jié)果：若ab工0,則qHO【點睛】本題考查命題的基本定義，屬于基礎(chǔ)題.5【解析】試題分析：=J2,+1=/5.考點：復(fù)數(shù)模的定義（-3,0）,（3,0）【解析】【分析】通過標(biāo)準(zhǔn)方程確定亍和/，根據(jù)db,c的關(guān)系，得到焦點仕c,0）.【詳解】由題意得：ci=25，/?=16由a2=b2+c2得：c=J25_16=3焦點坐標(biāo)為（3,0）本題正確結(jié)果：（一3,0）,（3,0）【點睛】本題考察了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的定義和簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4.充分不必要【解析】【分析】通過求解不等式得到-2xl,判斷其與-3vxvl的關(guān)系即可得到結(jié)果.【詳解

6、】由（x+2）（x-l）0可得：-2xl當(dāng)一2兀1時，必有-3x01當(dāng)一3x01時，則-2x0vl未必成立（如兀=一2.5）本題正確結(jié)果：充分不必要【點睛】本題考查充要條件的基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題.【解析】【分析】對/（%）求導(dǎo)，通過廣（切/W,即c=y/lOaa又c2=a2+b2,所以b=y/c2-a2=3a厶3a本題正確結(jié)果：3【點睛】本題考察了雙曲線離心率以及a.b.c之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2【分析】利用切線斜率既等于導(dǎo)函數(shù)的值，又可以表示為兩點連線斜率公式的形式，得到關(guān)于。的方程，解方程得到結(jié)果.【詳解】廣）=1即切線斜率k=l3-1?直線過（0,1）,（。,3）,貝=-a-Qa2=1

7、=d=2a本題正確結(jié)果：2【點睛】本題考察了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，關(guān)鍵在于構(gòu)造出關(guān)于切線斜率的等量關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.AcB且【解析】【分析】集合之間的是“包含”和“包含于”的關(guān)系.集合相等，說明二者互為子集.【詳解】A=B說明4集合和B集合元素完全相同，既互為子集的關(guān)系本題正確結(jié)果：且3匸4【點睛】本題考查合情推理中的類比推理，屬于基礎(chǔ)題.（一8,-1）2（1,+8）本題正確結(jié)果:本題正確結(jié)果:n+l+(n+l)(2n+l)【分析】由/(x)+h(x)0得到h(x)在尺上單調(diào)遞增：將不等式中的1改寫為2/(2),利用#(x)單調(diào)性得到關(guān)于x的不等式，解不等式得到結(jié)呆.【詳解】f(x)+V，W0=0在

8、R上單調(diào)遞增又/(2)=|,得2/(2)=1原不等式可化為：(x2+l)/(xz+l)2/(2)x2+l2nxe(-oo,-l)u(l,+co)本題正確結(jié)果：(-00,-1)u(l,-Ko)【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性解不等式的問題，關(guān)鍵在于利用已知條件構(gòu)造出h(x)這一新函數(shù),從而通過h(x)的單調(diào)性得到自變量之間的人小關(guān)系.101n+1(n+l)(2n+l)【分析】通過1=1,234觀察式子構(gòu)成規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，得到結(jié)論.【詳解】J亠f2_+丄=丄+32X1+1261+12X31+1(1+1)X(2X1+1)三=亠，Z+丄=丄+丄=丄+52X2+13152+13X52+1(2+l)X(2x2+

9、l)J亠齢斗丄=丄+72X3+14283+14X73+1(3+l)X(2x3+l)2_21.1_1.1_1.1.十十十92X4+15454+15X94+1(4+l)X(2x4+l)2271+112271+11(71+l)(2n+1)【點睛】本題考查歸納推理，關(guān)鍵是找到所給條件的一般性規(guī)律，從而得到結(jié)論.(0,4)【分析】通過f-3扌+加的圖像進行翻折得到門刃的圖像，找到符合題意的x軸的位置，得到關(guān)于加的不等式，求得結(jié)果.【詳解】設(shè)g(x)=十一3x2+m,則g(x)=3x2一6x令g(x)=0,解得：兀=0,=2則g(x)大致圖像如圖所示:/(x)圖像可通過將g(x)圖像位于A-軸下方部分翻折

10、到x上方極小值v0極人值時，可得到/(.Q有三個單調(diào)遞增區(qū)間g(x)極小值：g(2)=8-12+?=?-4g(x)極大值:g(O)=m/./?7-400/n4（0,2jJ）,B（0,-2jJ）,很顯然不滿足題意，舍去當(dāng)直線/斜率存在時，設(shè)/：），=總+6,代入橢圓方程得：（3+4/）+48也+96=0令A(yù)（心）?。ㄘ?令A(yù)（心）?。ㄘ?，兒），則XL+X2=43+4T963+4疋4為P3中點兀=2人可得:3為=48R可得:3為=48R3+4/16k3+4/2彳=962彳=963+4F483+4妒256k2(256k2(3+4/48Q解得：k2=-4二4（2,3）或4（2,3）故答案為（2,3）

11、或（-2,3）【點睛】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系問題，需要注意的是在假設(shè)直線斜截式方程時，要考慮斜率是否存在的情況，以保證求解的完整性.2【分析】通過點關(guān)于直線的對稱點求解方法，求解出點0的坐標(biāo)，代入橢圓方程，結(jié)合求得b的值.【詳解】8-2,b，+4Sbb28-2,b，+4Sbb2+4口上=_1則:x-22則:y+0_bx+2又a2=b2+c2，將0代入橢圓方程，可求得：b=2本題正確結(jié)果：2【點睛】本題解題的關(guān)鍵在于掌握點關(guān)于直線的對稱點的求解方法，求解時建立的方程選擇卞列等量關(guān)系中的兩個即可：對稱點連線與對稱軸垂直；兩對稱點的中點在對稱軸上；兩點到對稱軸的距離相等.8027【分析】將原題轉(zhuǎn)

12、化為-+7x-2x28在(1,2)上恒成立，通過分離變量求解出卷，通過驗x2780證可知當(dāng)a=時，最人值為827【詳解】由題意得：-+lx-2x28在(h+oo)上恒成立整理得：a2x3一7x2+Sx設(shè)g(x)=2x3一7x2+8.v,則(x)=6x2-14x+8令g)=0,解得：X=l,x2=(4/4可得g(x)在ILyI上單調(diào)遞減，在I-,+0I上單調(diào)遞增803270，則21=12-4a3如果“p或q”為真，貝恰和q至少一個為真；求出p和q均為假的a的范圍，取補集a1正確結(jié)果：(1,+8)如果“p且川”為真，則p真q假即卩l(xiāng)a3Ia0)到其焦點的距離為6由拋物線的定義可得3+號=6,即有p

13、=6即有拋物線的方程為y2=12xvV*=l(b0)的左焦點為A設(shè)A（j9+b,0）,由可得M（3,6）.6則直線AM斜率：kAM=f=T3+j9+lr又雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直，可得-+解得b=4則雙曲線的方程為-=1916【點睛】本題主要考察拋物線的定義和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.處理時要注意與AM垂直的漸近線斜率為負.17.（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）通過分析法，將所證不等式變?yōu)樽C明：（J云-J云）0成立，通過已知條件得到此式成立，從而證得結(jié)論；（2）按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟，先驗證”=1時成立，再假設(shè)n=k時成立，利用假設(shè)證得n=k+Y時成立，從而證得結(jié)果.【

14、詳解】（1）要證*f（xj+f（xjvf（魚尹fx】+x_2=J2f(x)=f(x2)=5/x7,即證X+Xj2Jxe,即Xl+x-zJxX?0,即為(曲-o,由于X,x2e0,+o9）,且XHX_上式顯然成立,(以上均可逆,故-f(X1)+f(x2)f節(jié)乂；22/(2)當(dāng)n=l時,3知+2*=3+2=35，能被7整除;假設(shè)n=k時，32k+1+2k-能被7整除，那么當(dāng)11=k+1時,32k+3+2k+3=932k+1+22k+2=732k+1+232k+1+22k+2=7.3f2.(3f2)，由于3如+2能被7整除，7-32k+1能被7整除，可得32k+3+2k+3能被7整除，即當(dāng)n=k+1

15、時，3宀+23能被7整除;綜上可得當(dāng)nwN時，32n+1+2Q-能被7整除【點睛】本題考查不等式的證明方法.分析法和歸納法是證明不等式的常用方法.要注意的是在利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，n=k時的假設(shè)在證明n=k+l成立時，必須得到應(yīng)用.18.(1)S(t)=4r-4t+l18.(1)S(t)=4r-4t+l(2)【分析】(1)根據(jù)曲線切線方程的求法，得到切線A/N的方程；與EF方程聯(lián)立，得到點N的坐標(biāo)，利用S(t)=-ME-yN得到函數(shù)關(guān)系式：(2)通過導(dǎo)數(shù)求得S的單調(diào)性，可知極小值點即為最小值點，從而求得最小面枳.【詳解】TOC o 1-5 h z11(1)由已知可知Pt,-，故直線MN的斜

16、率為一飛,t/t直線MN的方程為y=4(x-t)+-,Vt令y=0可得x=2tM(2t,0).又E(LO),NOEF=45J直線EF的方程為y=-x+l,聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組當(dāng)-t2時，S*(t)0,S(t)單調(diào)遞減，當(dāng)2t0,S單調(diào)遞增.23當(dāng)t=2時，S(t)取得最小值S(2)=-.3當(dāng)t=2時，aEMN面積最小，最小面積為一2【點睛】本題考察了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性.求解的關(guān)鍵是能夠通過切線，得到S(f)的表達式.屬于基礎(chǔ)題.4310【分析】(1)利用準(zhǔn)線方程，頂點坐標(biāo)，得到的值，從而得到橢圓方程；(2)利用等腰直角三角形，求得P點坐標(biāo)；再利用點差法，求得直線MN的斜率

17、，得到直線方程；根據(jù)點3差法得到的結(jié)論kMN-kop=-,通過假設(shè)直線AM方程，代入橢圓方程，利用韋達定理求得兩點坐標(biāo)，構(gòu)造關(guān)于R的方程，求得R的取值.【詳解】a2b2(l)v橢圓C：+M=l(ab0)的右準(zhǔn)線方程為x=4,右頂點為A(2,0)a2b2=4a=2t.c=ltb2=a2-c2=3*r橢圓c的方程為三+21=143(2)OPA為等腰直角三角形且直角頂點P在x軸上方.OP的方程為：y=x,AP的方程為：y=x+2.y=xy=-x+2y=xy=-x+2可得P(U).設(shè)M(x”yJ,N(x設(shè)M(x”yJ,N(x2,v2).RiJx1+x2=2,+v2=244=手礙兩式相減可得2)*厲-知

18、厲+%)=g=43xA-x223可得：氐打咯=一玄，又p(l,l),可得心亦=一才.3直線MN的方程為yl=-才(xl),即3x+4y7=0.設(shè)AM的斜率為4點P是線段MN的中點，點Q是線段NA的中點,3x+x2dy】+y三NOPQ的角平分線與x軸垂直，kp+kPQ=0,kop=k._33由可得kN1N-kop=-kj=44k設(shè)AM的方程為y=k(x-2).由ykx2可得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0.3；r+4)廠=12722Xm16k2-123+4k28k2-6“8k2-6“_-12k3+4kYM_3+4k2以一+換k,可得XN=|-k3k+412k3k+43整理可得:105亠0,解彳痕花迥10直線AM的斜率為士穿【點睛】本題主要考察直線與橢圓位置關(guān)系的綜合問題.解題的關(guān)鍵是合理的利用點差法，通過設(shè)而不求的方式，求解出直線斜率，或者建立斜率的關(guān)系式.點差法應(yīng)用的主要題型為涉及中點弦和弦中點的問題.(1AJ1、(r20.(1)增區(qū)間為,+刃，減區(qū)間為0,-:(2)見解析；(3)LTe丿0), HY