兩個自由度系統(tǒng)的振動課件

1、第5章 兩個自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)振動問題，在我們所討論的范圍內(nèi)是線性定常方程。而多自由度系統(tǒng)則是二階多元聯(lián)立微分方程組，各廣義坐標間存在相互“耦合”現(xiàn)象。 所謂耦合，就是變量之間互相聯(lián)系。由于這種耦合，使微分方程的求解變得非常困難。因此，分析多自由度系統(tǒng)振動問題的重要內(nèi)容之一就是如何將方程“解耦”，然后按單自由度的分析方法求解。 兩自由度是多自由度系統(tǒng)最簡單的情況。 建立運動微分方程的方法和單自由度系統(tǒng)基本一樣, 但難度更大。5.2.1 運動微分方程（P104-106）5.2 兩自由度系統(tǒng)的振動方程剛度矩陣和質(zhì)量矩陣5.2 振動方程 標準的m-k-c系統(tǒng)，對每一質(zhì)量利用牛頓定律得：坐

2、標原點仍取在靜平衡位置寫成矩陣形式5.2 振動方程式中：5.2 振動方程 M稱為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，K稱為剛度矩陣，C稱為阻尼矩陣，x為系統(tǒng)的位移列陣，F(xiàn)(t)為外激勵列陣。 對于其它形式的兩自由度振動系統(tǒng)同樣可得到相應的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣。 由于矩陣M、 K、 C的非對角線元素不為0，所以振動微分方程是互相耦合的非獨立方程。5.2 振動方程5.2.2 剛度影響系數(shù)與剛度矩陣 剛度矩陣K中的元素稱為剛度影響系數(shù)，其kij的力學意義是：僅在j坐標處產(chǎn)生單位廣義位移，系統(tǒng)平衡時需在i坐標處施加的廣義力。 具體求解時，只假設(shè)j坐標處的位移為1，其它各坐標的位移均為0。 剛度影響系數(shù)反映了系統(tǒng)彈

3、性元件的影響特性。5.2 振動方程5.2.3 慣性影響系數(shù)與質(zhì)量矩陣 質(zhì)量矩陣M中的元素稱為慣性（質(zhì)量）影響系數(shù)，其mij的力學意義是：僅在j坐標處產(chǎn)生單位廣義加速度，需在i坐標處施加的廣義力。 具體求解時，只假設(shè)j坐標處的加速度為1，其它各坐標的加速度均為0。 慣性影響系數(shù)反映了系統(tǒng)質(zhì)量元件的影響特性。5.2 振動方程 根據(jù)剛度影響系數(shù)和質(zhì)量影響系數(shù)，可以寫出下列關(guān)系：寫成矩陣形式5.2 振動方程 柔度影響系數(shù)Rij的力學意義是:在j坐標處作用單位廣義力,引起i坐標處的廣義位移。由柔度影響系數(shù)就可以形成系統(tǒng)的柔度矩陣 R。 由材料力學的位移互等定理可知RijRji，即柔度矩陣是對稱的。 柔度

4、影響系數(shù)反映了系統(tǒng)彈性元件的影響特性。5.3 位移方程5.3 兩自由度系統(tǒng)的位移方程柔度矩陣5.3.2 柔度影響系數(shù)與柔度矩陣(P114-117) 對標準m-k-c振動系統(tǒng)，質(zhì)量m1和m2上的總位移為這就是以柔度矩陣表示的位移形式的振動方程。5.3 位移方程5.3.1 位移方程(P113-114) 因為R為正定矩陣，于是位移方程又可寫為與力形式的方程比較知 K=R1，R=K1 即對于正定系統(tǒng)R和K互為逆矩陣。5.3 位移方程 例：用影響系數(shù)法求標準m-k-c系統(tǒng)的剛度矩陣，質(zhì)量矩陣和柔度矩陣。5.2 振動方程 【例5-3-1】求系統(tǒng)的振動微分方程。已知梁的抗彎剛度為EI。 解：用影響系數(shù)法。由

5、材料力學撓度公式 5.3 位移方程則 而 則方程為 5.3 位移方程若寫為力方程形式 則方程為 下面用影響系數(shù)法直接求K:5.3 位移方程 設(shè)x1=1,x2=0，則由材料力學公式有：同理有 求出各個剛度系數(shù)即組成剛度矩陣K。 作業(yè)：5-2，65.3 位移方程 對于非標準的m-k-c多自由度振動系統(tǒng)，用傳統(tǒng)的動力學方法建立運動微分方程比較困難，更適合使用拉格郎日方程。拉格郎日方程為：用拉格朗日方程建立振動系統(tǒng)的運動微分方程拉格朗日方程 其中：T為系統(tǒng)的動能，V為勢能，Qi為與廣義位移xi對應的非有勢力的廣義力，drk為與非有勢廣義力Fk對應的廣義虛位移。 實際計算廣義力Qi時，通常假設(shè)與xi對應

6、的廣義虛位移dri不等于零，其它虛位移都等于零。（i1，2）拉格朗日方程 【例】用拉格郎日方程推導兩自由度m-k-c系統(tǒng)微振動微分方程。 解：取靜平衡位置為坐標原點和零勢能位置。 拉格朗日方程靜平衡位置：則：拉格朗日方程拉格朗日方程計算廣義力，設(shè)m1產(chǎn)生虛位移dx1，而dx20，則 同樣設(shè)m2產(chǎn)生虛位移dx2，而dx10，則 拉格朗日方程代入拉格朗日方程 得整理寫成矩陣形式即可。 拉格朗日方程 【T5-30】用拉格郎日方程建立系統(tǒng)微振動微分方程。 解：取靜平衡位置為坐標原點和零勢能位置 x1x2D1D2而 則 拉格朗日方程所以 拉格朗日方程計算廣義力，設(shè)只有x1處產(chǎn)生虛位移dx1，則 同樣設(shè)x

7、2處產(chǎn)生虛位移dx2，則 代入拉格朗日方程即可。 用牛頓定律更簡單一些。 作業(yè)：T5-29拉格朗日方程x1x2 只給出公式，不作嚴格推導。1. 質(zhì)量矩陣的形成 系統(tǒng)的動能可以表示為能量法用能量法確定振動系統(tǒng)的M、K、C記則 M即為所求的質(zhì)量矩陣，顯然為對稱陣。2. 剛度矩陣的形成 勢能可寫為 K即為所求的剛度矩陣，也是對稱陣。能量法3. 阻尼矩陣的形成 線性阻尼（黏滯阻尼）的耗能函數(shù)可寫為C即為所求的阻尼矩陣，也是對稱陣。能量法【例5-2-3】求M和K。 解：取靜平衡位置為坐標原點和零勢能位置 ll則 能量法將余弦函數(shù)用級數(shù)展開，表示為則 所以 作業(yè)：5-4 能量法無阻尼自由振動系統(tǒng)的運動方程

8、為5.4.15.4.3 固有頻率與固有振型(P117-120)5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動假設(shè)方程解的形式為 這里：X1、X2為振動幅值，w為固有頻率，a 為初相位。代入振動方程可得： 這是廣義的特征值問題，K-w2M稱為特征矩陣。要使上式有解，必須使其系數(shù)行列式為零。若M為對角陣，K為對稱陣，則有5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動 上式稱為頻率方程或特征方程。由此可求出w2的兩個正實根。且規(guī)定w1 = w2 。 將這兩個根代入廣義特征值問題(Kw2M) X=0可得到相應的振幅比值 式中X(i)表示對應于第i個固有頻率的振幅(i=1, 2)。由數(shù)學概念知道，只

9、能求出振幅的比值，而不能確定各振幅大小。5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動 和單自由度一樣，由于固有頻率和振幅比ui只決定于系統(tǒng)本身的物理特性，而與外部激勵和初始條件無關(guān)，這表明它們都是系統(tǒng)的固有屬性。因此把wi稱為系統(tǒng)的固有頻率或主頻率，ui稱為系統(tǒng)的固有振型或主振型。 將振幅寫成矩陣形式5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動 稱為振型向量或模態(tài)向量，組成的矩陣稱為振型矩陣。 由解的形式可看出，系統(tǒng)兩質(zhì)量按相同的固有頻率和相位角作簡諧運動，這種運動稱為固有振動或主振動。 每一個主振動稱為一個模態(tài)，wi和對應的ui組成第i 階模態(tài)參數(shù)。 系統(tǒng)在主振動中，各質(zhì)點同時達到平衡位置或最大位移，而在整個振動過

10、程中，各質(zhì)點位移的比值將始終保持不變，也就是說，在主振動中，系統(tǒng)振動的形式保持不變。這就是振型的物理意義。 5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動【T5-21】求系統(tǒng)的頻率方程。 解：用能量法。取靜平衡位置為坐標原點和零勢能位置 則 5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動將余弦函數(shù)表示為則 所以 5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動頻率方程為即 展開得 5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動【T5-26】求系統(tǒng)的固有頻率。 解：用牛頓定律 而 x1x2d1d2d3解得 則方程為 5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動頻率方程為解得5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動作業(yè)：T5-13，24 式中的X1可以取任意值。顯然兩個主振

11、動的疊加也是方程的解，即5.4.4 系統(tǒng)對初始激勵的響應(P121-128)由前面的分析可得到系統(tǒng)的兩組特解為5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動 式中的各個X、a和C均為任意常數(shù)，由初始條件確定?；?qū)憺橄旅娴男问?.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動將初始條件代入可得設(shè)初始條件為t0時5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動 綜上所述，系統(tǒng)對初始激勵的響應求解步驟為：（1）建立運動微分方程，求出質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K;（2）確定固有頻率wi 和振幅比ui ;（3）利用初始條件求響應。5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動 【T5-35】質(zhì)量為m2的物塊從高h處自由落下，然后與彈簧質(zhì)量系統(tǒng)一起做自由振動，已知m1m2

12、m，k1k2k，h100 mg/k，求系統(tǒng)的振動響應。 解:（1）用牛頓定律建立方程5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動（2）頻率方程為解得（3）求振型。利用則同理5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動（4）求響應初始條件代入得5.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動解得響應為作業(yè)：T5-285.4 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動 在二階振動微分方程中，如果質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K的非對角線元素不為零，則在兩個方程中都同時包含坐標x1和x2和它們的導數(shù)項，這種情形稱為坐標耦合。 把M為對角陣，K不是對角陣的情形稱為靜力耦合或彈性耦合(剛性耦合)，把K為對角陣，M不是對角陣的情形稱為動力耦合或慣性耦合。5.5 廣義坐標與

13、坐標耦合5.5 廣義坐標與坐標耦合 方程是否耦合與廣義坐標的選取有關(guān)。前面分析的標準m-k-c系統(tǒng)就是靜力耦合。 舉例：分析下面的振動系統(tǒng)，設(shè)桿的質(zhì)量為m，繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為JC。5.5 廣義坐標與坐標耦合 若取質(zhì)心位移x和轉(zhuǎn)角q為廣義坐標，則自由振動方程是靜力耦合的。5.5 廣義坐標與坐標耦合 若坐標x不取在質(zhì)心,而是選在滿足k1a1k2b2的O點位置，e為O點距質(zhì)心的距離則這時運動方程是動力耦合的。5.5 廣義坐標與坐標耦合COea1b1)(11qaxk- 同樣，若將坐標x取在最左端A，則方程既是靜力耦合又是動力耦合。5.5 廣義坐標與坐標耦合 從前面的分析可知，只要廣義坐標形式選擇合適，

14、就可以得到?jīng)]有坐標耦合的運動微分方程，這時的廣義坐標稱為主坐標。5.6 主坐標5.6 主坐標 主坐標下的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣除主對角線元素外,其余元素均為零,各個運動方程的坐標之間不存在耦合。其中u是前面得到的振型矩陣令 將x代入原振動方程，化簡后就可得到解耦的運動方程（下章證明）5.6 主坐標 顯然上述解耦的方程的解可以用單自由度振動的方法獨立求得 將其代入x=uP即可得到用原始坐標x表示的一般解。 主坐標的概念在強迫振動中具有重要意義。5.6 主坐標 利用主坐標解耦的方法（坐標變換方法）求解系統(tǒng)響應的基本步驟為：（1）求出原振動方程的固有頻率和振幅比，得到振型矩陣u;（2）求出主坐標下的響應

15、:（3）利用式x=uP得出原廣義坐標下的響應;（4）利用初始條件確定常系數(shù)。5.6 主坐標 【例】標準m-k-c系統(tǒng)中，設(shè)m1m, m22m, k1k2k, k32k, c=0, 求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。利用坐標變換方法求系統(tǒng)對初始激勵的響應。設(shè)初始條件為5.6 主坐標 解:（1）求固有頻率、振幅比和振型矩陣u5.6 主坐標（3）利用式x=uP得出（2）主坐標下的響應（4）確定常系數(shù)。將初始條件代入得5.6 主坐標聯(lián)立解得所以作業(yè)：T5-9，155.6 主坐標兩自由度振動微分方程為復數(shù)解法5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動設(shè)干擾力為諧和函數(shù)，并表示為復數(shù)形式令方程

16、的解為其中X1和X2為復振幅。將上式代入方程得其中(i, j=1, 2)5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動若為無阻尼系統(tǒng)，則振幅為 若干擾力為正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，則前面分析中相關(guān)的eiw t 變?yōu)閟inw t 或cosw t 即可。5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動即 和單自由度的概念類似，可以繪出頻率比與振幅之間隨阻尼比的變化曲線幅頻響應曲線頻率響應曲線 共振現(xiàn)象5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 由此可看出:（1）當激勵頻率與系統(tǒng)的固有頻率接近時，系統(tǒng)出現(xiàn)共振現(xiàn)象，即無阻尼振幅將達到無窮大，所不同的是，兩自由度系統(tǒng)有兩個共振峰；（2）阻尼的存在使共振振幅減小，在相同的阻尼下，頻率高的共振峰降低的程度比

17、頻率低的大。因此實際結(jié)構(gòu)的動力響應只需要考慮最低幾階模態(tài)的影響。5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 【例】在兩自由度標準m-k系統(tǒng)中，設(shè)m1m2m，k1k2k3k，在第一個質(zhì)量上作用有干擾力F1(t)=F0coswt，求系統(tǒng)的響應。 解：設(shè)解為代入振動方程得5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動即解得因此系統(tǒng)的響應為5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 【T5-45】圖示系統(tǒng)，已知xsa sinwt, W144100 N，W2441000 N，k11.683107 N/m，k23.136108 N/m。當w為基頻的0.707倍時，車體W2的振幅為a的多少倍？解: 振動方程為即5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 代入

18、數(shù)據(jù)，求得固有頻率為 w118.04，w2282.97 機車振動頻率為 w0.707 w1 0.707 18.04 12.76利用前面的方法求得振幅為作業(yè)：T5-395.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 當機器轉(zhuǎn)速在共振區(qū)域附近時會引起劇烈的振動，由單自由度系統(tǒng)振動理論知道，可以通過調(diào)整質(zhì)量或彈簧剛度或增加阻尼來使振動情況得到緩解。 動力吸振器的原理是在原系統(tǒng)上附加一個新的m-k或m-c系統(tǒng)，使其變成兩自由度的振動系統(tǒng)，利用前面研究的理論，使原振動系統(tǒng)的振幅趨于零。動力吸振器5.7 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 m1-k1為原來的基本振動系統(tǒng)，m2-k2為附加的吸振系統(tǒng)，這兩個系統(tǒng)組成了兩自由度振動系統(tǒng)。運動微分方程為無阻尼動力吸振器 5.7 兩自由度