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1、分式方程的“非常”解法 解分式方程的一般思路通常是方程兩邊同乘以最簡公分母,轉(zhuǎn)化為整式方程解決.但是對于某些分式方程,用常規(guī)解法很麻煩或無法求解;此時必須認(rèn)真觀察、仔細(xì)分析方程特點,運用數(shù)學(xué)方法加以探索創(chuàng)新,找到最簡方法.達(dá)到發(fā)展思維,開拓創(chuàng)新,靈活求解的目的. 一、換元法例1 解方程.分析 方程中所有未知數(shù)的系數(shù)相同,并且分母互為相反數(shù),故可考慮單參換元. 解 設(shè),則,則原方程可變?yōu)?即,結(jié)論顯然是矛盾的,所以原方程無解.例2 解方程.分析 方程中分子、分母的二次項與一次項分別相同,故可考慮運用雙參換元法. 解 設(shè),,則原方程變形為,即,所以,即,解得.經(jīng)檢驗,是原方程的解.二、特殊套用法例
2、3 解方程.分析 若分式方程為,則其解為.本題中與,2與分別互為倒數(shù),符合方程的特點,故可用此結(jié)論解答. 解 原方程變形為,設(shè),此時原方程變形為:或.即或,解得:.經(jīng)檢驗得: 都是原方程的解.原方程的解為.例4 解方程.分析 我們知道, 故本題可套用此公式化簡.解 原方程變形為,即,解得.經(jīng)檢驗是原方程的解.三、倒數(shù)法例5 已知,則= .分析 已知條件中,互為倒數(shù),其中互為倒數(shù)關(guān)系,利用此關(guān)系,可有下面解法.解 ,或.例6 解方程. 分析 方程的左邊兩項為倒數(shù)之和,因此可用倒數(shù)法簡化求解,解 設(shè),則.原方程變形為或.當(dāng)時,則,解之得;當(dāng)時,則,解之得.經(jīng)檢驗,是原方程的根.四、構(gòu)造法 例7 解方程. 分析 此方程在形式上有很明顯的特征,可以構(gòu)造為型的方程來求解,而不用常規(guī)解法.解 原方程可化為:.或.解之得:.經(jīng)檢驗: 均是原分式方程的根. 五、局部通分法例8 解方程.分析 該方程的特點是等號兩邊各是兩個分式,相鄰兩個分式的分子與分子,分母與分母及每個分式的分子與分母都順序相差1,象這類通常采取局部通分法.解 方程兩邊分別通分并化簡,得:. 去分母得: 解之得:,經(jīng)檢驗: 是原分式方程的根. 點撥 此題如果用常規(guī)法,將出現(xiàn)四次項且比較繁,而采用局部通分
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