計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)教程課件

1、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)教程課件計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)教程課件5.1 圖形幾何變換基礎(chǔ)5.2 二維圖形基本幾何變換矩陣 5.3 二維復(fù)合變換本章內(nèi)容-15.1 圖形幾何變換基礎(chǔ)本章內(nèi)容-15.1 圖形幾何變換基礎(chǔ)通過對圖形進(jìn)行幾何變換，可以由簡單圖形構(gòu)造復(fù)雜圖形。圖形幾何變換是對圖形進(jìn)行平移變換、比例變換、旋轉(zhuǎn)變換、反射變換和錯切變換。圖形幾何變換可以分為二維圖形幾何變換和三維圖形幾何變換，而二維圖形幾何變換是三維圖形幾何變換的基礎(chǔ) 。5.1 圖形幾何變換基礎(chǔ)通過對圖形進(jìn)行幾何變換，可以由簡單圖5.1.1 規(guī)范化齊次坐標(biāo) 5.1.2 矩陣相乘 5.1.3 二維變換矩陣5.1.4 二維幾何變換5.1.1 規(guī)范

2、化齊次坐標(biāo) 5.1.1 規(guī)范化齊次坐標(biāo) 為了使圖形幾何變換表達(dá)為圖形頂點(diǎn)集合矩陣與某一變換矩陣相乘的問題，引入了規(guī)范化齊次坐標(biāo)。 所謂齊次坐標(biāo)就是用n1維矢量表示n維矢量。例如，在二維平面中，點(diǎn)P(x，y)的齊次坐標(biāo)表示為（wx，wy，w）。類似地，在三維空間中，點(diǎn)P(x，y，z)的齊次坐標(biāo)表示為（wx，wy，wz，w）。這里，w為任一不為0的比例系數(shù)，如果w1就是規(guī)范化的齊次坐標(biāo)。二維點(diǎn)P(x，y)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)為x，y，1，三維點(diǎn)P(x，y，z)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)為x，y，z，1。不能寫成下標(biāo)形式，w和x，w和y，w和z是乘法的關(guān)系。 定義了規(guī)范化齊次坐標(biāo)以后，圖形幾何變換可以表示為圖形頂

3、點(diǎn)集合的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣與某一變換矩陣相乘的形式。5.1.1 規(guī)范化齊次坐標(biāo) 為了使圖形幾何變換表達(dá)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)教程課件 二維圖形頂點(diǎn)表示為規(guī)范化齊次坐標(biāo)后，其圖形頂點(diǎn)集合矩陣一般為n3的矩陣，其中n為頂點(diǎn)數(shù)，變換矩陣為33的矩陣。在進(jìn)行圖形幾何變換時需要用到線性代數(shù)里的矩陣相乘運(yùn)算。例如，對于n3的矩陣A和33的矩陣B，矩陣相乘公式為：5.1.2 矩陣相乘 二維圖形頂點(diǎn)表示為規(guī)范化齊次坐標(biāo)后，其圖形頂點(diǎn)集合矩由線性代數(shù)知道，矩陣乘法不滿足交換律，只有左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才可以相乘。特別地，對于二維變換的兩個33的方陣A和B，矩陣相乘公式為： 類似地，可以處理三維變換

4、的兩個44的矩陣相乘問題 由線性代數(shù)知道，矩陣乘法不滿足交換律，只有左矩陣的列數(shù)等于右5.1.3 二維變換矩陣 用規(guī)范化齊次坐標(biāo)表示的二維基本幾何變換矩陣是一個33的方陣，簡稱為二維變換矩陣。從功能上可以把二維變換矩陣T分為4個子矩陣。其中是對圖形進(jìn)行比例、旋轉(zhuǎn)、反射和錯切變換； 是對圖形進(jìn)行平移變換； 是對圖形進(jìn)行投影變換； 是對圖形進(jìn)行整體比例變換。 （5-2）5.1.3 二維變換矩陣 用規(guī)范化齊次坐標(biāo)表二維幾何變換的基本方法是把變換矩陣作為一個算子，作用到變換前的圖形頂點(diǎn)集合的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣上，得到變換后新的圖形頂點(diǎn)集合的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣。連接變換后的新圖形頂點(diǎn)，就可以繪制出變換后

5、的二維圖形. 5.1.4 二維幾何變換 設(shè)變換前圖形頂點(diǎn)集合的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣為： 變換后圖形頂點(diǎn)集合的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣為： 二維幾何變換的基本方法是把變換矩陣作為一個算子，作用到變換前二維變換矩陣為：則二維幾何變換公式為 ，可以寫成： 二維變換矩陣為：則二維幾何變換公式為 5.2 二維圖形基本幾何變換矩陣 5.2.1 平移變換矩陣 5.2.2 比例變換矩陣 5.2.3 旋轉(zhuǎn)變換矩陣 5.2.4 反射變換矩陣 5.2.5 錯切變換矩陣 5.2 二維圖形基本幾何變換矩陣 5.2.1 平移變換矩陣 5.2 二維圖形基本幾何變換矩陣 二維圖形基本幾何變換是指相對于坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸進(jìn)行的幾何變換，

6、包括平移、比例、旋轉(zhuǎn)、反射和錯切五種變換。本節(jié)以點(diǎn)的二維基本幾何變換為例進(jìn)行講解。二維坐標(biāo)點(diǎn)的基本幾何變換可以表示成 的形式，其中，為變換前點(diǎn)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)點(diǎn)，為變換后點(diǎn)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)點(diǎn)，為33的變換矩陣。5.2 二維圖形基本幾何變換矩陣 二5.2.1 平移變換矩陣 平移變換是指將坐標(biāo)點(diǎn)從位置 移動到位置 的過程，如圖5-1所示。平移變換的坐標(biāo)表示為： （圖5.1）654321O123456yx5.2.1 平移變換矩陣 平移變換是指將坐標(biāo)點(diǎn)從位置 移動因此，二維平移變換矩陣為： 式中，Tx，Ty為平移參數(shù)。（5-4）相應(yīng)的齊次坐標(biāo)矩陣表示為：因此，二維平移變換矩陣為： 式中，Tx，Ty為平

7、移參數(shù)。（55.2.2 比例變換矩陣 比例變換是指坐標(biāo)點(diǎn)相對于坐標(biāo)原點(diǎn)O，沿x方向縮放Sx倍，沿y方向縮放Sy倍，得到點(diǎn)的過程，如圖5-2所示。圖5.2 比例變換5.2.2 比例變換矩陣 比例變換是指坐標(biāo)點(diǎn)比例變換的坐標(biāo)表示為： 相應(yīng)的齊次坐標(biāo)矩陣表示為： 因此，二維比例變換矩陣為： 式中，Sx，Sy為比例系數(shù) （5-5）比例變換的坐標(biāo)表示為： 相應(yīng)的齊次坐標(biāo)矩陣表示為： 因此，二 比例變換可以改變圖形的形狀。當(dāng)SxSy且Sx、Sy大于1時，圖形等比放大；當(dāng)SxSy且Sx、Sy小于1大于0時，圖形等比縮?。划?dāng)SxSy時，圖形發(fā)生形變。 前面介紹過變換矩陣的子矩陣是對圖形作整體比例變換: s1時

8、，圖形整體縮?。?0s0是沿x正向的錯切變換，c0是沿y正向的錯切變換，b0是沿y負(fù)向的錯切變換，如圖5-5（d）和（e）所示。 在前面的變換中，子矩陣 的非對角線元素大多為零，如果c和b不為零，則意味著對圖形進(jìn) 上面討論的五種變換給出的都是點(diǎn)變換的公式，對于線框模型，圖形的變換實(shí)際上都可以通過點(diǎn)變換來完成。例如直線段的變換可以通過對兩個頂點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行變換，連接新頂點(diǎn)得到變換后的新直線；多邊形的變換可以通過對每個頂點(diǎn)進(jìn)行變換，連接新頂點(diǎn)得到變換后的新多邊形來實(shí)現(xiàn)。曲線的變換可通過變換控制多邊形的控制點(diǎn)并重新畫線來完成。 符合下面形式的坐標(biāo)變換稱為二維仿射變換（Affine Transformat

9、ion）。 （5-11） 上面討論的五種變換給出的都是點(diǎn)變換的公式，對于變換后的坐標(biāo)x和y都是變換前的坐標(biāo)x和y的線性函數(shù)。參數(shù)aij是由變換類型確定的常數(shù)。 仿射變換具有平行線變換成平行線，有限點(diǎn)映射到有限點(diǎn)的一般特性。平移、比例、旋轉(zhuǎn)、反射和錯切五種變換都是二維仿射變換的特例，任何一組二維仿射變換總可表示為這五種變換的組合。因此，平移、比例、旋轉(zhuǎn)、反射的仿射變換保持變換前后兩直線間的角度、平行關(guān)系和長度之比不改變。變換后的坐標(biāo)x和y都是變換前的坐標(biāo)x和y的線性函數(shù)。參數(shù)5.3 二維復(fù)合變換5.3.1復(fù)合變換原理5.3.2 相對于任一參考點(diǎn)的二維幾何變換5.3.3 相對于任意方向的二維幾何變

10、換5.3 二維復(fù)合變換5.3.1復(fù)合變換原理5.3.2 相對5.3.1復(fù)合變換原理復(fù)合變換是指圖形做了一次以上的基本幾何變換，是基本幾何變換的組合形式，復(fù)合變換矩陣是基本幾何變換矩陣的組合。其中， 為復(fù)合變換矩陣，為單次基本幾何變換矩陣。5.3.1復(fù)合變換原理復(fù)合變換是指圖形做了一次以上的基本幾何值得注意是：進(jìn)行復(fù)合變換時，需要注意矩陣相乘的順序。由于矩陣乘法不滿足交換律，因此通常 。在復(fù)合變換中，矩陣相乘的順序不可交換。通常先計(jì)算出 ，再計(jì)算。值得注意是：進(jìn)行復(fù)合變換時，需要注意矩陣相乘的順序。由于矩陣5.3.2 相對于任一參考點(diǎn)的二維幾何變換 前面已經(jīng)定義，二維基本幾何變換都是相對于坐標(biāo)原

11、點(diǎn)進(jìn)行的平移、比例、旋轉(zhuǎn)、反射和錯切五種變換，但在實(shí)際應(yīng)用中常會遇到參考點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)的情況。 相對于任一參考點(diǎn)的變換方法為首先將參考點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，對坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)行二維基本幾何變換，然后再將參考點(diǎn)平移回原位置。5.3.2 相對于任一參考點(diǎn)的二維幾何變換 前面P1P2P3Q圖 5-6 示例圖 例1 一個由頂點(diǎn)P1（10，10），P2（30，10）和P3（20，25）所定義的三角形，如圖5-6所示，相對于點(diǎn)Q（10，25）逆時針旋轉(zhuǎn)30o，求變換后的三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)。P1P2P3Q圖 5-6 示例圖 例1 一個由頂點(diǎn)P1第一步 Q點(diǎn)平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖5-7所示。QP3P1P2圖5-7 平移 變換

12、矩陣為：。第一步 Q點(diǎn)平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖5-7所示。QP3P1P2圖第二步 三角形相對于坐標(biāo)原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)30，如圖5-8所示。P1P2P3Q 圖 5-8 旋轉(zhuǎn) 變換矩陣為：。第二步 三角形相對于坐標(biāo)原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)30，如圖5-8所示P1P2P3Q第三步 參考點(diǎn)Q平移回原位置，如圖5-9所示。變換矩陣為：圖 5-9 反平移 P1P2P3Q第三步 參考點(diǎn)Q平移回原位置，如圖5-9所示。圖形變換后的頂點(diǎn)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣等于變換前的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣乘以變換矩陣。而所以 圖形變換后的頂點(diǎn)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣等于變換前的規(guī)范化齊次坐這樣圖形變換后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P1（17.5，12.01），P2（3

13、4.82，22.01）和P3（18.66，30）。這樣圖形變換后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P1（17.5，12.01），P25.3.3 相對于任意方向的二維幾何變換 二維基本幾何變換是相對于坐標(biāo)軸進(jìn)行的平移、比例、旋轉(zhuǎn)、反射和錯切五種變換，但在實(shí)際應(yīng)用中常會遇到變換方向不與坐標(biāo)軸重合的情況。 相對于任意方向的變換方法為首先對任意方向做旋轉(zhuǎn)變換，使變換方向與坐標(biāo)軸重合，然后對坐標(biāo)軸進(jìn)行二維基本幾何變換，最后做反向旋轉(zhuǎn)變換，將任意方向還原回原來的位置。5.3.3 相對于任意方向的二維幾何變換 二維基例2 圖5-11所示三角形相對于軸線y=kx+b作反射變換，求每一步相應(yīng)的變換矩陣。y=kx+b（0，b）圖5-1

14、1原始圖形 例2 圖5-11所示三角形相對于軸線y=kx+b作反射變換，第一步 將點(diǎn)（0，b）平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖5-12所示。 圖5-12平移 變換矩陣為：第一步 將點(diǎn)（0，b）平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖5-12所示。 第二步 將軸線y=kx繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)角(=arctank)，落于x軸上，如圖5-13所示。變換矩陣為：圖5-13旋轉(zhuǎn) 第二步 將軸線y=kx繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)角(=arct第三步 三角形相對x軸作反射變換，如圖5-14所示。變換矩陣為： 圖5-14反射 第三步 三角形相對x軸作反射變換，如圖5-14所示。變換矩第四步 將軸線y=kx逆時針旋轉(zhuǎn)角(=arctank) ，如圖5-15所示。變換矩陣為：圖5-15反旋轉(zhuǎn) 第四步 將軸線y=kx逆時針旋轉(zhuǎn)角(=arctank) 圖5-16反平移 第五步 將軸線平移回原來的位置，如圖5-16所示。變換矩陣為：圖5-16反平移 第五步 將軸線平移回原來的位置，如圖5-1習(xí)題 5.1如圖5-28所示，求A（4，1）、B（7，3）、C（7，7）、D（1，4）構(gòu)成的四邊形繞 P(5，4)逆時針旋轉(zhuǎn)45的變換矩陣和變換后圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)。ABCD