江蘇省蘇州市第五中學(xué)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習 第4講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)課件

1、第4講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)2021/8/8 星期日1知 識 梳 理1直線與平面垂直(1)定義：若直線l與平面內(nèi)的 一條直線都垂直，則直線l與平面垂直(2)判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條 直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面即：a，b，la，lb，abP .(3)性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線 即：a，b .任意 相交 l 平行 ab 2021/8/8 星期日22平面與平面垂直(1)定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直(2)判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條 ，那 么這兩個平面互相垂直即：a，a .(3)性質(zhì)定理：如果兩個平面互

2、相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂 直于它們 的直線垂直于另一個平面即： ， a，b，ab .垂線 交線 a 2021/8/8 星期日32021/8/8 星期日4辨 析 感 悟1對線面垂直的理解(1)直線a，b，c；若ab，bc，則ac.()(2)直線l與平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直，則l.()(3)(2013浙江卷，4C)設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，若mn，m，則n.()(4)(2013廣東卷，8D)設(shè)l為直線，是兩個不同的平面，若，l，則l.()2021/8/8 星期日52對面面垂直的理解(5)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面()(6)若平面內(nèi)的一條直線垂直于

3、平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則.()2021/8/8 星期日6感悟提升三個防范一是注意在空間中垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，還有可能異面、相交等，如(1)；二是注意使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，就垂直于這個平面”， 如(2)；三是注意對平面與平面垂直性質(zhì)的理解，如(5)2021/8/8 星期日7考點一直線與平面垂直的判定和性質(zhì)【例1】 如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點證明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.2021/8/8 星期日8證明(1)在四棱錐PABCD

4、中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.2021/8/8 星期日9(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中點，AEPC.由(1)，知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB.又ABAD且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.2021/8/8 星期日10規(guī)律方法 證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；三是平行線法(若兩條平行線中一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個

5、平面)解題時，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；另外，在證明線線垂直時，要注意題中隱含的垂直關(guān)系，如等腰三角形的底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形(或給出線段長度，經(jīng)計算滿足勾股定理)、直角梯形等等.2021/8/8 星期日112021/8/8 星期日122021/8/8 星期日132021/8/8 星期日142021/8/8 星期日15而BB1BCB，BB1，BC平面BCC1B1，AB平面BCC1B1，而B1C平面BCC1B1，ABB1C，而ABBC1B，AB，BC1平面ABC1.B1C平面ABC1，而B1C平面B1CD

6、，平面ABC1平面B1CD.2021/8/8 星期日16規(guī)律方法 證明兩個平面垂直，首先要考慮直線與平面的垂直，也可簡單地記為“證面面垂直，找線面垂直”，是化歸思想的體現(xiàn)，這種思想方法與空間中的平行關(guān)系的證明非常類似，這種轉(zhuǎn)化方法是本講內(nèi)容的顯著特征，掌握化歸與轉(zhuǎn)化思想方法是解決這類問題的關(guān)鍵2021/8/8 星期日17【訓(xùn)練2】 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中點證明：平面ABM平面A1B1M.2021/8/8 星期日182021/8/8 星期日19考點三平行、垂直關(guān)系的綜合問題【例3】 (2013山東卷)如圖，在四棱錐PABCD中，ABAC，

7、ABPA，ABCD，AB2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(1)求證：CE平面PAD；(2)求證：平面EFG平面EMN.2021/8/8 星期日20審題路線(1)取PA的中點H證明四邊形DCEH是平行四邊形CEDH根據(jù)線面平行的判定定理可證(2)證明ABEF證明ABFG證明AB平面EFG證明MN平面EFG得到結(jié)論2021/8/8 星期日212021/8/8 星期日22(2)因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，所以EFPA.又ABPA，且EF，PA共面，所以ABEF.同理可證ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，因此AB平面EFG.2021/8/8

8、 星期日23又M，N分別為PD，PC的中點，所以MNDC.又ABDC，所以MNAB，因此MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.2021/8/8 星期日24規(guī)律方法 線面關(guān)系與面面關(guān)系的證明離不開判定定理和性質(zhì)定理，而形成結(jié)論的“證據(jù)鏈”依然是通過挖掘題目已知條件來實現(xiàn)的，如圖形固有的位置關(guān)系、中點形成的三角形的中位線等，都為論證提供了豐富的素材2021/8/8 星期日25【訓(xùn)練3】 (2013遼寧卷)如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點(1)求證：BC平面PAC；(2)設(shè)Q為PA的中點，G為AOC的重心，求證：QG平面PBC.2021/8/8 星

9、期日26證明(1)由AB是圓O的直徑，得ACBC，由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.2021/8/8 星期日27(2)連接OG并延長交AC于M，連接QM，QO，由G為AOC的重心，得M為AC中點由Q為PA中點，得QMPC，又O為AB中點，得OMBC.因為QMMOM，QM平面QMO，MO平面QMO，BCPCC，BC平面PBC，PC平面PBC.所以平面QMO平面PBC.因為QG平面QMO，所以QG平面PBC.2021/8/8 星期日281轉(zhuǎn)化思想：垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化2在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這

10、樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決如有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直故熟練掌握“線線垂直”、“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問題的關(guān)鍵 2021/8/8 星期日29創(chuàng)新突破7求解立體幾何中的探索性問題【典例】 (2012北京卷)如圖1，在RtABC中，C90，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如圖2.(1)求證：DE平面A1CB；(2)求證：A1FBE；(3)線段A1B上是否存在點Q，使A1C平面DEQ？說明理由2021/8/8 星期日30突破1：

11、弄清翻折前后的線面關(guān)系和幾何量的度量值翻折前：DEBC，DEAC翻折后：DEBC，DEA1D，DECD.突破2：要證A1FBE，轉(zhuǎn)化為證A1F平面BCDE.突破3：由A1DCD，可想到取A1C的中點P，則DPA1C，進而可得A1B的中點Q為所求點證明(1)因為D，E分別為AC，AB的中點，所以DEBC.又因為DE平面A1CB，BC平面A1CB，所以DE平面A1CB.2021/8/8 星期日31(2)由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD，又A1DDED，所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因為A1FCD，所以A1F平面BCDE.又BE平面B

12、CDE所以A1FBE.2021/8/8 星期日32(3)線段A1B上存在點Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如圖，分別取A1C，A1B的中點P，Q，則PQBC.又因為DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即為平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點，所以A1CDP，又DEDPD，所以A1C平面DEP.從而A1C平面DEQ.故線段A1B上存在點Q，使得A1C平面DEQ.2021/8/8 星期日33反思感悟 (1)解決探索性問題一般先假設(shè)其存在，把這個假設(shè)作已知條件，和題目的其他已知條件一起進行推理論證和計算，在推理論證和計算無誤的前提下，如果得到了一個合理的結(jié)論，則說明存在，如果得到了一個不合理的結(jié)論，則說明不存在(2)在處理空間折疊問題中，要注意平面圖形與空間圖形在折疊前后的相互位置關(guān)系與長度關(guān)系等，關(guān)鍵是點、線、面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化與平面幾何知識的應(yīng)用，注意平面幾何與立體幾何中相關(guān)知識點的異同，盲目套用容易導(dǎo)致錯誤2021/8/8 星期日3420