江蘇省連云港市田家炳中學(xué)高三數(shù)學(xué) 52平面向量基本定理及坐標(biāo)表示復(fù)習(xí)課件

1、第二節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2021/8/8 星期日1基礎(chǔ)梳理1.平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(1)平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個 的向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a , 一對實數(shù)1,2,使a = .其中 ,叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.(2)平面向量的正交分解一個平面向量用一組基底e1,e2表示成a=1e1+2e2的形式,我們稱它為向量a的分解.當(dāng)e1,e2所在直線 時,這種分解稱為向量a的正交分解.不共線有且只有1e1+2e2不共線的向量e1,e2互相垂直2021/8/8 星期日2(3)平面向量的坐標(biāo)表示一般地,對于向量a,當(dāng)它的起點移至原點O時,

2、其終點的坐標(biāo)(x,y)稱為向量a的(直角)坐標(biāo),記作 .若分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底,則a=x i+y j.2. 平面向量的坐標(biāo)運算(1)加法、減法、數(shù)乘運算向量aba+baba坐標(biāo)(x1,y1)(x2,y2)a=(x,y)（x1+x2,y1+y2)（x1-x2,y1-y2）(x1, y1)2021/8/8 星期日3(2)向量坐標(biāo)的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),則 =(x2x1,y2y1),即一個向量的坐標(biāo)等于該向量 的坐標(biāo)減去 的坐標(biāo).(3)平面向量中平行(共線)向量的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中a0,則a與b共線 b= ,

3、 .終點始點ax1y2-x2y1=02021/8/8 星期日4基礎(chǔ)達標(biāo)1.(必修4P73練習(xí)5改編)已知A(2,3),B(5,3),a=(x+1,x-2y)與 相等，則實數(shù)x,y的值分別是 .2. 已知a=(-2,3),b=(1,5),則3a+b= .3. (2011湖南雅禮中學(xué)月考)已知點G是ABC的重心， (,R),那么+= .4. (必修4P75練習(xí)1改編)向量a=(2,5)與b=(x,-15)平行,則x= .5. (必修4P73練習(xí)2改編)已知O是坐標(biāo)原點，點A在第一象限， ,xOA=60,則 的坐標(biāo)為 .2，1(5，14)62021/8/8 星期日5經(jīng)典例題題型一 平面向量基本定理【

4、例1】如圖,在OAB中, ,AD與BC交于點M,設(shè) =a, =b,以a、b為基底表示 .2021/8/8 星期日6分析：本題可用待定系數(shù)法,設(shè) =ma+nb(m,nR),再利用向量的運算及共線向量的條件列出方程組,確定m,n的值.解：設(shè) =m a+n b(m,nR),則 =(m-1)a+n b, .因為A,M,D三點共線,所以 ,即m+2n=1.2021/8/8 星期日7而 , ,又因為C,M,B三點共線,所以 ,即4m+n=1.由 ,解得 ,所以 .2021/8/8 星期日8變式1-1如圖所示，OADB是以向量 =a, =b為邊的平行四邊形，點C為對角線AB、OD的交點，又BM= BC,CN

5、= CD,試用a,b表示 , , .2021/8/8 星期日9又2021/8/8 星期日10題型二 平面向量的坐標(biāo)運算【例2】已知點A(-1,2),B(2,8)以及 ,求點C、D的坐標(biāo)和CD的坐標(biāo). 分析：根據(jù)題意可設(shè)出點C、D的坐標(biāo),然后利用已知的兩個關(guān)系式列方程組,求出坐標(biāo).2021/8/8 星期日11解：設(shè)點C、D的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),由題意得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6), DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6).因為 ,所以有 和解得 和所以點C、D的坐標(biāo)分別是(0,4),(-2,0),從而 =(-2,-4).2021/8/8 星期

6、日12變式2-1（2010山東改編）定義平面向量之間的一種運算“”如下，對任意的 a=(m,n),b=(p,q)，令ab=mqnp，則下面說法錯誤的有 .（寫出所有錯誤說法的序號）若a與b共線，則ab=0;ab=ba;對任意的R，有(a)b=(ab).2021/8/8 星期日13若a與b共線，則有ab=mq-np=0，故正確；因為ba=pn-qm，而ab=mq-np,所以abba，故錯誤；易證正確.故應(yīng)該填.解析：2021/8/8 星期日14題型三 平面向量的坐標(biāo)表示【例3】平面內(nèi)給定三個向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)若(a+k c)(2b-a),求實數(shù)k;(2)

7、設(shè)d=(x,y)滿足(d-c)(a+b),且|d-c|=1,求d.分析：(1)由兩向量平行的條件得出關(guān)于k的方程,從而求出實數(shù)k的值.(2)由兩向量平行及|d-c|=1得出關(guān)于x,y的兩個方程,解方程組即可得出x,y的值,從而求出d .2021/8/8 星期日15解：(1)(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k= .(2)d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,解得2021/8/8 星期日16變式3-1已知梯形ABCD中， ,A(1,1),B(3,2),C(3

8、,7),若 ,求D點坐標(biāo).解：設(shè)D點坐標(biāo)為(x,y),則 =(x-1,y-1), =(2,-3), =(x+3,y+7), =(-6,-5), ,2(y+7)+3(x+3)=0,即3x+2y+23=0,又 ,(x-1)+10(y-1)=0即x+10y-11=0,由 ,得D點坐標(biāo)為(-9,2).2021/8/8 星期日17題型四向量的綜合應(yīng)用問題【例4】已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及,試問:(1)t為何值時,點P在x軸上?在y軸上?點P在第二象限?(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形?若能,求出相應(yīng)的t值;若不能,請說明理由.分析：利用向量相等，建立點P(x，y)與已知向量之間

9、的關(guān)系，表示出P點的坐標(biāo)，然后根據(jù)實際問題確定P點坐標(biāo)的符號特征，從而解決問題 2021/8/8 星期日18解：(1)O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)， (1,2)， (3,3)， (13t,23t)若點P在x軸上，則23t0，解得t= ；若點P在y軸上，則13t0，解得t ；若P在第二象限，則解得 t .(2) (1,2)， (33t，33t)，若四邊形OABP為平行四邊形，則 ，而 無解，故四邊形OABP不能成為平行四邊形2021/8/8 星期日19變式4-1如圖所示,已知點A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交點P的坐標(biāo).解析：方法一：設(shè)P(x，y)，則 (x，

10、y)， (4,4) ， 共線，4x4y0.又 (x2，y6)， (2，6)，且向量 、 共線，6(x2)2(6y)0.解由組成的方程組，得x3，y3點P的坐標(biāo)為(3,3)2021/8/8 星期日20方法二：設(shè) t(4,4)(4t,4t)，則 (4t,4t)(4,0)(4t4,4t)，又 (2,6)(4,0)(2,6)，由 ， 共線的充要條件知(4t4)64t(2)0，解得t ， (4t,4t)(3,3)，P點坐標(biāo)為(3,3)2021/8/8 星期日21易錯警示【例】已知點A(1,2),點B(3,6),則與AB共線的單位向量為.錯解由A(1,2),B(3,6)知,.錯解分析與共線有兩種情況:一是同向共線,一是反向共線,“錯解”中忽略了反向共線這一情況.正解2021/8/8 星期日22解析：與同向時為 ，與反向時為 .2021