近世代數(shù)基礎(chǔ)

1、近世代數(shù)基礎(chǔ)第1頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三序：課 程 說 明第2頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三 近世代數(shù)不僅在數(shù)學中占有及其重要的地位，而且在其它學科中也有廣泛的應(yīng)用，如理論物理、計算機學科等.其研究的方法和觀點，對其他學科產(chǎn)生了越來越大的影響。 群、環(huán)、域、模是本課程的基本內(nèi)容.第3頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三 集合論初步與高等代數(shù)（線性代數(shù)）是學習本課程的準備知識。本課程學習以后可以繼續(xù)研讀：群論、環(huán)論、模論、李群、李代數(shù)、計算機科學等。第4頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三

2、近世代數(shù)課程的講授為一個學期 ，共72學時，內(nèi)容包括第1章到第4章的內(nèi)容。 近世代數(shù)是理論性較強的課程，由于教學時數(shù)所限，本課程的理論推證體例較少，因此必須通過做練習題來加深對概念的理解和掌握，熟悉各種公式和定理的運用，從而達到消化、掌握所學知識、體會近世代數(shù)的思想和方法的目的.由此可知，獨立完成作業(yè)是學好本課程的重要手段.第5頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三 近世代數(shù)是一門十分活躍又發(fā)展迅速的學科，它的概念眾多、內(nèi)容豐富，作為一門基礎(chǔ)課，又限于教學時數(shù)，教學時只能擇其最基礎(chǔ)的概念和基本的內(nèi)容。因此，有的課本就名曰近世代數(shù)基礎(chǔ)。第6頁，共73頁，2022年，5月20日

3、，18點43分，星期三 高度的抽象是近世代數(shù)的顯著特點，它的基本概念：群、環(huán)、域，對初學者也是很抽象的概念，因此，在本課程的學習中，大家要多注意實例,以加深對概念的正確理解。 近世代數(shù)的習題，因抽象也都有一定的難度，但習題也是鞏固和加深理解不可缺少的環(huán)節(jié)，因此，應(yīng)適當做一些習題，為克服做習題的困難，應(yīng)注意教材內(nèi)容和方法以及習題課內(nèi)容。第7頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三 （中文）近世代數(shù) （英文）Abstract Algebra 教材1：，張禾瑞 ，高等教育出版，1978年修訂本。教材：,徐德余、唐再良等編著，川大出版社，年月第8頁，共73頁，2022年，5月20日，

4、18點43分，星期三主要參考書1BL瓦德瓦爾登著：代數(shù)學、卷，科 學出版社1964年版2N賈柯勃遜著：抽象代數(shù)1、2、3卷，科學 出版社1987年出版3劉紹學著：近世代數(shù)基礎(chǔ)，高等教育出版社 1999年出版4石生明著：近世代數(shù)初步、高等教育出版社 2002年出版 第9頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三5.近世代數(shù)，吳品山，人民教育出版社，1979。6.抽象代數(shù)學，謝邦杰，上?？茖W技術(shù)出版社， 1982。7.抽象代數(shù)基礎(chǔ)，劉云英，北京師范大學出版 社，1990年。8. ,楊子胥,高等教育出版社,2003年.第10頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三

5、在學習近世代數(shù)這門課之前，有必要了解一下有關(guān)近世代數(shù)的由來，這有利于這門課程的學習。概述第11頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三1 近世代數(shù)理論的三個來源 (1) 代數(shù)方程的解 (2) Hamilton四元數(shù)的發(fā)現(xiàn) (3) Kummer理想數(shù)的發(fā)現(xiàn)下一頁第12頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三（1） 代數(shù)方程的解兩千多年之前古希臘時代數(shù)學家就能夠利用開 方法解二次方程ax2+bx+c=0 。16世紀初歐洲文藝復(fù)興時期之后，求解高次方程成為歐洲代數(shù)學研究的一個中心問題。1545年意大利數(shù)學家 G.Cardano(1501-1576)在他的著作大術(shù)（

6、Ars Magna）中給出了三、四項多項式的求根公式，此后的將近三個世紀中人們力圖發(fā)現(xiàn)五次方程的一般求解方法，但是都失敗了。第13頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三 直到1824年一位年青的挪威數(shù)學家 N.Abel (1802-1829) 才證明五次和五次以上的一般代數(shù)方程沒有求根公式。但是人們?nèi)匀徊恢朗裁礂l件之下一個已知的多項式能借助加、減、乘、除有理運算以及開方的方法求出它的所有根,什么條件之下不能求根。 最終解決這一問題的是一位法國年青數(shù)學家E.Galois(18111832)，Galois引入了擴域以及群的概念，并采用了一種全新的理論方法發(fā)現(xiàn)了高次代數(shù)方程可解

7、的法則。在Galois之后群與域的理論逐漸成為現(xiàn)代化數(shù)學研究的重要領(lǐng)域，這是近世代數(shù)產(chǎn)生的一個最重要的來源。第14頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三加羅華阿貝爾返回第15頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三(2)Hamilton四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)長期以來人們對于虛數(shù)的意義存在不同的看法，后來發(fā)現(xiàn)可以把復(fù)數(shù)看成二元數(shù)(a,b)=a+bi，其中i2= -1。二元數(shù)按(a,b)(c,d)=(ac,bd)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法則進行代數(shù)運算，二元數(shù)具有直觀的幾何意義；與平面上的點一一對應(yīng)。這是數(shù)學家高斯提出的復(fù)數(shù)幾何理論。二元數(shù)理

8、論產(chǎn)生的一個直接問題是：是否存在三元數(shù)？經(jīng)過長時間探索，力圖尋求三元數(shù)的努力失敗了。但是愛爾蘭數(shù)學家W.Hamilton(1805-1865)于1843年成功地發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)。四元數(shù)系與實數(shù)系、復(fù)數(shù)系一樣可以作加減乘除四則運算，但與以前的數(shù)系相比，四元數(shù)是一個乘法不交換的數(shù)系。從這點來說四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)使人們對于數(shù)系的代數(shù)性質(zhì)的認識提高了一大步。四元數(shù)代數(shù)也成為抽象代數(shù)研究的一個新的起點，它是近世代數(shù)的另一個重要理論來源。返回第16頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三 （3）Kummer理想數(shù)的發(fā)現(xiàn)17世紀初法國數(shù)學家費馬(P.Fermat 1601-1665）研究整數(shù)方程時發(fā)

9、現(xiàn)當n3時，方程 xn+yn=zn 沒有正整數(shù)解，費馬認為他能夠證明這個定理，但是其后的三百多年中人們研究發(fā)現(xiàn)這是一個非常困難的問題，這一問題被后來的研究者稱為費馬問題或費馬大定理，此定理直到1995年才被英國數(shù)學家A.Wiles證明。對費馬問題的研究在三個半世紀內(nèi)從未間斷過，歐拉、高斯等著名數(shù)學家都對此作出過重要貢獻。但最重大的一個進展是由E.Kummer作出的。第17頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三 Kummer的想法是：如果上面的方程有正整數(shù)解，假定是一個n次本原單位根，那么 xn+yn=zn 的等式兩邊可以作因子分解 zn=(x+y)(x+y)(x+n-1y)

10、,象整數(shù)中的因子分解一樣，如果等式右邊的n個因子兩兩互素，那么每個因子都應(yīng)是另外一個“復(fù)整數(shù)”的n次方冪,進行適當?shù)淖儞Q之后有可能得到更小的整數(shù)x1,y1,z1使 xn+yn=zn 成立，從而導(dǎo)致矛盾。如果上面等式右邊的n個因子有公因式，那么同除這個公因式再進行上面同樣的討論。第18頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三 Kummer方法的前提是形如a+b的復(fù)整數(shù)也象整數(shù)一樣具有唯一的素因子分解，其中a與b是通常整數(shù)。并不是對于每個整數(shù)n,復(fù)整數(shù)a+b都具有唯一分解性，Kummer把這種復(fù)整數(shù)的因子分解稱為理想數(shù)的分解。 用這種方法 Kummer證明了n100時費馬大定理成

11、立,理想數(shù)的方法不但能用于費馬問題研,實際上是代數(shù)數(shù)論的重要研究內(nèi)容，其后德國數(shù)學家R.Dedekind(1831-1916)把理想數(shù)的概念推廣為一般的理想論，使它成為近世代數(shù)的一個重要的研究領(lǐng)域。第19頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三理想數(shù)的誕生庫麥爾 Ernst Edward Kummer (1810 - 1893)德國人1845 至 1847 年間，提出了理想數(shù)的概念。又提出正規(guī)質(zhì)數(shù)的概念，并證明當 n 為正規(guī)質(zhì)數(shù)時，費爾馬最后定理成立。返回第20頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三 近世代數(shù)是在19世紀末至20世紀初發(fā)展起來的數(shù)學分支。

12、1930年荷蘭數(shù)學家范德瓦爾登（B.Lvan der Wearden 1930-1996） 根據(jù)該學科領(lǐng)域幾位創(chuàng)始人的演講報告,綜合了當時近世代數(shù)的研究成果, 編著了近世代數(shù)學(Moderne Algebra）一書,這是該學科領(lǐng)域第一本學術(shù)專著，也是第一本近世代數(shù)的教科書。 第21頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三第22頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三代數(shù)學（Algebra）簡介 代數(shù)學包括： 抽象代數(shù)、 布爾代數(shù)、關(guān)系代數(shù)、 計算機代數(shù)。下一頁第23頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三 （1）抽象代數(shù)（Abstract

13、Algebra），也叫近世代數(shù)，研究的主要內(nèi)容涵蓋群、環(huán)、域。抽象代表的是將研究對象的本質(zhì)提煉出來，加以高度概括，來描述其形象?！皻W式環(huán)”就是在將整數(shù)和多項式的一些相同的特點加以綜合提煉引入的。抽象代數(shù)提供的一些結(jié)論為我們研究一些具體問題時所需使用的一些性質(zhì)提供了依據(jù)。返回第24頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三 （2）布爾代數(shù)（Boolean Algebra）是代數(shù)系統(tǒng)中最為基礎(chǔ)的部分，也是最核心的基本理論。主要包括了集合的基本概念與運算，自對偶的公理系統(tǒng)。是數(shù)據(jù)表示的重要基礎(chǔ)。相信大家都很清楚它的在計算機科學中有很重要地位。 （3）關(guān)系代數(shù)（Relational A

14、lgebra）應(yīng)用也是極為廣泛，比如數(shù)據(jù)庫技術(shù)中的關(guān)系數(shù)據(jù)庫的構(gòu)建就要用到關(guān)系代數(shù)的相關(guān)理論。 返回第25頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三 （4）計算機代數(shù)（Computer Algebra）大家可能比較生疏，其實它研究的主要內(nèi)容即是圍繞符號計算與公式演算展開的。是研究代數(shù)算法的設(shè)計、分析、實現(xiàn)及其應(yīng)用的學科。主要求解非數(shù)值計算，輸入輸出用代數(shù)符號表示。計算機代數(shù)的開發(fā)語言主要有： ALTRAN,CAMAL,FORMAL。 主要應(yīng)用于：射影幾何，工業(yè)設(shè)計，機器人手臂運動設(shè)計等。返回第26頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三課后作業(yè)：簡述近世代數(shù)的

15、起源和發(fā)展概況簡述本課程的基本內(nèi)容和邏輯結(jié)構(gòu)第27頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三第 1 講 13 集合、映射及代數(shù)運算 （2課時） （Sets mapping and algebra operation ）第一章 基本概念第28頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三一、集合 定義1：若干個（有限或無限多個）固定事物的全體叫做一個集合（簡稱集）。集合中的每個事物叫做這個集合的元素（簡稱元）。例1：師院級數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)的全體學生組成一個集。而每個學生就稱為這個集中的元素。第29頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三定義2：沒有

16、元素的集合叫做空集，記為，且是任一集合的子集。例2：一切滿足方程x2+1=0的實數(shù)組成的集合是空集。（1）集合的要素：確定性、相異性、無序性。例3：“由我院胖子組成的集合”這不能組成一個集合。（違反了確定性）第30頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三例4：集合中的元素要求兩兩互異。即：1，2，2，3=1，2，3。（2）集合表示： 習慣上用大寫拉丁字母A，B，C表示集合； 習慣上用小寫拉丁字母a，b，c表示集合中的元素。 若a是集合A中的元素，則記為第31頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三表示集合通常有三種方法：1、枚舉法（列舉法）：例5：A=1，2

17、，3，4，B=1，2，3，,100。2、描述法：元素具有的性質(zhì)。例6： A=a|aZ且1a4。顯然例6中的A就是例5的A。第32頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三3、繪圖法：用文氏圖可形象地表現(xiàn)出集合的特征及集合之間的關(guān)系。例7：利用例5的A和B，可構(gòu)制出文氏圖：第33頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三（3）集合的蘊含（包含） 定義3：若集B中每個元素都屬于集A，則稱B是A的子集記為，記為.思考題1：如何用語言陳述“”？ ， 否則說B不是A的子集第34頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三設(shè)，且存在 ，那么稱B是A的真子集，否

18、則稱B不是A的真子集。思考題2：若 ，但B不是A的真子集，這意味著什么？定義4：真子集第35頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三若集合A和B含有完全一樣的元素，那么稱A與B相等，記為A=B.顯然，.定義5：集合的相等第36頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三（4）集合的運算 集合的并： 集合的交：第37頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三集合的差：集合在全集內(nèi)的補：第38頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三集合的布爾和（對稱差）：集合的卡氏積：第39頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三

19、注：卡氏積的推廣： 中的元素可看成由A和B坐標軸所張成的平面上的點。第40頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三問題：回憶數(shù)的四則運算，由此猜測集合的運算應(yīng)該具有什么性質(zhì)。思考?第41頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三（1） （2） （3） （4） （5） （6） 對上述集合運算，可以得到一批基本公式：第42頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三（7）（8）（9）（10）（11）（12） 。 第43頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三 上述基本性質(zhì)都是常用的，其中（9),(10)兩式通常稱為德摩根（De Mo

20、rgan ）法則，它們的證明也是容易的。第44頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三思考題3：（1） ； ； ； ；第45頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三（2）證明等式：（3）設(shè)有集合A，B： 若，則A與B有什么關(guān)系？ 若，則A與B有什么關(guān)系？第46頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三 定義6： 二、 映 射 是集合A到B的一個對應(yīng)法則：如果對A中任一元素a，關(guān)于 都有B中的元素b與其對應(yīng)，那么稱法則是由A到B的一個映射。，b是a關(guān)于的象，a是b在下的逆象。設(shè)其中，記第47頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星

21、期三設(shè)映射的分類：第48頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三（1）單射（一對一映射）:第49頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三（2）滿射（映上的）：第50頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三若 f 既是單射又是滿射，則 f 是雙射。 思考題4： 試說一說：當 f 不是單射；不是滿射時該怎樣敘述？ （3）雙射（一一對應(yīng)）或第51頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三第52頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三第53頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三第54頁，共73頁

22、，2022年，5月20日，18點43分，星期三第55頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三第56頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三（4）說明: 1、 映射是兩個集合之間的。特別的，若這兩個集合是同一集合，這時的映射叫該集合的一個變換。 2、 區(qū)分變換和恒等變換：變換是集合X到自身的映射，而恒等變換是指集合X中每個元素與自身對應(yīng)的變換。第57頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三（5）映射的相等：第58頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三設(shè)給定 如果n=2時，f 就叫做代數(shù)運算。一般地有定義8：任一個事實上，我

23、們都接觸過代數(shù)運算。三、代數(shù)運算：的映射都叫做的一個代數(shù)運算。第59頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三 例13： 為方便起見，以后凡是代數(shù)運算都不用映射符號 等。第60頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三 每一個代數(shù)運算都可以用運算表來表示。設(shè)代數(shù)運算表：當都是有限集時，那么的 ，則運算表為：第61頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三0b1b2bna1d11d12 d1na2d21d22 d2namdm1dm2dmn 其中dij=aibj。 這個表通常稱為運算表或凱萊（Cayley）表。 第62頁，共73頁，2022年，5月2

24、0日，18點43分，星期三定義9. 把集合A上的二元映射AAA也稱為A上的代數(shù)運算或A上的二元運算 。此時我們也說集合A對于代數(shù)運算來說是封閉的。如果A上的運算用來表示，則也稱為代數(shù)系統(tǒng)。第63頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三 一個代數(shù)運算可以用“ 例14一個 ”來表示（當然也可用其它運算符號，如 “”, “” ，“”，“”等表示）。：是 ，這就是普通數(shù)的除法。第64頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三 例15 普通加法，減法與乘法都是Z、Q、R、C的代數(shù)運算。 例16 法則 例17 設(shè)A是一個非空集合，則集合的并與交是冪集是的代數(shù)運算。的兩個代數(shù)運算。第65頁，共73頁，2022年，5月20日，18點43分，星期三1.設(shè) ，問下列各命題是否正確？（1） ； (2） ；（3） ； (4） ；（5）