小學奧數幾何燕尾模型

1、燕尾定理 例題精講 燕尾定理： 在三角形 ABC 中, AD , BE , CF 相交于同一點 O , 那么, S ABO : S ACO BD : DC A F E O B DC上述定理給出了一個新的轉化面積比與線段比的手段,由于 ABO 和 ACO 的形狀很象燕子的尾巴,所 以這個定理被稱為燕尾定理該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用,它的特殊性在于,它可以存在于 任何一個三角形之中,為三角形中的三角形面積對應底邊之間供應相互聯系的途徑 . 通過一道例題 證明燕尾定理： 如右圖, D 是 BC 上任意一點,請你說明： S1 : S4 S2 : S3 BD : DC A S2 E S3 B

2、 S1 S4 C D【解析】 三 角形 BED 與三角形 CED 同高,分別以 BD , DC 為底,所以有 S1 : S4 BD : DC ； 三角形 ABE 與三角 EBD 同高, S1 : S2 ED : EA ； 形 三角形 CED 同高, S4 : S3 ED : EA ,所以 S1 : S4 S2 : S3 ； ACE 與三角形 綜上可得, S1 : S4 S2 : S3 BD : DC . 可編輯 word, 供參考版！ 第 1 頁,共 5 頁【例 1】 （ 2022 年第七屆期望杯五年級一試試題）如圖,三角形 ABC 的面積是 1, E 是 AC 的中點,點 D 在 BC 上,

3、且 BD : DC 1: 2 , AD 與 BE 交于點 F 就四邊形 DFEC 的面積等于 A A A B DF E B 3 F 233E CB F E C1CD D【解析】 方 法一：連接 CF , 依據燕尾定理, S ABF BD 1S ABF , S CBF AE 1, S ACF DC 2EC 設 S BDF 1 份,就 S DCF 2 份, S ABF 3 份, S AEF S EFC 3 份,如圖所標 所以 SDCEF 5S ABC 512 12 方法二：連接 DE ,由題目條件可得到 S ABD 1 S 3 ABC 1 , 3S ADE 1S ADC 12S ABC 1,所以

4、BF S ABD 1, FE S ADE 12233S DEF 1S DEB 11SBEC 111 S ABC 1, 22323212 而 S CDE 21S ABC 1所以就四邊形 DFEC 的面積等于 5 32312 【鞏固】如圖,已知 BD DC , EC 2 AE,三角形 ABC 的面積是 30 ,求陰影部分面積 . A A A E E E F F F B DCB DCB DC【解析】 題 中條件只有三角形面積給出具體數值,其他條件給出的實際上是比例的關系,由此我們可以初步 判定這道題不應當通過面積公式求面積 . 又由于陰影部分是一個不規(guī)章四邊形,所以我們需要對它 進行改造,那么我們需

5、要連一條幫忙線, 法一 連接 CF ,由于 BD DC , EC 2AE ,三角形 ABC 的面積是 30, 1 1所以 S ABE S ABC 10 , S ABD S ABC 15 3 2依據燕尾定理, S ABF AE 1, S ABF BD 1 , S CBF EC 2 S ACF CD 1所以 S ABF S ABC , S BFD 15 7.5 , 4所以陰影部分面積是 30 10 1 法二 連接 DE ,由題目條件可得到 S ABE S ABC 10 , 3S BDE 1 S BEC 1 2 S ABC 10 ,所以 AF S ABE 1, 2 2 3 FD S BDE 1可編輯

6、 word, 供參考版！ 第 2 頁,共 5 頁S DEF 1 S DEA 1 1 S ADC 1 1 1 S ABC , 2 2 3 2 3 22 1而 S CDE S ABC 10 所以陰影部分的面積為 3 22【鞏固】 如圖,三角形 ABC 的面積是 200 cm ,E 在 AC 上,點 D 在 BC 上,且 AE: EC 3:5 , BD : DC 2:3 , AD 與 BE 交于點 F 就四邊形 DFEC 的面積等于 A A A E E E F F F B D C B D C B D C【解析】 連 接 CF , S ABF BD 2 6 S ABF AE 3 6依據燕尾定理, ,

7、, S ACF DC 3 9 SCBF EC 5 10 設 S ABF 6 份,就 S ACF 9 份 , S BCF 10 份, S EFC 9 5 45 份, SCDF 10 3 6 份, 35 8 23所以 SDCFE 200 6 9 10 45 6 8 45 6 93 cm 28 8【鞏固】 如圖,已知 BD 3DC ,EC 2 AE ,BE 與 CD 相交于點 O , 就 ABC 被分成的 4 部分面積各占 ABC 面積的幾分之幾？ A A 18 30 份,所以四部 O E 911E O 22B DCB 3D1C【解析】 連 接 CO ,設 S AEO 1 份,就其他部分的面積如以下

8、圖,所以 S ABC 129分按從小到大各占 ABC 面積的 1 2 , 30 30 13 9 , 60 30 3 , 30 910 20 CA , BQ 與 AP 相交于 【鞏固】 2022 年香港圣公會數學競 如以下圖,在 ABC 中, CP 1 2CB , CQ 13賽 點 X ,如 ABC 的面積為 6 ,就 ABX 的面積等于 CCCP Q 41P 1 X 4B Q P Q X X B A A B A 【解析】 方 法一：連接 PQ CA ,所以 S ABQ 2 1S ABC , S BPQ S BCQ 3 21S ABC : S ABC 4:1 , 61S ABC 由于 CP 1C

9、B , CQ 1236S ABQ : S BPQ 2由蝴蝶定理知, AX : XP 3可編輯 word, 供參考版！ 第 3 頁,共 5 頁所以 S ABX 4S ABP 4 1S ABC 2S ABC 26 5 5 2 5 5方法二：連接 CX 設 S CPX 1 份,依據燕尾定理標出其他部分面積, 所以 S ABX 6 1 14 4 4【鞏固】如圖,三角形 ABC 的面積是 1, BD 2DC , CE 2 AE , AD 與 BE 相交于點 F ,請寫出這 4 部分 的面積各是多少 .A A E 6 1 E 2F 8 F 4B B D C D C【解析】 連 接 CF ,設 S AEF

10、1 份,就其他幾部分面積可以有燕尾定理標出如以下圖,所以 S AEF 1 , S ABF 6 2 , S BDF 8 , SFDCE 24 221 21 7 21 21 7【鞏固】 如圖, E 在 AC 上,D 在 BC 上,且 AE : EC 2:3 , BD : DC 1: 2 ,AD 與 BE 交于點 F 四邊形 DFEC 2的面積等于 22 cm ,就三角形 ABC 的面積 A A A E E E F F 2 F B B B 1 2D C D C D C【解析】 連 接 CF ,依據燕尾定理, S ACF S ABF BD DC 1 , 2 S ABF S CBF EC AE 2 ,

11、3設 S BDF 1 份 , 就 S D C F 2 份 , S ABF 2 份 , S AFC 4 份 , S AEF 4 21 . 623份 , S EFC 4 3 2.4 份,如圖所標 ,所以 SEFDC 2 份 , S ABC 23 4 9 份 2 32所以 S ABC 22 9 45 cm 【鞏固】三角形 ABC 中, C 是直角,已知 AC 2 , CD 2 , CB 3, AM BM ,那么三角形 AMN 陰影 部分 的面積為多少？ A A M MN NC D B C D B 【解析】 連 接 BN ABC 的面積為 3223CD : BD 2:1 ； 依據燕尾定理, ACN :

12、 ABN 可編輯 word, 供參考版！ 第 4 頁,共 5 頁同理 CBN :CAN BM : AM 1:1 設 AMN 面積為 1 份,就 MNB 的面積也是 1 份,所以 ANB 的面積是 1 1 2份, ACN 的面積就是 224 份, CBN 也是4 份,這樣 ABC 的面積為 4 4 11而 10 份,所以 AMN 的 面積為 310 1 【鞏固】如圖,長方形 ABCD 的面積是 2 平方厘米, EC 2DE , F 是 DG 的中點陰影部分的面積是多少 平方厘米 .A G F DA A 3Dy D5平方厘米 . 1 3 F x2F E 3 x y C G E E B CB B G

13、 C【解析】 設 S DEF 5 S BCD 12 1 份,就依據燕尾定理其他面積如以下S 陰12 圖 影 【例 2】 如 圖所示,在四邊形 ABCD 中, AB 3BE , AD 3AF ,四邊形 AEOF 的面積是 12,那么平行四邊 形 BODC 的面積為 A A F 4F B E O CDB E 12O 686CD【解析】 連 接 AO, BD ,依據燕尾定理 S ABO : S BDO AF : FD 1: 2 , S AOD : SBOD AE : BE 2 :1 ,設 S BEO 1 , 就其他圖形面積,如圖所標,所以 SBODC 2SAEOF 2 12 24 . 【例 3】 ABCD 是邊長為 AGCD 的面積是 12 厘米的正方E , F 分別是 AB , BC 邊的中點, AF 與 CE 交于 G ,就四邊形 形, 平方厘米 DCDCG F G F A E B A E B 11） 2