小學(xué)奧數(shù)專題-組合之排除法.學(xué)生版

1、7-5-3. 之除教學(xué)目使學(xué)生確理解組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問題；了解組數(shù)的意能根據(jù)具體的問,出符合要求的組合；掌握組的計(jì)算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；會(huì)分析數(shù)字有關(guān)的計(jì)數(shù)問以及與其他專題的綜合運(yùn),養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學(xué)習(xí)對(duì)組合的一些計(jì)數(shù)問題進(jìn)行歸納總結(jié),點(diǎn)掌握組合的聯(lián)系和區(qū)別,掌握一些組合技巧, 如排除法、插板法等知識(shí)要一、組合問題日常生活中有很分組”問題如體育比把參賽隊(duì)分為幾,全班同學(xué)中選出幾人參加某項(xiàng)活 動(dòng)等等這種分問題就是我們將要討論的組合問這里我們將著重研究多少種分組方法的問題一般地, 個(gè)不同元素中取出 m )元素組成一組不計(jì)較組內(nèi)各元素的次序 叫從

2、 個(gè)同元素 中取出 個(gè)素的一個(gè)組合從排列和組合的定義可以知,列與元素的順序有而合與順序無關(guān)果個(gè)組合中的元素完全相 同,那么不管元素的順序如,是相同的組合,有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同,是不同的組合從 個(gè)同元素中取出 元素 ( m )的有組合的個(gè)數(shù) ,叫做從 n 不同元素中取出 個(gè)同元素的 組合數(shù)記作 一般地求從 n 個(gè)同元素中取出的 m 個(gè)素排列數(shù) P可分成以下兩步:第一步從 n 個(gè)同元素中取出 個(gè)元素組成一組共 C 種方法；第二步將一個(gè)組合中的 m 個(gè)元素進(jìn)行全排共有 種法根據(jù)乘法原得到 P P n 因此組合數(shù) P m 這個(gè)公式就是組合數(shù)公式二、組合數(shù)的重要性質(zhì)一般地組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)

3、 CC ( 這個(gè)公式的直觀意義: C 表從 個(gè)元素中取出 個(gè)素組成一組的所有分組方法 C 表從 個(gè) 元素中取出( n )個(gè)元素組成一組的所有分組方法顯, n 個(gè)元素中選出 m 個(gè)素的分組方法恰是從 n 元素中選 m 個(gè)素剩下( )個(gè)素的分組方法例如從 5 人中選 3 人開會(huì)的方法和從 人中選出 2 人去開會(huì)的方是一樣多, 規(guī)定 C 例題精 7-3.合之排除法題庫教師版page 1 6對(duì)于某些有特殊要求的計(jì)數(shù) ,限制條件較多時(shí) 以先計(jì)算所有可能的情況 從中排除掉那些不符合 要求的情況【 1 在 1 1995 的有自數(shù)百數(shù)個(gè)數(shù)相的然有少？【考點(diǎn)】組合之排除法 【度2 星 【型】解答【解析】 先考

4、這 個(gè)中,百位與個(gè)位相同的數(shù)有多少,三位數(shù)中百與位可以是 9,位可以是 9,由乘法原理有 9 90 個(gè),四數(shù)千位是 百位和位可以是 0十位可以 是 09,由乘法原理, 10 個(gè)但是要從中去掉 1999,在 1995 中百位與個(gè)位相同的數(shù)共有 99 個(gè)所以,位數(shù)與個(gè)位數(shù)不相同的自然數(shù): 1896 189 個(gè)【答案】 1707【 2 1 到 的然中有多個(gè) 相時(shí)至發(fā)生次位【考點(diǎn)】組合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析】 從問的反面考慮: 到 1999 的自然數(shù),有多少個(gè)與 相時(shí)不生進(jìn)位？這樣的,個(gè)位數(shù)字 有 種能( 十位數(shù)字有 種能即 百數(shù)字有 種能即 0,1,2,3),千位數(shù)字有 2 可 能即

5、 據(jù)乘法原理,共有 意上面的計(jì)算中包括了 0000)這個(gè)數(shù)因此, 到 的自然數(shù)中與 相時(shí)不發(fā)生進(jìn)位的數(shù)有 48 47 個(gè)所以1 到 的然數(shù)中與 相時(shí)至少發(fā)生一次進(jìn)位的有1999 1952 【答案】 1952【固 所有三數(shù)與 相加生位數(shù)多個(gè)【考點(diǎn)】組合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析】 與 456 相產(chǎn)生進(jìn)位在個(gè)位十位、百位都有可,以采用從所有三位數(shù)中減去與 456 相不產(chǎn)生 進(jìn)位的數(shù)的方法更來得方,所有的三位數(shù)一共有 個(gè)其與 相不產(chǎn)生進(jìn)位的數(shù), 它的百位可能取 、3、5 共 5 種能十位數(shù)可以取 、2、4 共 種可能個(gè)位數(shù)可以取 0、2、3 共 4 種能根乘法原理,共有 5 個(gè),所以與

6、相加產(chǎn)生進(jìn)位的數(shù)一共 有 800 個(gè)【答案】 800【固從 1 到 這 2004 個(gè)正整中共有個(gè)與位 相加至發(fā)一進(jìn)？【考點(diǎn)】組合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析 千數(shù)小于等于 1,位數(shù)小于等于 十?dāng)?shù)小于等于 3,位數(shù)小于等于 應(yīng)有 種可以不進(jìn)那么其他 2004 個(gè)數(shù)都至少產(chǎn)生一次進(jìn)位【答案】 1941【 3 在三數(shù)至出一 的偶數(shù)多個(gè)【考點(diǎn)】組合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析】 至少現(xiàn)一個(gè)這三位偶數(shù)中可以有一個(gè) 6,兩個(gè) 或個(gè) 6可以把這三種情況下 滿足條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)分別求出再起來可從所有三位偶數(shù)中減去不滿足條件即減 去不含 的位偶數(shù)三位偶數(shù)共有 450 個(gè)我先來計(jì)算不含 的數(shù)

7、的個(gè)不含 的數(shù)個(gè) 可以是 0,2,4,8,十上以是除 6 以外的其余 個(gè)數(shù)字百位可以是除 以的 個(gè)數(shù)字因此不含 6 的三位偶數(shù)共有 4 288 個(gè)則少出現(xiàn)一個(gè) 的三位偶數(shù)有 【答案】 【 4 能被 3 整且少一數(shù)是 6 的四數(shù)個(gè)【考點(diǎn)】組合之排除法 【度4 星 【型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯, 級(jí)第 14 【解析】 用排除法四位數(shù)總共 9101010=9000 ,其中能被 整除四位數(shù)有 個(gè)排除能被 3 整且不 含有數(shù)字 6 的四位數(shù)之剩下的所有的四位數(shù)都足條件能被 3 整除不含有數(shù) 6 的四位為 最高位千位 a 有 法（不選 ）,百有 種選（不能選 ,十位也有 選法（不能選 , 若前三位的字（a

8、+b+c除以 余 個(gè)位 d 有 選（可選 0,3,9三位的數(shù)字（） 除以 余 則個(gè)位 d 有 種法（可 前三位的數(shù)字和（a+b+c）除以 余 2,則個(gè)位 是有 3 選法（選 能被 整且不含數(shù)字 6 的四位有 8993=1944 個(gè)從而得到能被 3 整 除且至少有個(gè)數(shù)字是 四位數(shù) 3000-1944=1056 個(gè)?！敬鸢浮?10567-3.合之排除法題庫教師版page 2 6 【 5 由 1245 組的有復(fù)數(shù)的位中百位是 的數(shù) 個(gè) 【考點(diǎn)】組合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析 由 0,1,2,3,4,5 組的沒有重復(fù)數(shù)字的奇六位,位可以為 有 3 種選法；個(gè)位選定后,十萬位不 能與個(gè)位相且

9、不能為 有 種十萬位選定后萬位有 4 種；故由 0,1,2,3,4,5 成的沒有重 復(fù)數(shù)字的奇六位數(shù)的個(gè)數(shù): 3 288 個(gè)由 組的沒有重復(fù)數(shù)字且百位為 的六位數(shù)個(gè)位可以為 有 3 種法萬不能 與個(gè)位相同,不能為 02,有 ；十萬位選定后萬位有 3 種；由 組的沒有重 復(fù)數(shù)字且百位為 2 的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為: 3 54 個(gè)所以滿足條件的數(shù)有 個(gè)【答案】 【 6 從三 、四個(gè) 1五 2 中挑選五數(shù),能組多少不的位？【考點(diǎn)】組合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析 由 個(gè) 0,4 1,5 個(gè) 2 組成五位首位上不能是 0,能是 或 有 種選擇 4 上都可以是 0、 2,各 3 選,根據(jù)乘法原,共有

10、 2 種選擇；但是注意這樣算是在 和 的數(shù)足夠多的情況下才能,題中可能會(huì)出現(xiàn) 的數(shù)不夠的情 況2 的個(gè)數(shù)肯定夠如, 只有 個(gè)但上的算 法包括了后四位都是 情這樣的數(shù) 有兩個(gè)10000 和 20000,得減掉；另外,1 只 個(gè),卻包含了五位都是 1 的:也減去 所以實(shí)際上共有 個(gè)【答案】 【 7】 由字 1,2,3 組五位,要這位中 至各現(xiàn)次那么樣五數(shù)有 個(gè) 【考點(diǎn)】組合之排除法 【度4 星 【型】填空【關(guān)鍵詞】迎春高年級(jí)初 題【解析 這一道組合計(jì)數(shù)問題由于題目中僅要求 至各出現(xiàn)一次沒有確定 1,2,3 出的具體次數(shù), 所以可以采取分類枚舉的方法進(jìn)行統(tǒng)也可以從反面想從由 1,2,3 組的五位數(shù),

11、去掉僅有 1 個(gè) 數(shù)字組成的五位數(shù)即可方法一:分兩類1,2,3 中有個(gè)數(shù)字出現(xiàn) 次這的數(shù)有 60 個(gè)；1,2,3 中兩數(shù)字各出現(xiàn) 次這的數(shù)有 C 90 個(gè) 4綜上所述符合題意的五位數(shù)共有 個(gè)方法二:從反面想由 組的五位數(shù)共有 3 個(gè)由 中某 個(gè)數(shù)字組成的五數(shù)共有 1,2,3 中某 個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)共有 個(gè)所符合題意的五位數(shù)共有 【答案】 150 個(gè)【 8 人成圈從中出個(gè)相的共多種同法【考點(diǎn)】組合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析】 (法 乘法原理按題意分別站在每個(gè)人的立場(chǎng)上當(dāng)己被選中后另一個(gè)被選中的可以是除了自 己和左右相鄰的兩人之外的所有每人都有 7 種選擇總就有 7 70 種擇但是需

12、要注意的 是選擇的過程會(huì)出現(xiàn)選甲、乙選了乙、甲這的情況本來是同種選,而卻算作了兩種所 以最后的結(jié)果應(yīng)該是 ) 35 (種(法 2)排除法可以從所有的兩組合中排除掉相鄰的情總的組合數(shù)為 而被選的兩個(gè)人相鄰的情況有0 種所以共有 C (種【答案】 【 9 一棟 12 層樓備電,第二層第層梯停在樓 3 人了梯其中少一要 樓則他到層可情共多種【考點(diǎn)】組合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析 每人都可以在第 7 層至第 層中任何一層下有 6 種情況那么三個(gè)人一共有 6 種況 其中都不到 12 樓情況有 5 種因此至少有一人要上 樓情況有 216 125 種【答案】 7-3.合之排除法題庫教師版page

13、 3 6【 10 8 個(gè)站,冬必站小和奇中（一相）慧和大不相小和亮須 相滿要的法共多種【考點(diǎn)】組合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析】 冬冬站在小悅和阿奇中就意味著只要為這三個(gè)人定了三個(gè)位,中間的位置就一定要留給 冬冬而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇小慧和大智不能相鄰的互補(bǔ)事件是小慧和大智必須相鄰小光和大亮必須相鄰則可以將兩人捆綁考慮只滿足第一、三個(gè)條件的站法總數(shù):C 3360 （） 同時(shí)滿足第一、三個(gè)條件,且滿足小慧和大智必須相鄰的站法總: （種） 因此同時(shí)滿足三個(gè)條件的站法總數(shù): 960 （【答案】 2400【 11 若個(gè)然中少兩數(shù)字且個(gè)字于其邊所數(shù)則這數(shù)“上升”一 共多“上的自

14、然？【考點(diǎn)】組合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析 由每個(gè)數(shù)字都小于其右邊所有數(shù),首位上的數(shù)不能為 所滿足條件的數(shù)各數(shù)位上都沒有 而 且各數(shù)位上的數(shù)都互不相同那么最大“升的自數(shù)是 而且可以發(fā),所有的上升 的自然數(shù)都可以由 123456789 這個(gè)數(shù)劃掉若干個(gè)數(shù)碼得到反過由從 123456789 這數(shù)中劃掉 若干個(gè)數(shù)碼得到的至少兩位的數(shù)都“上升的自數(shù)所以只要算出從 中劃掉若干個(gè)數(shù) 碼所能得到的至少兩位的數(shù)有多少個(gè)就可以了因?yàn)槠渲忻總€(gè)數(shù)碼都有劃掉和保留這2 種可能,以 數(shù)共有 種可能但是需要排除得到的一位數(shù)及這樣的數(shù)共有 10 個(gè)所所能得到的至少兩位的數(shù)有 2 502 ()所以一共有 502

15、個(gè)上升的自然數(shù)【答案】 【 12 6 人時(shí)邀請(qǐng)加項(xiàng)動(dòng)必有去去幾人行定共有少不的法 【考點(diǎn)】組合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析】 方法:可以分為一人去、兩人去、三人去四人去、五人去、六人去六種情,一種情況都是組合問題第一種情況有 6 種去法；第二種情況有 C (去法； 第三種情況有 20 (種去； 第四種情況有 C ()去法；第五種情況有 C 種去法；第六種情況有 1 種法根據(jù)加法原理共有 20 63 (種)不同的去法方法二每個(gè)人都有去或者不去兩種可,但要減掉所有人都不去這種情于是總共有2 (種)不同的去法【答案】 【 13 由字 2 組五數(shù)要求五數(shù) 1,2, 至各現(xiàn)次那么樣五數(shù)有個(gè) 【

16、考點(diǎn)】組合之排除法 【度2 星 【型】解答【關(guān)鍵詞】迎春高年級(jí)決【解析】 這是道組合計(jì)數(shù)問題由于題目中僅要求 2 至少各出現(xiàn)一次沒有確定 1 , 2 , 3 出的具體次數(shù) 所以可以采取分類枚舉的方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì) ,可以從反面想 ,由 ,2,3 組的五位數(shù)中,去掉僅有 1 個(gè)7-3.合之排除法題庫教師版page 4 6 個(gè)字組成的五位數(shù)即可(法 分兩類: 2 中有一個(gè)數(shù)字出現(xiàn) 3 次,這樣的數(shù)有 60 (個(gè)； , 中有兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn) 次,這樣的數(shù)有 C 90 個(gè))符合題意的五位數(shù)共有 90 150 個(gè))( 法 2) 從面想 由 1 , , 組的五位數(shù)共有 35 個(gè) 1 2 中的某 數(shù)字組成的五位數(shù)共

17、有 個(gè) , 由 , 2 , 3 中 的 某 1 個(gè) 數(shù) 字組成 的 位 數(shù) 共 3 個(gè) , 以 合 題 的 五 數(shù)共 有 2) ()【答案】 150【 14 5 條線兩相,沒兩直平?jīng)]任三直通同個(gè)以 條線交為點(diǎn) 能成個(gè)角？構(gòu)的角的不定這 條線【考點(diǎn)】組合之排除法 【度4 星 【型】解答【解析 (法 1)5 條線一共形成 5 個(gè)對(duì)于任何一個(gè)點(diǎn),經(jīng)它有兩條直每條直線上另外有 個(gè)點(diǎn)此外還有 3 個(gè)與它不共線所以以這個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三形就有 3 個(gè)三角形則以 10 個(gè)分別為頂點(diǎn)的三角形一共有 300 個(gè)角,每個(gè)三角形都被重復(fù)計(jì)算了 3 次, 所以一共有 100 個(gè)三角形(法 2)要三點(diǎn)不共線就能構(gòu)成三角,以

18、可以先求出 個(gè)點(diǎn)中取出 個(gè)的種數(shù)再減去 點(diǎn)線 的情況這 個(gè)是由 條線相互相交得到,在每條直線上都有 個(gè)點(diǎn)存在共線的情這 4 點(diǎn)中任意三個(gè)都共線所以一共有 個(gè)點(diǎn)線的情況除以外再也沒有 3 點(diǎn)線的情況,所以一共可以構(gòu)成 【答案】 100 種況【 15 正體頂(8 個(gè)各的點(diǎn) 個(gè)),各面的心(6 個(gè),方的心( 個(gè),共 個(gè)以 27 個(gè) 點(diǎn)的中 點(diǎn)共構(gòu)多個(gè)角？【考點(diǎn)】組合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析】 27 個(gè)中取三個(gè)點(diǎn) , 不這 3 點(diǎn)線 就這 點(diǎn)構(gòu)成三形 個(gè)中取三個(gè)點(diǎn)共有 種過三點(diǎn)的直線可以分為 3 類有兩個(gè)頂點(diǎn)連線構(gòu)成的有 28 條由兩個(gè)面的中心連線的有 條由兩條棱的中點(diǎn)連線的有1 條所以能構(gòu)成的三角形有 【答案】 2897【 16 用 A、F 六種料染中兩調(diào)盤要求個(gè)色里六顏不相, 且鄰種色兩調(diào)盤不重那共多種同染方（旋算同方）【考點(diǎn)】組合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析 先中一